1、第 1 页 共 10 页 绝密启用前 试卷类型：A 广东省珠海市 2008-2009 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三理科数学（含答案及评分标准） 2009.1 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页 满分 150 分考试用时 120 分钟所有的试题的答 案都填写在答题卡的相应位置 参考公式： 锥体积公式： （S 为底面面积，h 为高）13V 导数公式： 2()()()()0uxvxuvxv n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为： ()(1),01,.knknPxCpn 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项 是符合题目要求的 1设全集 U= ， =1，2，5 ， ，则 C U =（ |xZxA41|xNxBBA B ） A3 B0，3 C0 ，4 D0，3，4 2已知复数 ，且 ，则实12,(3)zaizai120z 数 a 的值为（ C ） A. 0 B. 0 或-5 C. -5 D. 以上均不对 3已知函数 的最大值为 4，最小值为sin()yAxm 0，最小正周期为 ，直线 是其图象的一条对称轴，则23 下面各式中符合条件的解析式是（ D ） A. B. 4sin()6yx2sin()23yx C. D. 2346 4若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 y 等于（ D ） A
3、B C D7153 5已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是 （ C ） A B 3cm32cm开 始A=1，B=1 A=A+1B=2B+1A5？输出 B结束缚 是否 （第 4 题） 第 2 页 共 10 页 C D34cm38cm 6等差数列 na的前 项和为 nS, ,等比数列 nb中, ,75ab则9138,52 的值为（ B ） 学科网15b A64 B-64 C128 D-128 网 7经过抛物线 的焦点且平行于直线 的直线 的方程是（ A ）xy20523yxl A. B. 0346x C. D. 21 8如图是二次函数 的部分图象，
4、abxf2)( 则函数 的零点所在的区间是（ C ）ln)(xg A. B. 21,4),1( C. D. )(32 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D C B A C 第二卷 非选择题(共 110 分) 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1315 题是选做题，考生只能选 做二题，三题全答的，只计算前两题得分 9已知某校的初中学生人数、高中学生人数、教师人数之比为 20：15：2，若教师人数为 120 人， 现在用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 N 的样本进行调查，若应从高中学生中抽取 60 人，则 N= 。148 10有一道
5、解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在ABC 中，已知 ， ，求边 b.”若破损处的条件为三角形的一个内角的3,aB5612AC或 大小，且答案提示 .试在横线上将条件补充完整。 b 11已知 AOB 中，点 P 在直线 AB 上，且满足： ，2()OPtABtR 则 = 。|PAB 12 12. 1917 15134 3 11 9 7 33 5 323 75 3142 5 3 1 32 3 12 2 （第 8 题） 第 3 页 共 10 页 对于大于 1 的自然数 的 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂” ，仿此，记 的“分裂”中的mn 35 最小数为 ，而 的“分裂”中
6、最大的数是 ，则 。a25ba30 13 （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 与圆cos()142 的公共点个数是_ _ 14 （不等式选讲选做题）已知关于 x 的不等式 在 x(a,+) 上恒成立，27xa 则实数 a 的最小值为 .32 15 （几何证明选讲选做题）如图所示， AB 是半径等于 3 的 的直径，CD 是 的弦，BA，DC 的延长线交于点 P，AA 若 PA=4，PC=5，则 _ _CBD306或 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分）已知函数 ， ，1cos2sin2)( xxaf 4)6
7、(f （1）求实数 a 的值； （2）求函数 在 的值域。)(xf4, 解法 1： ，416cos26sin2)(: af由 题 意 得解 即： ，2 分4253a 解得： ； 。3 分3的 值 为a （2）由（1）得： 1)2(cossin31cos2sin32)( xxxxf .5 分 .7 分2)6in(coi ，8 分32,624, xx 令 ，则 ，10 分62z 上 为 减 函 数在上 为 增 函 数在 32sinzy O D C A PB 第 4 页 共 10 页 ，4,32)(,123)62sin( xfx则 即 .12 分4，f的 值 域 为 解法 2： ，416cos26s
8、in)(:)1(: af由 题 意 得解 即： ，2 分453a 解得： ； 。3 分3的 值 为a （2）由（1）得： 1)2(cossin31cos2sin32)( xxxxf .5 分 .7 分ico()2 ，8 分5,2,436xx 令 ，则 ，10 分23zcs00,6在 上 为 增 函 数 在 上 为 减 函 数yz ，cos(),1()2,42则xfx 即 .12 分43，f的 值 域 为 解法 3：(1) 2()sincos1in(cos21)fxaxaxsin2coax .2 分 ，即： ，4 分2:()2sis466由 题 意 得 f 4253 解得： ； 。5 分3a的
9、值 为a （2）由（1）得： ()3sin2cos2sin()6fxxx 或 7 分 ()sin2co()3fx 以下同解法 1 或解法 2。 17 （本小题满分 12 分）某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50 元活动费，可享受 20 元的消 费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为 12 点获一等奖，奖价值为 a 元的奖品；点 数之和为 11 或 10 点获二等奖，奖价值为 100 元的奖品；点数之和为 9 或 8 点获三等奖，奖价值 第 5 页 共 10 页 为 30 元的奖品；点数之和小于 8 点的不得奖。求： （1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； （2）如
10、该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a 的值。 解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y） ，其中 ，1,6xy 则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为： ； 2 分163 获二等奖共有（6，5） 、 （5，6） 、 （4，6） 、 （6，4） 、 （5，5）共 5 种可能，其概率为： ；536 5 分 设事件 A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖” ，则有： P（A）= ； 6 分123()615C （2）设俱乐部在游戏环节收益为 元，则 的可能取值为 , ,0, ,7 分30a30 其分布列为： 则：E= ； 11 分1517310(30)(70)63426aa
11、 由 E=0 得：a=310，即一等奖可设价值为 310 元的奖品。 12 分 18.（本小题满分 14 分）已知 平面 ， ， 与 交于 点，PABCD2PAACBDE ， ，2BDC （1）取 中点 ，求证: 平面 。PF/F （2）求二面角 的余弦值。BE 解法 1:(1)联结 ，EF ， ，AC=ACABDC ，.2 分 为 中点，3 分 为 中点，P ，.4 分/EF 平面 .5 分 （2）联结 ， ，2ABD 在等边三角形 中,中线 ，6 分AEBD 30-a -70 0 30 p 第 6 页 共 10 页 又 底面 ， ，PABCDPAB ，.7 分 E面 平面 平面 。.8 分
12、 过 作 于 ，则 平面 ，HHD 取 中点 ，联结 、 ，则等腰三角形 中， ，GPAGB ， 平面 ， ，APBAB 是二面角 的平面角.10 分E 等腰直角三角形 中， ，等边三角形 中， ，23E Rt 中， ， ，12 分E37H7G . 21COSAG 二面角 的余弦值为 。.14 分PBE7 解法 2： 以 分别为 轴， 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，AC、 yz、 A 2DCD， ，2 分B 是等边三角形，且 是 中点，EBB 则 、(0)， ， 、 、 、 、13， ， (130)， ， ()， ， (02)P， ， 4 分()2F， ， （1） 5 分13(32)()
13、2PBFE， ， 、 ， ， ， ， 平面 .7 分/AC （2）设平面 的法向量分别为 ，.9 分PBE、 1212(0)(1)nxynxy， ， 、 ， ， 则 的夹角的补角就是二面角 的平面角；.10 分1n、 PBE ， ， ，(30)A， ， (132)， ， (3)， ， P EF DCBAz yx 第 7 页 共 10 页 由 及 得 ， ，.12 分10nAB20nPE1(30)n， ， 2(1)3n， -， ，12127cos|， 二面角 的余弦值为 。.14 分APBE7 19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 的方程为 双曲线 的两),0(12bayx 12byax 条渐
14、近线为 和 ，过椭圆 的右焦点 作直线 ，使得 于点 ，又 与 交于点 ， 与1l2EFl2lCl1Pl 椭圆 的两个交点从上到下依次为 （如图）.EBA, (1)当直线 的倾斜角为 ，双曲线的焦距为 8 时，求椭圆的方30 程； (2)设 ，证明： 为常数. PBAF21,21 解：（1）由已知， ，2 分23,6ba 解得: ， 4 分22,4a 所以椭圆 的方程是: . 5 分E21xy （2）解法 1：设 12(,)(,)AB 由题意得: 直线 的方程为: ,直线 的方程为: ,7 分lbyxa2lbyxa 则直线 的方程为: ,其中点 的坐标为 ; 8 分l()cF(,0)c 由 得
15、: ,则点 ; 9 分() byxac2abyc2(,)abPc 由 消 y 得: ,则 ; 10 分 21()xabyc22()0xa2121,caxx 由 得: ,则: ,1PAF2112()axcx21()cx 第 8 页 共 10 页 同理由 得: , 12 分2PBF22()cxa2211 11 212 221 1()()()() 0()cxacxacxcxa 故 为常数. 14 分120 解法 2：过 作 轴的垂线 ，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，6 分PxmBA, 1,AB 由题意得: 直线 的方程为: ,直线 的方程为: ,8 分1lbyxa2lbyxa 则直线 的方程为:
16、 ,其中点 的坐标为 ; 9 分l()cF(,0)c 由 得: ,则直线 m 为椭圆 E 的右准线; 10 分() byxac2abyc 则: ,其中 e 的离心率; 12 分11,PABPFee , 12,AF 故 为常数. 14 分0 20.（本小题满分 14 分）已知 是方程 的两个实数根,函数, )(0142Rttx 的定义域为 .12)(xtf (1)判断 在 上的单调性,并证明你的结论; (2)设 ,求函数 的最小值 .)(min)(a)(xfftg)(tg 解：（1） 在 上为增函数1 分x, ， ，.3 分2()1tf2()1)xtf 当 时， .4 分)x， 240t 第 9
17、 页 共 10 页 当 时， ，()x， 210xt 当 时， ，5 分， ， 在 上单增。6 分()0fx()fx， （2）由题意及（1）可知， ， ，7 分max()()ffmin()fxf 8 分()()gtff221tt221t ， ，9 分4t， 4t() ，222()t 10 分2815)6tgtR， 令 则2tU， 1)t， ， ，11 分 2328()4)16969Ugt .12 分 34224(7)()01U 在 单增，13 分 32169)， 当 时， 。14 分0t， min8(5gt 21. （本小题满分 14 分）已知函数 ,不等式),()(2Rbaxf 对 恒成立,
18、数列 满足: , |342|)(| xxf Rn21 , 数列 满足: ;),2(15*Nnafnnb)(*Nna (1)求 的值;b, (2)设数列 的前 和为 ,前 的积为 ,求 的值.nnSnTnTS12 解：（1）方程 有两实根 或 1 分2430x5x3 第 10 页 共 10 页 由题意知:当 时, ，5x2()(5)4()30f 又 .3 分()0f0 是 的一个零点，同理， 也是 的一个零点，.4 分x3()fx ，即 ， ，2 2()()515fabx2a15b 显然， 对 恒成立。2151xxR ， .6 分 （2） ， ，1a1()5nfa ， 7 分212nn34， ， ， ， ， ， 1nna34， ， ， 1nna23， ， ， ，9 分12nnab .10 分32 1124112nnn naT a 又 .12 分111 21 )( nnnnn aaab 12123111()()()2nnnSbaa .13 分 ， 为定值。14 分11nnnTSa1nT
