1、上海市闸北区 2010 学年度第一学期高三数学（理科）期末定位考试卷（2011.1） 考生注意： 1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在 规定区域内贴上条形码 3. 本试卷共有 18 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟 一、填空题（本题满分 50 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分 1 2)1(753limnnC 2已知两条不同的直线 和平面 给出下面三个命题：、 ， ； ， ； ， /m/
2、n/mnn 其中真命题的序号有 （写出你认为所有真命题的序号） 3若复数 满足： ， ， （ 为虚数单位） ，则 ziz2iz2z 4设函数 与函数 的图像关于直线 对称，则当 时， 0,1)(2xxfx )(xgxy0x )(g 5如右图，矩形 由两个正方形拼成，则 的正切值为 ABCDCAE 6在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的BOD 中点，若 ， ，则 （用 、 表示）abEab 7现剪切一块边长为 4 的正方形铁板，制作成一个母线长为 4 的圆锥 的侧面，那么，当剪切V 掉作废的铁板面积最小时，圆锥 的体积为 V 8某班级在 5 人中选 4 人参加 4100 米接力如果第一
3、棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后 一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有 种 （用数字作答） 9若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 02cbxa21|x|2xbca 10设常数 ，以方程 的根的可能个数为元素的集合 R2|xa A 二、 选 择 题 （ 本 题 满 分 15 分 ） 本 大 题 共 有 3 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结 论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 是 正 确 的 ， 必 须 把 答 题 纸 上 相 应 题 序 内 的 正 确 结 论 代 号 涂 黑 ， 选 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 . 11我们称侧棱都相
4、等的棱锥为等腰棱锥设命题甲：“四棱锥 是等腰棱锥” ；命题BCDP 乙：“四棱锥 的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面” 那么，甲是ABCDP 乙的 【 】 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 12函数 的值域是 【 】32)arcos(inxy A 65， B C D 650，,6320， 13某人从 2010 年 9 月 1 日起，每年这一天到银行存款一年定期 1 万元，且每年到期的存款将 本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率 保持不变，到 2015 年 9 月 1%. 日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为
5、 【 】 A. 11314 元 B. 53877 元 C. 11597 元 D.63877 元 三、解答题（本题满分 85 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤 14 （满分 14 分）本题有 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 已知在平面直角坐标系 中， 三个顶点的直角坐标分别为 ， ，xOyAB)3,4(A)0,(O )0,(bB （1）若 ，求 的值；5cos （2）若 为锐角三角形，求 的取值范围Ab 15 （满分 15 分）本题有 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分 如图，在直角梯形 中， ，
6、， ， 将BCD0AB2CD1B （及其内部）绕 所在的直线旋转一周，形成一个几何体BCD （1）求该几何体的体积 ；V （2）设直角梯形 绕底边 所在的直线旋转角 （ ）至 ，A),0( AC 问：是否存在 ，使得 若存在，求角 的值，若不存在，请说明理由 16 （满分 16 分）本题有 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 9 分 据测算：2011 年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是 1 万件；如 果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量） 万件与年促销费用 万元mx （ ）满足 （ 为常数） 已知 2011 年生产该产品的前期投入需要 8 万元，每
7、0x3xkm 生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本 的 1.5 倍（定价不考虑促销成本） （1）若 2011 年该产品的销售量不少于 2 万件，则该产品年促销费用最少是多少？ （2）试将 2011 年该产品的年利润 （万元）表示为年促销费用 （万元）的函数，并求 2011yx 年的最大利润 17 （满分 20 分）本题有 2 小题，第 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分 设 为定义域为 的函数，对任意 ，都满足： ，)(xfRRx)1()(ff ，且当 时，1,0x.3)(xf （1）请指出 在区间 上的奇偶性、单调区间、最大（小）
8、值和零点，并运用相关定义 证明你关于单调区间的结论； （2）试证明 是周期函数，并求其在区间 上的解析式)(f )Z(2,1k 18 （满分 20 分）本题有 2 小题，第 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分 已知数列 和 满足：对于任何 ，有 ，nab*Nnnnba1 为非零常数） ，且 ()1(12nb1b， （1）求数列 和 的通项公式； （2）若 是 与 的等差中项，试求 的值，并研究：对任意的 ， 是否一定能是数3b69*Nnnb 列 中某两项（不同于 ）的等差中项，并证明你的结论nnb 闸北区 2010 学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1 一、12；
9、2； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ；2x31a41 7 ； 824； 9 ； 10 .35 0|3,2 二、 11C 12D 13B. 三、14解：（1） 【解一】 ， ，)3,4(AO)3,4(bA 若 ，则 2 分5b),1( 所以， ， .2 分0|cos 所以， .2 分.54s2A 【解二】 .2 分)c(B .2 分oO .2 分54s 综上所述， 2 分)2,4(b （2） 【解一】若 为锐角，则 ，即 ，得 .2 分A0AB09164b425b 若 为锐角，则 ，即 ，得 或 .2 分B0O)(b 若 为锐角，则 ，即 ，得 .2 分O4 综上所述， 2 分)425,(b 【解
10、二】用平面几何或解析几何的方法同样给分 15解：（1）如图，作 ，则由已知，得 ，.2 分ABDE2,1EBADE 所以， .4 分.3212132V （2） 【解一】如图所示，以 为原点，分别以线段 、 所在的直线为 轴、 轴，通过BCxz 点，做垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系.1 分BCy 由题意，得 ， ， ， ， 2 分),0(A)2,1(D)0,sin(co )2,sin(co D ， ,sinco D2,1 若 ，则 ，. .4 分C0sin)(co2 得 ，与 矛盾， . .1 分23cs1s 故，不存在 ，使得 . .1 分DCA 【解二】取 的中点 ，连 ， ，
11、则 （或其补角）就是异面直线BE EC 所成的角 DCA与 . .1 分 在 中， ， ， .3 分261B.cos2s2 . .2 分.cos5)cos1(22 ，. .2 分023cos 2 DCECEDC 故，不存在 ，使得 . .1 分A 16解：（1）由题意可知，当 时， （万件） ，由 可得 0x1m13xk2 所以 .3 分123xm 由题意，有 ，解得 x 所以，则该产品年促销费用最少是 1 万元 .4 分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为 （元） ，m685. 所以，2011 年的利润 )(. xmyx84)123( .4 分6x 因为 ， ，0x8)1(6x 所以 ，
12、4 分2192 y 当且仅当 ，即 （万元）时，利润最大为 21 万元1 分1x3 17解：（1）偶函数；.1 分 最大值为 、最小值为 0；.1 分38 单调递增区间： 单调递减区间： ；.1 分;,0,1 零点： .1 分x 单调区间证明： 当 时，1,0.3)(xf 设 ， ，2， 21)()()( 211 xxxff )31)(3(221 xx 证明 在区间 上是递增函数)(xf1,0 由于函数 是单调递增函数，且 恒成立，xy303x 所以 ， ，21x 21x0)(ff 所以， 在区间 上是增函数.4 分), 证明 在区间 上是递减函数x 【证法一】因为 在区间 上是偶函数)(f1
13、, 对于任取的 ， ，有0,21， 2x021x)()(11 fxf 所以， 在区间 上是减函数 4 分x, 【证法二】设 ，由 在区间 上是偶函数，得,.3)()xff 以下用定义证明 在区间 上是递减函数 4 分f0,1 （2）设 ， ，Rx)(1)()()2xfff 所以，2 是 周期 4 分)( 当 时， ，,1k,x 所以 .4 分.3)(22kxkfff 18解：（1） 【解一】由 得，)0,(11 nbbnn (1nnb 又 ， ， 121a0a 所以， 是首项为 1，公比为 的等比数列， .5 分1na 由 ，得)()()( 123nn bb1nb 所以，当 时， .6 分2 .1,11 n 上式对 显然成立1 分1n 【解二】猜测 ，并用数学归纳法证明 .5 分1na 的求法如【解一】 7 分b 【解三】猜测 ，并用数学归纳法证明 .7 分 .1,1 nn 5 分1-1nba （2）当 时， 不是 与 的等差中项，不合题意；.1 分369b 当 时，由 得 ，20258 由 得 （可解得 ）2 分006 3 对任意的 ， 是 与 的等差中项 .2 分*Nnn36n 证明： ， 0)2(16363 nnbb ， .3 分2 即，对任意的 ， 是 与 的等差中项*Nn36n
