1、第 1 页（共 32 页） 2016-2017 学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x24 先向右平移两个单位，再向上平移两 个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） Ay= （ x+2） 2+2 By=（x2） 22 Cy=（x2） 2+2Dy=（x +2） 22 2下列关于函数 的图象说法：图象是一条抛物线；开口向下； 对称轴是 y 轴；顶点（0，0 ） ，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3如图是二次
2、函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的 解集是（ ） A 1 x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5 4抛物线 y=（x+2） 23 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是 （ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 5为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图 形，其中 ABBE，EFBE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四
3、位同学分别测量出 以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB ，ADB；EF，DE，BD；DE ，DC，BC能根据所测数据，求 第 2 页（共 32 页） 出 A，B 间距离的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 6如图，ABC 与DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 AB=4，则 DE 的长 等于（ ） A6 B5 C9 D 7如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0 ） ，B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点，则 cosOBC 的值为（ ） A B C D 8在 RtABC 中，C=90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是（
4、 ） A2 B3 C D 9如图，点 B、D 、C 是O 上的点，BDC=130，则BOC 是（ ） 第 3 页（共 32 页） A100 B110 C120 D130 10如图，ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是 （1 ，0） 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下作ABC 的位似图形ABC ，并把 ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点 A的对应点 A 的纵坐标是 1.5，则点 A的 纵坐标是（ ） A3 B3 C4 D4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11已知二次函数 y=x2+bx+3 的对称轴为 x=2，则 b= 12若AD
5、E ACB ，且 = ，若四边形 BCED 的面积是 2，则ADE 的面积 是 13在 RtABC 中，C=90，AB=4，BC=2 ，则 sin = 14如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE 丄 EF，EF 丄 FC，并且 AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 第 4 页（共 32 页） 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分） 15计算：（1） 2016+2sin60| |+0 四、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分） 16已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B （1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）
6、求抛物线的顶点坐标 17某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动如图，他们 在河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在它的正西方向，然后从 A 点出发 沿河岸向正北方向行进 550 米到点 C 处，测得 B 在点 C 的南偏西 60方向上， 他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： 1.414 ， 1.732 ） 18已知：如图，点 P 是O 外的一点，PB 与O 相交于点 A、B，PD 与O 相交于 C、D，AB=CD 求证：（1）PO 平分BPD； （2）PA=PC 19如图，ABC 中，E 是 AC 上一点，且 AE=AB，EBC= BAC，以 AB 为直
7、 径的O 交 AC 于点 D，交 EB 于点 F （1）求证：BC 与O 相切； （2）若 AB=8，sinEBC= ，求 AC 的长 第 5 页（共 32 页） 20如图，直线 y=x+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，4） ，B 两点，延 长 AO 交反比例函数图象于点 C，连接 OB （1）求 k 和 b 的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围； （3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 SPAC = SAOB ？若存在请求出点 P 坐标，若 不存在请说明理由 21如图，在ABC 中， C=90，AD 是BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，
8、以 OA 为半径的O 经过点 D （1）求证：BC 是O 切线； （2）若 BD=5，DC=3 ，求 AC 的长 22一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶 5 分钟后离开轨道，前 2 分钟其速度 v（米/分）与时间 t（分）满足二次函数 v=at2，后三分钟其速度 v（米/分）与 第 6 页（共 32 页） 时间 t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠 1 分钟末 的速度为 2 米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式 （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度 （3）求弹珠离开轨道时的速度 五、综合题（本大题共 1 小题，共 14 分） 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
9、直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交 点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC 求PAC 的面积 的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 第 7 页（共 32 页） 第 8 页（共 32 页） 2016-2017 学年安徽
10、省安庆市九年级（上）期末数学模 拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x24 先向右平移两个单位，再向上平移两 个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） Ay= （ x+2） 2+2 By=（x2） 22 Cy=（x2） 2+2Dy=（x +2） 22 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可 【解答】解：函数 y=x24 向右平移 2 个单位，得：y=（x2） 24； 再向上平移 2 个单位，得
11、：y=（x 2） 22； 故选 B 2下列关于函数 的图象说法：图象是一条抛物线；开口向下； 对称轴是 y 轴；顶点（0，0 ） ，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数的性质 【分析】函数 是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断 【解答】解：二次函数 的图象是抛物线，正确； 因为 a= 0，抛物线开口向下，正确； 因为 b=0，对称轴是 y 轴，正确； 顶点（0，0）也正确 第 9 页（共 32 页） 故选 D 3如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的 解集是（ ） A 1 x5 Bx5 Cx1 且
12、 x5 Dx1 或 x5 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合 图象可得出 ax2+bx+c0 的解集 【解答】解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（ 5，0） ， 图象与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集， x1 或 x5 故选：D 4抛物线 y=（x+2） 23 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是 （ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2
13、个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“ 左加右减，上加下减” 的原则进行解答即可 第 10 页（共 32 页） 【解答】解：抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y=（x+2） 2， 抛物线 y=（x+2 ） 2，再向下平移 3 个单位即可得到抛物线 y=（x+2） 23 故平移过程为：先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 故选：B 5为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图 形，其中 ABBE，EFBE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位
14、同学分别测量出 以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB ，ADB；EF，DE，BD；DE ，DC，BC能根据所测数据，求 出 A，B 间距离的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用 【分析】根据三角形相似可知，要求出 AB，只需求出 EF 即可所以借助于相 似三角形的性质，根据 = 即可解答 【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑， 因为知道ACB 和 BC 的长，所以可利用ACB 的正切来求 AB 的长； 可利用ACB 和ADB 的正切求出 AB； ，因为ABD EFD 可利用 = ，求出 AB； 无法求出 A，B 间距离 故共有
15、3 组可以求出 A，B 间距离 故选 C 6如图，ABC 与DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 AB=4，则 DE 的长 第 11 页（共 32 页） 等于（ ） A6 B5 C9 D 【考点】位似变换 【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等 【解答】解：根据题意，ABC 与DEF 位似，且 AB：DE=2：3，AB=4 DE=6 故选 A 7如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0 ） ，B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点，则 cosOBC 的值为（ ） A B C D 【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 【分析】连接 C
16、D，由COD 为直角，根据 90的圆周角所对的弦为直径，可得 出 CD 为圆 A 的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到CBO=CDO ，在直 角三角形 OCD 中，由 CD 及 OC 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，然后利用余 弦函数定义求出 cosCDO 的值，即为 cosCBO 的值 【解答】解：连接 CD，如图所示： COD=90， CD 为圆 A 的直径，即 CD 过圆心 A， 第 12 页（共 32 页） 又CBO 与CDO 为 所对的圆周角， CBO=CDO， 又C （ 0，5） ， OC=5， 在 RtCDO 中，CD=10 ， CO=5， 根据勾股定理得：OD= =5 ，
17、 cosCBO=cosCDO= = = 故选 B 8在 RtABC 中，C=90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是（ ） A2 B3 C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据正切的概念计算即可 【解答】解：设 BC=x，则 AB=3x， 由勾股定理得，AC= =2 x， 则 tanB= =2 ， 故选：A 9如图，点 B、D 、C 是O 上的点，BDC=130，则BOC 是（ ） 第 13 页（共 32 页） A100 B110 C120 D130 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】首先在优弧 上取点 E，连接 BE，
18、CE，由点 B、D、C 是O 上的点， BDC=130，即可求得 E 的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案 【解答】解：在优弧 上取点 E，连接 BE，CE，如图所示： BDC=130， E=180BDC=50， BOC=2E=100 故选：A 10如图，ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是 （1 ，0） 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下作ABC 的位似图形ABC ，并把 ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点 A的对应点 A 的纵坐标是 1.5，则点 A的 纵坐标是（ ） 第 14 页（共 32 页） A3 B3 C4 D4 【考点】位似变换；坐标与图形性质
19、【分析】根据位似变换的性质得出ABC 的边长放大到原来的 2 倍，进而得出 点 A的纵坐标 【解答】解：点 C 的坐标是（ 1，0） 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作 ABC 的位似图形ABC， 并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍 点 A的对应点 A 的纵坐标是 1.5， 则点 A的纵坐标是： 3 故选：B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11已知二次函数 y=x2+bx+3 的对称轴为 x=2，则 b= 4 【考点】二次函数的性质 【分析】可直接由对称轴公式 =2，求得 b 的值 【解答】解：对称轴为 x=2， =2， b=4 12若ADE ACB
20、 ，且 = ，若四边形 BCED 的面积是 2，则ADE 的面积 是 第 15 页（共 32 页） 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据题意求出ADE 与ACB 的相似比，根据相似三角形面积的比等 于相似比的平方计算即可 【解答】解：ADE ACB ，且 = ， ADE 与 ACB 的面积比为： ， ADE 与四边形 BCED 的面积比为： ，又四边形 BCED 的面积是 2， ADE 的面积是 ， 故答案为： 13在 RtABC 中，C=90，AB=4，BC=2 ，则 sin = 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据在 RtABC 中，C=90，AB=4，BC=2 ，可以求得A 正弦值
21、， 从而可以求得A 的度数，进而可求得 sin 的值 【解答】解：在 RtABC 中，C=90，AB=4，BC=2 ， sinA= ， A=60， sin =sin30= ， 故答案为： 14如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE 丄 EF，EF 丄 FC，并且 AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80160 第 16 页（共 32 页） 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【分析】首先连接 AC，则可证得 AEM CFM，根据相似三角形的对应边成 比例，即可求得 EM 与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM
22、 的长，则可求 得正方形与圆的面积，则问题得解 【解答】解：连接 AC， AE 丄 EF， EF 丄 FC， E=F=90， AME=CMF， AEMCFM ， ， AE=6，EF=8，FC=10， ， EM=3，FM=5， 在 RtAEM 中，AM= =3 ， 在 RtFCM 中，CM= =5 ， AC=8 ， 在 RtABC 中，AB=ACsin45=8 =4 ， S 正方形 ABCD=AB2=160， 圆的面积为：（ ） 2=80， 正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80160 故答案为：80160 第 17 页（共 32 页） 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分） 1
23、5计算：（1） 2016+2sin60| |+0 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算， 求出算式（1） 2016+2sin60| |+0 的值是多少即可 【解答】解：（1） 2016+2sin60| |+0 =1+2 +1 =1+ +1 =2 四、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分） 16已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B （1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【分析】 （1）根据抛物线 y=x2+bx+
24、c 经过点 A（3，0） ，B（1，0） ，直接得出抛 物线的解析式为；y=（x 3） （x+1） ，再整理即可， （2）根据抛物线的解析式为 y=x2+2x+3=（x 1） 2+4，即可得出答案 【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B（1，0） 抛物线的解析式为；y=（x3） （x+1） ， 第 18 页（共 32 页） 即 y=x2+2x+3， （2）抛物线的解析式为 y=x2+2x+3=（x 1） 2+4， 抛物线的顶点坐标为：（1，4） 17某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动如图，他们 在河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在
25、它的正西方向，然后从 A 点出发 沿河岸向正北方向行进 550 米到点 C 处，测得 B 在点 C 的南偏西 60方向上， 他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： 1.414 ， 1.732 ） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】根据题意，BAC=90，AC=550，ACB=60，求 AB由三角函数定义 可建立关系式后求解 【解答】解：由题意得：ABC 中，BAC=90，ACB=60， AC=550，AB=ACtanACB=550 952.6953（米） 答：他们测得湘江宽度为 953 米 18已知：如图，点 P 是O 外的一点，PB 与O 相交于点 A、B，PD
26、 与O 相交于 C、D，AB=CD 求证：（1）PO 平分BPD； （2）PA=PC 第 19 页（共 32 页） 【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理 【分析】 （1）过点 O 作 OEAB，OFCD，垂足分别为 E、F ，根据 AB=CD 可知 OE=OF，进而可知 PO 平分 BPD ； （2）先根据全等三角形的判定定理得出 RtPOERtPOF，再由垂径定理可 得出 AE=CF，再根据 PEAE=PFCF 即可得出结论 【解答】证明：（1）过点 O 作 OEAB，OFCD，垂足分别为 E、F ， AB=CD， OE=OF， PO 平分 BPD； （2）在
27、Rt POE 与 RtPOF 中， OP=OP，OE=OF， RtPOERt POF ， PE=PF， AB=CD，OEAB，OF CD，E 、F 分别为垂足， AE= ， CF= ， AE=CF， PEAE=PF CF，即 PA=PC 19如图，ABC 中，E 是 AC 上一点，且 AE=AB，EBC= BAC，以 AB 为直 第 20 页（共 32 页） 径的O 交 AC 于点 D，交 EB 于点 F （1）求证：BC 与O 相切； （2）若 AB=8，sinEBC= ，求 AC 的长 【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）首先连接 AF，由 AB 为直径，根据圆周角
28、定理，可得AFB=90 ， 又由 AE=AB，EBC= BAC，根据等腰三角形的性质，可得 BAF=EBC，继 而证得 BC 与 O 相切； （2）首先过 E 作 EGBC 于点 G，由三角函数的性质，可求得 BF 的长，易证得 CEGCAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案 【解答】 （1）证明：连接 AF AB 为直径， AFB=90 AE=AB， ABE 为等腰三角形 BAF= BAC EBC= BAC， BAF=EBC， FAB+FBA=EBC + FBA=90 ABC=90 即 ABBC， BC 与 O 相切 第 21 页（共 32 页） （2）解：过 E 作 EGBC 于点
29、 G， BAF=EBC， sin BAF=sinEBC= 在AFB 中，AFB=90， AB=8， BF=ABsin BAF=8 =2， BE=2BF=4 在EGB 中，EGB=90， EG=BEsin EBC=4 =1， EGBC，AB BC ， EGAB， CEGCAB ， ， CE= ， AC=AE+CE=8+ = 第 22 页（共 32 页） 20如图，直线 y=x+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，4） ，B 两点，延 长 AO 交反比例函数图象于点 C，连接 OB （1）求 k 和 b 的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围； （3）在
30、 y 轴上是否存在一点 P，使 SPAC = SAOB ？若存在请求出点 P 坐标，若 不存在请说明理由 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）由待定系数法即可得到结论； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）过 A 作 AMx 轴，过 B 作 BNx 轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线 的表达式为：y=x +5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得 B（4 ，1） ，于是得到 ，由已知 条件得到 ，过 A 作 AEy 轴，过 C 作 CDy 轴，设 P（0，t） ， 第 23 页（共 32 页） 根据三角形的面积公式列方程即可得到结论 【解答】解：（1）将 A
31、（1，4）分别代入 y=x+b 和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4； （2）一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围为：x 4 或 0x 1， （3）过 A 作 AMx 轴，过 B 作 BNx 轴， 由（1）知，b=5，k=4， 直线的表达式为：y=x +5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或 x=1， B（4，1） ， ， ， ， 过 A 作 AEy 轴，过 C 作 CDy 轴，设 P（0，t ） ， S PAC = OPCD+ OPAE= OP（CD+AE）=|t|=3， 解得：t=3，t= 3， P（0，3）或 P（0，3） 第 24 页（共 32 页
32、） 21如图，在ABC 中， C=90，AD 是BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的O 经过点 D （1）求证：BC 是O 切线； （2）若 BD=5，DC=3 ，求 AC 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）要证 BC 是O 的切线，只要连接 OD，再证 ODBC 即可 （2）过点 D 作 DEAB，根据角平分线的性质可知 CD=DE=3，由勾股定理得到 BE 的长，再通过证明BDEBAC，根据相似三角形的性质得出 AC 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD； AD 是BAC 的平分线， 1=3 OA=OD， 1=2 2=3 AC 第 25 页（共 32 页）
33、ODB=ACB=90 ODBC BC 是 O 切线 （2）解：过点 D 作 DEAB， AD 是BAC 的平分线， CD=DE=3 在 RtBDE 中，BED=90， 由勾股定理得： ， BED= ACB=90，B=B， BDE BAC AC=6 22一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶 5 分钟后离开轨道，前 2 分钟其速度 v（米/分）与时间 t（分）满足二次函数 v=at2，后三分钟其速度 v（米/分）与 时间 t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠 1 分钟末 第 26 页（共 32 页） 的速度为 2 米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式 （2）弹珠在轨道
34、上行驶的最大速度 （3）求弹珠离开轨道时的速度 【考点】反比例函数的应用 【分析】 （1）二次函数图象经过点（1，2） ，反比例函数图象经过点（2，8） ， 利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把 t=2 代入（1 ）中二次函数解析式即可； （3）把 t=5 代入（1 ）中反比例函数解析式即可求得答案 【解答】解：（1）v=at 2 的图象经过点（1，2） ， a=2 二次函数的解析式为：v=2t 2， （0t2） ； 设反比例函数的解析式为 v= ， 由题意知，图象经过点（2，8） ， k=16， 反比例函数的解析式为 v= （2t5） ； （2）二次函数 v=2t2， （ 0t2）的图
35、象开口向上，对称轴为 y 轴， 弹珠在轨道上行驶的最大速度在 2 秒末，为 8 米/分； （3）弹珠在第 5 秒末离开轨道，其速度为 v= =3.2（米/ 分） 第 27 页（共 32 页） 五、综合题（本大题共 1 小题，共 14 分） 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交 点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC 求PAC 的面积 的最大值，并求出此
36、时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）先求的直线 y= x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对 称性可求得点 B 的坐标； 设抛物线的解析式为 y=y=a（x+4） （x1） ，然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （2）设点 P、Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、Q 的纵坐标，从而可得到线段 PQ= m22m，然后利用三角形的面积公式可求得 SPAC = PQ4，然后利 用配方
37、法可求得PAC 的面积的最大值以及此时 m 的值，从而可求得点 P 的坐 标； （3）首先可证明ABC ACOCBO ，然后分以下几种情况分类讨论即可： 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC；根据抛物线的对 第 28 页（共 32 页） 称性，当 M（ 3，2 ）时， MAN ABC； 当点 M 在第四象限时，解题时， 需要注意相似三角形的对应关系 【解答】解：（1）y= 当 x=0 时，y=2 ，当 y=0 时，x= 4， C （0，2） ，A（4，0） ， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x= 对称， 点 B 的坐标为 1，0） 抛物线 y=ax2+bx
38、+c 过 A（ 4，0） ，B（1，0） ， 可设抛物线解析式为 y=a（x +4） （x1） ， 又抛物线过点 C（0，2） ， 2=4a a= y= x2 x+2 （2）设 P（m， m2 m+2） 过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q， Q （ m， m+2） ， PQ= m2 m+2（ m+2） = m22m， 第 29 页（共 32 页） S PAC = PQ4， =2PQ=m24m=（m+2） 2+4， 当 m=2 时， PAC 的面积有最大值是 4， 此时 P（2 ，3） （3）方法一： 在 RtAOC 中，tanCAO= 在 RtBOC 中，tanBCO= ， CAO=B
39、CO， BCO +OBC=90， CAO +OBC=90， ACB=90 ， ABCACO CBO， 如下图： 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC； 根据抛物线的对称性，当 M（ 3，2）时，MANABC ； 当点 M 在第四象限时，设 M（n， n2 n+2） ，则 N（n，0） MN= n2+ n2，AN=n+ 4 第 30 页（共 32 页） 当 时，MN= AN，即 n2+ n2= （n +4） 整理得：n 2+2n8=0 解得：n 1=4（舍） ，n 2=2 M（ 2，3） ； 当 时，MN=2AN，即 n2+ n2=2（n+4） ， 整理得：n 2n20=0
40、 解得：n 1=4（舍） ，n 2=5， M（ 5，18） 综上所述：存在 M1（0，2） ，M 2（3，2） ，M 3（2，3） ，M 4（5，18） ，使得以 点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似 方法二： A（4 ，0） ，B（1 ，0） ，C （0 ，2） ， K ACKBC=1， ACBC ，MNx 轴， 若以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似， 则 ， ， 设 M（ 2t，2t 23t+2） ， N（2t，0） ， | |= ， | |= ， 第 31 页（共 32 页） 2t 1=0，2t 2=2， | |= ， | |=2，2t 1=5，2t 2=3， 综上所述：存在 M1（0，2） ，M 2（3，2） ，M 3（2，3） ，M 4（5，18） ，使得以 点 A、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似 第 32 页（共 32 页） 2017 年 1 月 18 日
