1、2015-2016 学年湖北省随州市曾都区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1一元二次方程 2x2x=1 的一次项系数和常数项依次是( ) A1 和 1 B 1 和1 C2 和 1 D1 和 3 2若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 k 的取值可以是( ) A0 B1 C2 D以上都不是 3自连续正整数 1099 中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等求选出的数，其 十位数字与个位数字的和为 9 的概率为( ) A B C D 4如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色下列图 形中，是该几何体的表面展开图
2、的是( ) A B C D 5当2 x1 时，二次函数 y=（xm） 2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为( ) A B 或 C2 或 D2 或 或 6在如图 44 的正方形网格中， MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M 1N1P1，则其旋 转中心可能是( ) A点 A B点 B C点 C D点 D 7如图，白云湖水库堤坝横断面迎水坡 AB 的斜面坡度是 1： ，堤坝高 BC=50m，则迎 水坡面 AB 的长度是( ) A100m B2400m C400 m D1200 m 8如图，已知 AB 是 O 的直径，AD 切O 于点 A，点 C 是 的中点，则下列结论不成 立的是( ) A
3、OC AE BEC=BC CDAE= ABE DAC OE 9如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD，NFAB若 NF=NM=2，ME=3，则 AN=( ) A3 B4 C5 D6 10如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边上的一个动点， AEEF，EF 交 DC 于 F，设 BE=x，FC=y，则当点 E 从点 B 运动到点 C 时，y 关于 x 的函数图象是( ) A B C D 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11写出一个有最大值的二次函数，且它的图象过（1，3）点，这个二次函数的解析式为 _ 12如图，为了测量某建筑
4、物 AB 的高度，在地面上的 C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30，沿 CB 方向前进 30m 到达 D 处，在 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 45，则建筑物 AB 的高度等于_m 13已知双曲线 y= 经过点（ 1，3） ，如果 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2 ）两点在该双曲线上， 且 x1x 20，那么 y1_y2 14圆锥的底面半径是 1，侧面积是 2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 _ 15如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 落在 CB 的延长线上的点 E 处，则 BDC 的度数为_度 16如图，正方形 ABCD 中，
5、AB=12，点 E 在边 BC 上，BE=EC ，将DCE 沿 DE 所叠得 DFE，延长 EF 交边 AB 于点 G，连接 DG，BF，给出以下结论： DAGDFG；BG=2AG；EBF DEG；S BEF= 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题（共 9 小题，满分 72 分） 17已知关于 x 的方程 x2+2（a1）x+a 27a4=0 的两根为 x1、x 2，且满足 x1x23x13x22=0求 a 的值 18一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相 同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 （1）布袋里红球有多少个？ （2）先从布袋中摸出
6、1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图等方法求出 两次摸到的球都是白球的概率 19已知一次函数 y1=x+m 的图象与反比例函数 y2= 的图象交于 A、B 两点已知当 x1 时，y 1y 2；当 0x1 时，y 1y 2 （1）求一次函数的解析式； （2）已知双曲线在第一象限上有一点 C 到 y 轴的距离为 3，求 ABC 的面积 20已知 AB 是 O 的直径，P 为 AB 延长线上的任意一点，过点 P 作O 的切线，切点 为 C，APC 的平分线 PD 与 AC 交于点 D （1）如图，若CPA 恰好等于 30，求 CDP 的度数； （2）如图，若CPA 不等于 30时
7、，中的结论是否仍然成立？请说明理由 21如图，在 RtABC 中， ACB=90，B=30，将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度 后，得到DEC，点 D 刚好落在 AB 边上 （1）求 n 的值； （2）若 F 是 DE 的中点，判断四边形 ACFD 的形状，并说明理由 22如图，自来水厂 A 和村庄 B 在小河 l 的两侧，现要在 A，B 间铺设一条输水管道为 了搞好工程预算，需测算出 A，B 间的距离一小船在点 P 处测得 A 在正北方向，B 位于 南偏东 24.5方向，前行 1200m，到达点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49方向，B 位于南偏西 41方向 （1）线段 BQ
8、与 PQ 是否相等？请说明理由； （2）求 A，B 间的距离 （参考数据 cos410.75） 23如图，在ABC 中， ABC=90，BC=3，D 为 AC 延长线上一点，AC=3CD，过点 D 作 DHAB，交 BC 的延长线于点 H （1）求 BDcosHBD 的值； （2）若CBD=A，求 AB 的长 24如图，在ABC 中， C=45，BC=12，高 AD=10，矩形 EFPQ 的一边 QP 边上， E、F 两点分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H （1）求证： ； （2）设 BF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求其最大值； （3）当矩形 EFPQ
9、的面积最大时，该矩形以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动（当 点 Q 与点 C 重合时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与 ABC 重叠部分的面积 为 S，求 S 与 t 的函数关系式 25已知两条直线 l1、l 2 分别经过点 A（ 1，0） 、点 B（3，0）并且当两条直线同时相交于 y 轴的负半轴上的点 C 时，恰好有 l1l2，经过点 A、B 、C 的抛物线的对称轴与直线 l1 交 于点 K，与直线 l2 交于点 E，在 x 轴交于点 F，D 是抛物线的顶点，如图所示 （1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式； （2）抛物线的对称轴被直线 l1、抛物
10、线、直线 l2 和 x 轴依次截得三条线段，问：这三条线 段有何数量关系？请说明理由 （3）当直线 l2 绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，请找出使MCK 为等腰三角 形的点 M，简述理由，并写出点 M 的坐标 2015-2016 学年湖北省随州市曾都区九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1一元二次方程 2x2x=1 的一次项系数和常数项依次是( ) A1 和 1 B 1 和1 C2 和 1 D1 和 3 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】首先把 1 从等号右边移到等号左边，再确定一次项系数和常数项 【解答】解：2x 2x
11、=1， 移项得：2x 2x1=0， 一次项系数是1，常数项是 1 故选：B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2 叫 二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数 项 2若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 k 的取值可以是( ) A0 B1 C2 D以上都不是 【考点】反比例函数的性质 【专题】计算题 【分析】反比例函数 的图象位于第二、四象限，比例系数 k10，即 k1，根据 k 的取值范围进行选择 【解
12、答】解：反比例函数 的图象位于第二、四象限， k10 ， 即 k1 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数的性质对于反比例函数 （k0） ， （1）k0，反比例 函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内 3自连续正整数 1099 中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等求选出的数，其 十位数字与个位数字的和为 9 的概率为( ) A B C D 【考点】概率公式 【分析】列举出所有情况，看十位数字与个位数字的和为 9 的情况占所有情况的多少即为 所求的概率 【解答】解：在连续正整数 1099 中共有 90 个数， 其中十位数字与个位数字的和为 9 的有：18、27、36
13、、45、54、63、72、81、90 共 9 位数， 十位数字与个位数字的和为 9 的概率为： = 故选 B 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 4如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色下列图 形中，是该几何体的表面展开图的是( ) A B C D 【考点】几何体的展开图 【专题】压轴题 【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面 【解答】解：选项 A 和 C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项 B
14、能折叠成原几何体的形式； 选项 D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同 故选：B 【点评】本题主要考查了几何体的展开图解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图 的各种情形注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力 5当2 x1 时，二次函数 y=（xm） 2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为( ) A B 或 C2 或 D2 或 或 【考点】二次函数的最值 【专题】压轴题；分类讨论 【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可 【解答】解：二次函数的对称轴为直线 x=m， m2 时，x=2 时二次函数有最大值， 此时（ 2m） 2+m2+1=4， 解得 m= ，与
15、m2 矛盾，故 m 值不存在； 当 2m1 时，x=m 时，二次函数有最大值， 此时，m 2+1=4， 解得 m= ， m= （舍去） ； 当 m1 时，x=1 时二次函数有最大值， 此时，（1 m） 2+m2+1=4， 解得 m=2， 综上所述，m 的值为 2 或 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论 6在如图 44 的正方形网格中， MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M 1N1P1，则其旋 转中心可能是( ) A点 A B点 B C点 C D点 D 【考点】旋转的性质 【分析】连接 PP1、NN 1、MM 1，分别作 PP1、NN 1、MM 1 的垂直平分线，
16、看看三线都过 哪个点，那个点就是旋转中心 【解答】解：MNP 绕某点旋转一定的角度，得到 M1N1P1， 连接 PP1、NN 1、MM 1， 作 PP1 的垂直平分线过 B、D、C， 作 NN1 的垂直平分线过 B、A， 作 MM1 的垂直平分线过 B， 三条线段的垂直平分线正好都过 B， 即旋转中心是 B 故选 B 【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转 中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上 7如图，白云湖水库堤坝横断面迎水坡 AB 的斜面坡度是 1： ，堤坝高 BC=50m，则迎 水坡面 AB 的长度是( ) A10
17、0m B2400m C400 m D1200 m 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据题意可得 = ，把 BC=50m，代入即可算出 AC 的长，再利用勾股定理算 出 AB 的长即可 【解答】解：堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ， = ， BC=50m， AC=50 m， AB= =100m， 故选：A 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度问题、勾股定理；关键是掌握坡度是坡 面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比 8如图，已知 AB 是 O 的直径，AD 切O 于点 A，点 C 是 的中点，则下列结论不成 立的是( ) AOC AE BEC=BC CDAE=
18、ABE DAC OE 【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【专题】计算题 【分析】由 C 为弧 EB 的中点，利用垂径定理的逆定理得出 OC 垂直于 BE，由 AB 为圆的 直径，利用直径所对的圆周角为直角得到 AE 垂直于 BE，即可确定出 OC 与 AE 平行，选 项 A 正确； 由 C 为弧 BE 中点，即弧 BC=弧 CE，利用等弧对等弦，得到 BC=EC，选项 B 正确； 由 AD 为圆的切线，得到 AD 垂直于 OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形 ABE 中两锐角互余，利用同角的余角相等得到DAE= ABE，选项 C 正确； AC 不一定垂直于 OE，选项
19、 D 错误 【解答】解：A、点 C 是 的中点， OCBE， AB 为圆 O 的直径， AEBE， OCAE，本选项正确； B、 = ， BC=CE，本选项正确； C、AD 为圆 O 的切线， ADOA， DAE+EAB=90， EBA+EAB=90， DAE=EBA，本选项正确； D、AC 不一定垂直于 OE，本选项错误， 故选 D 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌 握切线的性质是解本题的关键 9如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD，NFAB若 NF=NM=2，ME=3，则 AN=( ) A3 B4 C5 D6 【考点】菱
20、形的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得1= 2，然后求出 AFN 和 AEM 相似，再 利用相似三角形对应边成比例列出求解即可 【解答】解：在菱形 ABCD 中，1= 2， 又 MEAD，NFAB， AEM=AFN=90， AFNAEM， = ， 即 = ， 解得 AN=4 故选 B 【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性质，关键 在于得到AFN 和AEM 相似 10如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边上的一个动点， AEEF，EF 交 DC 于 F，设 BE=x，FC=y，则当点 E 从点 B 运动到点
21、 C 时，y 关于 x 的函数图象是( ) A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题 【分析】通过设出 BE=x，FC=y，且 AEF 为直角三角形，运用勾股定理得出 y 与 x 的关 系，再判断出函数图象 【解答】解：设 BE=x，FC=y，则 AE2=x2+42，EF 2=（4x） 2+y2，AF 2=（4y） 2+42 又AEF 为直角三角形， AE2+EF2=AF2即 x2+42+（4x） 2+y2=（4y） 2+42， 化简得： ，再化为 ，很明显，函数对应 A 选项 故选：A 【点评】此题为动点函数问题，关键列出动点的函数关系，再判断选项 二、填空题（共 6 小题
22、，每小题 3 分，满分 18 分） 11写出一个有最大值的二次函数，且它的图象过（1，3）点，这个二次函数的解析式为 y=（x1） 2+3 【考点】二次函数的性质 【专题】开放型 【分析】因为二次函数有最大值，所以开口向下，即 a0；因为函数图象过（1，3）点， 根据顶点式写出解析式即可 【解答】解：二次函数有最大值， 取 a=1， 它的图象过（1，3）点， 设顶点为（1，3） ， 二次函数的解析式为 y=（x1） 2+3 故答案为 y=（x1） 2+3 【点评】本题考查了二次函数的性质，是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用， 对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题
23、若想答对需要满足所 有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错本题的结论是不唯一的，其解答思路渗 透了数形结合的数学思想 12如图，为了测量某建筑物 AB 的高度，在地面上的 C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30，沿 CB 方向前进 30m 到达 D 处，在 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 45，则建筑物 AB 的高度等于 15（ ）m 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【专题】推理填空题 【分析】根据题意可以得到，ACB=30， ADB=45，然后根据图形可以得到 AB 与 CB、BD 之间的关系，从而可以求得 AB 的长度 【解答】解：由题意可得，ACB=30， ADB=4
24、5， tan30= ，tan45 = ，CB=CD+DB，CD=30m， ， 解得 AB=BD=15（ ） 故答案为：15（ ） 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想 找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件 13已知双曲线 y= 经过点（ 1，3） ，如果 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2 ）两点在该双曲线上， 且 x1x 20，那么 y1y 2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据题意画出函数图象，再根据其反比例函数增减性解答即可 【解答】解：双曲线 y= 经过点（1，3） ， k=3， 函数图象如下图，在每个象限内，y
25、随 x 的增大而增大， A（ x1，y 1）B（x 2，y 2 ）两点在该双曲线上，且 x1x 20， A， B 两点在第二象限的曲线上， y1 y2 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征注意：反比例函数的增减性只指 在同一象限内 14圆锥的底面半径是 1，侧面积是 2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 180 【考点】圆锥的计算 【分析】根据圆锥的侧面积公式 S=rl 得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出 圆心角的度数 【解答】解：侧面积为 2， 圆锥侧面积公式为：S=rl= 1l=2， 解得：l=2， 扇形面积为 2= ， 解得：n=180， 侧面展开图的圆心角是 18
26、0 度 故答案为：180 【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的 母线长是解决问题的关键 15如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 落在 CB 的延长线上的点 E 处，则 BDC 的度数为 15 度 【考点】旋转的性质 【专题】计算题；压轴题 【分析】根据旋转的性质ABCEDB，BC=BD，求出 CBD 的度数，再求BDC 的度 数 【解答】解：根据旋转的性质ABCEDB，BC=BD， 则CBD 是等腰三角形， BDC=BCD， CBD=180DBE=18030=150， BDC= （180 CBD）=15
27、故答案为 15 【点评】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转求出即可 16如图，正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 在边 BC 上，BE=EC ，将DCE 沿 DE 所叠得 DFE，延长 EF 交边 AB 于点 G，连接 DG，BF，给出以下结论： DAGDFG；BG=2AG；EBF DEG；S BEF= 其中所有正确结论的序号是 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得 AD=DF， A=GFD=90，于是根据“ HL”判 定 RtADGRtFD
28、G，再由 GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，BGE 为直角三角形，可通过 勾股定理列方程求出 AG=4，BG=8，进而求出 BEF 的面积，再抓住BEF 是等腰三角形， 而GED 显然不是等腰三角形，判断 是错误的，问题得解 【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，DFE= C=90， DFG=A=90， 在 RtADG 和 RtFDG 中， ， RtADGRtFDG，故正确； 正方形边长是 12， BE=EC=EF=6， 设 AG=FG=x，则 EG=x+6，BG=12 x， 由勾股定理得：EG 2=BE2+BG2， 即：（x+6） 2=62+（12x） 2， 解得：x=4 AG=
29、GF=4，BG=8，BG=2AG，故 正确； BE=EF=6，BEF 是等腰三角形，易知 GED 不是等腰三角形，故 错误； SGBE= 68=24，SBEF= SGBE= = ，故正确 综上可知正确的结论的是 3 个， 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难 度 三、解答题（共 9 小题，满分 72 分） 17已知关于 x 的方程 x2+2（a1）x+a 27a4=0 的两根为 x1、x 2，且满足 x1x23x13x22=0求 a 的值 【考点】根与系数的关系；
30、根的判别式 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x2=2（a 1） ，x 1x2=a27a4，再把它们代入已知条 件后整理得到关于 a 的方程，求得方程的解，然后分别把 a 的值代入原方程，根据判别式 的意义确定 a 的值 【解答】解：根据题意得 x1+x2=2（a 1） ，x 1x2=a27a4， x1x23x13x22=0，即 x1x23（x 1+x2）2=0， a27a4+6（a1 ） 2=0， 整理得 a2a12=0，解得 a1=4，a 2=3， =4（a 1） 24（a 27a4）=20a+200， a1， a=3 舍去， 因此 a=4 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1
31、，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两 根时，x 1+x2= ，x 1x2= 18一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相 同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 （1）布袋里红球有多少个？ （2）先从布袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图等方法求出 两次摸到的球都是白球的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】 （1）设红球的个数为 x，根据白球的概率可得关于 x 的方程，解方程即可； （2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率 【解答】解：（1）设红球的个数为 x，由题意可得：
32、 ， 解得：x=1， 即红球的个数为 1 个； （2）画树状图如下： P（摸得两白）= = 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 19已知一次函数 y1=x+m 的图象与反比例函数 y2= 的图象交于 A、B 两点已知当 x1 时，y 1y 2；当 0x1 时，y 1y 2 （1）求一次函数的解析式； （2）已知双曲线在第一象限上有一点 C 到 y 轴的距离为 3，求 ABC 的面积 【考点】
33、反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】压轴题 【分析】 （1）首先根据 x1 时，y 1y 2，0x1 时，y 1y 2 确定点 A 的横坐标，然后代 入反比例函数解析式求出点 A 的纵坐标，从而得到点 A 的坐标，再利用待定系数法求直线 解析式解答； （2）根据点 C 到 y 轴的距离判断出点 C 的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标， 从而得到点 C 的坐标，过点 C 作 CDx 轴交直线 AB 于 D，求出点 D 的坐标，然后得到 CD 的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点 B 的坐标，然后 ABC 的面积=ACD 的面积+BCD 的面积，列式进行计算即可得解 【解答】解：（
34、1）当 x1 时，y 1y 2；当 0x1 时， y1y 2， 点 A 的横坐标为 1， 代入反比例函数解析式， =y， 解得 y=6， 点 A 的坐标为（1，6） ， 又 点 A 在一次函数图象上， 1+m=6， 解得 m=5， 一次函数的解析式为 y1=x+5； （2）第一象限内点 C 到 y 轴的距离为 3， 点 C 的横坐标为 3， y= =2， 点 C 的坐标为（3，2） ， 过点 C 作 CDx 轴交直线 AB 于 D， 则点 D 的纵坐标为 2， x+5=2， 解得 x=3， 点 D 的坐标为（ 3，2） ， CD=3（ 3）=3+3=6， 点 A 到 CD 的距离为 62=4，
35、 联立 ， 解得 （舍去） ， ， 点 B 的坐标为（6，1） ， 点 B 到 CD 的距离为 2（1）=2+1=3， SABC=SACD+SBCD= 64+ 63=12+9=21 【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出 点 A 的横坐标是解题的关键 20已知 AB 是 O 的直径，P 为 AB 延长线上的任意一点，过点 P 作O 的切线，切点 为 C，APC 的平分线 PD 与 AC 交于点 D （1）如图，若CPA 恰好等于 30，求 CDP 的度数； （2）如图，若CPA 不等于 30时，中的结论是否仍然成立？请说明理由 【考点】切线的性质 【分析
36、】 （1）利用切线的性质得出OCP=90，进而利用 CPA=30，得出COP 的度数， 进而结合角平分线的性质得出APD，再利用CDP= A+APD 求出答案； （2）利用切线的性质得出OCP=90，结合角平分线的性质得出 APC=2APD，结合 COP=2A，得出 2（A+APD ）=90 ，进而求出答案 【解答】解：（1）如图，连接 OC， 直线 PC 是O 的切线， OCPC，则OCP=90， CPA=30， COP=9030=60， OA=OC， A=ACO=30， PD 平分APC， APD= 30=15， CDP=A+APD=30+15=45， 即CDP 的度数为： 45； （2）
37、CDP 的大小不发生变化， 理由：如图，连接 CO， PC 是O 的切线， OCP=90， PD 是CPA 的平分线， APC=2APD， OA=OC， A=ACO， COP=2A， COP+APC=90，即 2（A+ APD）=90 ， CDP=A+APD=45， 故CDP 的大小不发生变化 【点评】此题主要考查了切线的性质以及角平分线的性质，正确得出 2（A+ APD）=90 是解题关键 21如图，在 RtABC 中， ACB=90，B=30，将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度 后，得到DEC，点 D 刚好落在 AB 边上 （1）求 n 的值； （2）若 F 是 DE 的中点，
38、判断四边形 ACFD 的形状，并说明理由 【考点】旋转的性质；含 30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）利用旋转的性质得出 AC=CD，进而得出ADC 是等边三角形，即可得出 ACD 的度数； （2）利用直角三角形的性质得出 FC=DF，进而得出 AD=AC=FC=DF，即可得出答案 【解答】解：（1）在 RtABC 中，ACB=90，B=30，将ABC 绕点 C 按顺时针方向 旋转 n 度后，得到DEC， AC=DC，A=60， ADC 是等边三角形， ACD=60， n 的值是 60； （2）四边形 ACFD 是菱形； 理由：DC
39、E= ACB=90，F 是 DE 的中点， FC=DF=FE， CDF=A=60， DFC 是等边三角形， DF=DC=FC， ADC 是等边三角形， AD=AC=DC， AD=AC=FC=DF， 四边形 ACFD 是菱形 【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半等知识，得出DFC 是等边三角形是解题关键 22如图，自来水厂 A 和村庄 B 在小河 l 的两侧，现要在 A，B 间铺设一条输水管道为 了搞好工程预算，需测算出 A，B 间的距离一小船在点 P 处测得 A 在正北方向，B 位于 南偏东 24.5方向，前行 1200m，到达点 Q 处，测得
40、 A 位于北偏西 49方向，B 位于南偏西 41方向 （1）线段 BQ 与 PQ 是否相等？请说明理由； （2）求 A，B 间的距离 （参考数据 cos410.75） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】 （1）首先由已知求出PBQ 和BPQ 的度数进行比较得出线段 BQ 与 PQ 是否相等； （2）先由已知求出PQA，再由直角三角形 PQA 求出 AQ，由（1）得出 BQ=PQ=1200， 又由已知得AQB=90，所以根据勾股定理求出 A，B 间的距离 【解答】解：（1）线段 BQ 与 PQ 相等 证明：PQB=9041 =49， BPQ=9024.5=65.5， PBQ=180
41、4965.5=65.5， BPQ=PBQ， BQ=PQ； （2）AQB=180 4941=90， PQA=9049=41， AQ= = =1600， BQ=PQ=1200， AB2=AQ2+BQ2=16002+12002， AB=2000， 答：A、B 的距离为 2000m 【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出 BQ=PQ，再由直角三角形先求出 AQ，根据勾股定理求出 AB 23如图，在ABC 中， ABC=90，BC=3，D 为 AC 延长线上一点，AC=3CD，过点 D 作 DHAB，交 BC 的延长线于点 H （1）求 BDcosHBD 的值； （2
42、）若CBD=A，求 AB 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【分析】 （1）首先根据 DHAB，判断出 ABCDHC，即可判断出 =3；然后求出 BH 的值是多少，再根据在 RtBHD 中，cos HBD= ，求出 BDcosHBD 的值是多少即 可 （2）首先判断出ABCBHD，推得 ；然后根据 ABCDHC，推得 ， 所以 AB=3DH；最后根据 ，求出 DH 的值是多少，进而求出 AB 的值是多少即 可 【解答】解：（1）DHAB， BHD=ABC=90， ABCDHC， =3， CH=1，BH=BC+CH ， 在 RtBHD 中， cosHBD= ， BDcosHBD
43、=BH=4 （2）CBD= A，ABC=BHD ， ABCBHD， ， ABCDHC， ， AB=3DH， ， 解得 DH=2， AB=3DH=32=6， 即 AB 的长是 6 【点评】 （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是 要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对 图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使 用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握 24如图，在ABC 中， C=45，BC=12，高
44、 AD=10，矩形 EFPQ 的一边 QP 边上， E、F 两点分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H （1）求证： ； （2）设 BF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求其最大值； （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动（当 点 Q 与点 C 重合时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与 ABC 重叠部分的面积 为 S，求 S 与 t 的函数关系式 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）根据矩形的性质得出 EFQP，再由 ADBC 可得出 AHEF，进而可得出结 论； （2）先用 x 表示出 A
45、H 的长，再由 S 矩形 EFPQ=EFEQ 可得出二次函数的解析式，进而可 得出结论； （3）先求出 PC 及 QC 的长，再分 0t5，5t 6 及 6t11 三种情况进行讨论即可 【解答】 （1）证明：四边形 EFPQ 是矩形， EFQP ADBC， AHEF， = ； （2）解：由（1）得， = ， AH= x， EQ=HD=ADAH=10 x， S 矩形 EFPQ=EFEQ=x（10 x）= x2+10x= （x 6） 2+30， 0， 当 x=6 时，S 矩形 EFPQ 有最大值，最大值为 30 （3）解：如图 1，由（2）得，EF=6，EQ=5， C=45， FPC 是等腰直角三角形， PC=PF=EQ=5，QC=QP+PC=11， 分三种情况进行讨论： 如图 2 所示，当 0t5 时，设 EF、PF 分别交 AC 于点 M，则MFN 是等腰直角三角形， FN=MF=t， S=S 矩形 EFPQSMFN=30 t2= t2+30； 如图 3，当 5t6 时，则 ME=6t，QC=11t， S=S 梯形 EMCQ= （6t ）+（11t）5=5t+ ； 如图 4，当 6t11 时，设 EQ 交 AC 于点 K，则KQC 是等腰直角三角形，则 KQ=QC=11t， S=SKQC= （11t） 2，
