1、海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科） 2010.1 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分 .在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项. 1 函数 的值域为1(0)yx A B 2,(2,) C D (0,) , 2如图， 、 分别是圆 的割线和切线（C 为切点） ，若 ，则 的长为PBO3PABPC A B6 6 C D3 3 3已知双曲线 ，那么它的焦点到渐近线的距离为 213yx A1 B C3 D4 3 4已知 为两条不同直线， 为两个不同平面，那么使 成立的一个充分条件是,mn,/m A B /, C D 上有不同的两个点到 的距离相等,
2、n 5先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于 6 的条件下，先后出现的点数中有 3 的 概率为 A B C D 16151325 6如图，向量 等于 ab A B 124e124e C D33 7某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改 修数学，但每班至多可再接收 2 名同学，那么不同的分配方案有 ABO 2e1ba A72 种 B54 种 C36 种 D18 种 8点 在曲线 ： 上，若存在过 的直线交曲线 于 点，交直线 ：PC214xyPAl4x 于 点，满足 或 ，则称点 为“H 点” ，那么下列结论正确的是BAPA A曲线. .上的所有点都是
3、“H 点” B曲线 上仅有有限个点是“H 点” C曲线 上的所有点都不是“H 点” D曲线 上有无穷多个点（但不是所有的点）是 “H 点” 第 II 卷（共 110 分） 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9若直线 的参数方程为 ，则直线 的斜率为_. l1 23xty， （ 为 参 数 ）， l 10阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的 y 值为 ，18 则输入的实数 x 值为_. 11一个几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的表面积为_. 12设关于 的不等式 的解集中整数的个数为 ，数列 的前 项x2*()xnNnan 和为
4、 ，则 的值为_.nS10 13在区间 上任取两个数 ，那么函数 无零点的概率为_.,2,ab22()fxab 14考虑以下数列 ， ：n*N ； ； .21na21nln1 其中满足性质“对任意正整数 ， 都成立”的数列有 （写出满a 开始 x 021y 结束 输出 y 是 否 输入 x 12xy正 视 图 侧 视 图俯 视 图123123 足条件的所有序号） ；若数列 满足上述性质，且 ， ，则 的最小值为 .na1a205810a 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过 程. 15 （本小题满分 13 分） 在 中，角 的对边分别为 ，
5、， 的面积为 .ABC, ,3abcC5bABC103 （）求 ， 的值；ac （）求 的值. sin()6 16 （本小题满分 13 分） 某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已 知该题有两空，第一空答对得 3 分，答错或不答得 0 分；第二空答对得 2 分，答错或不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取 1000 份试卷， 其中该题的得分组成容量为 1000 的样本，统计结果如下表： （ ） 求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学
6、生参加考试，以样本中各 种得分情况的频率（精确到 0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该 同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率. 17 （本小题满分 13 分） 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD底面 ABCD，E ，F 分别为棱 BC， AD 的中点 . （）求证：DE平面 PFB； （）已知二面角 P-BF-C 的余弦值为 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 6 第一空得分情况 第二空得分情况 得分 0 3 得分 0 2 人数 198 802 人数 698 302 ABECPDF 18.（本小题满分 13 分） 已知函数 （其中 ）.
7、 2()1xafR （）若函数 在点 处的切线为 ，求实数 的值；(,)f12yxb,ab （）求函数 的单调区间.()fx 19 （本小题满分 14 分） 已知抛物线 经过点 A(2,1)，过 A 作倾斜角互补的两条不同直线 .:W2yax 12,l （）求抛物线 的方程及准线方程； （）当直线 与抛物线 相切时，求直线 与抛物线 所围成封闭区域的面积；1l 2lW （）设直线 分别交抛物线 于 B，C 两点（均不与 A 重合） ，若以线段 BC 为直径的2,l 圆与抛物线的准线相切，求直线 BC 的方程. 20 （本小题满分 14 分） 给定项数为 的数列 ，其中 .m*(,3)Nna0,
8、1i(,2)im 若存在一个正整数 ，若数列 中存在连续的 k 项和该数列中另一个连21k 续的 k 项恰好按次序对应相等，则称数列 是“ k 阶可重复数列”，na 例如数列 na0,1,. 因为 与 按次序对应相等，所以数列 是“4 阶可重复数列”.234567,ana （）分别判断下列数列 :0, 1, 0, .nb :1, , 01, .nc 是否是“5 阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这 5 项； （）若数为 的数列 一定是 “3 阶可重复数列”，则 的最小值是多少？说明理由；mnam （III）假设数列 不是“5 阶可重复数列”，若在其最后一项 后再添加一项 0 或 1，均n m
9、a 可使新数列是“5 阶可重复数列”，且 ，求数列 的最后一项 的值.41anma 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 20101 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C C D B D 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） 9 10 11 1210100 13 14;28342414 三、解答
10、题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15 （本小题满分 13 分） 解：（）由已知， ， ，3C5b 因为 ， 1sin2ABSa 即 ， 1 分05i3 解得 . 3 分8 由余弦定理可得: , 5 分26480cos493c 所以 . 7 分7 （）由（）有 , 9 分951os7A 由于 A 是三角形的内角， 易知 , 10 分243sin1cs 所以 11 分()iocsin66A . 4317234 13 分 16 （本小题满分 13 分） 解：（）设样本试卷中该题的平均分为 ，则由表中数据可得:x ， .4 分0198302698302.1x 据此可估计这个地区高三学生该题的平
11、均分为 3.01 分. .5 分 （）依题意，第一空答对的概率为 0.8，第二空答对的概率为 0.3，.7 分 记“第一空答对”为事件 ， “第二空答对”为事件 ，则“第一空答错”为事件 ， “第ABA 二空答错”为事件 .若要第一空得分不低于第二空得分，则 发生或 与 同时发生，BAB .9 分 故有： . .12 分()0.82.7094PA 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为 0.94. .13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 E，F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC，AD 的中点， 所以 , 所以， 为平行四边形, .2 分BD BEF 得 ， .
12、3 分/ 又因为 平面 PFB，且 平面 PFB, .4 分F 所以 DE平面 PFB. .5 分 （）如图，以 D 为原点，射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有： .6 分(1,0)(1,20) 因为 PD底面 ABCD，所以平面 ABCD 的 一个法向量为 ， .7 分(,)m 设平面 PFB 的一个法向量为 ，则可得(,)xyzn 0=PFB n 即 +20xazy ABECPDFx yz 令 x=1,得 ，所以 . .9 分1,2zya1(,)2an 由已知，二
13、面角 P-BF-C 的余弦值为 ，所以得:6 , .10 分2 1cos|654amn 解得 a =2. .11 分 因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高， 所以，其体积为 . .13 分18243ABCDV 18.（本小题满分 13 分） 解：由 ，可得 . .2 分 2()1xaf2()1)xaf （）因为函数 在点 处的切线为 ，得:()f,f2yxb .4 分 12()fb 解得 .5 分12 a （）令 ，得 .6 分()0fx0xa 当 ，即 时，不等式在定义域内恒成立，所以此时函数 的单4a1 ()fx 调递增区间为 和 . .8 分(,)(,) 当 ，即 时，不等式的解为
14、或 ，40a11xa1xa .10 分 又因为 ，所以此时函数 的单调递增区间为 和1x()fx(,) ，单调递减区间为 和 .(,)a1,)a1,a .12 分 所以，当 时，函数 的单调递增区间为 和 ；1()fx(,)(,) 当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，af ,1a1,)a 单调递减区间为 和 . .13 分(1,)a(,) 19 （本小题满分 14 分） 解：（）由于 A(2,1)在抛物线 上， 所以 ，即 . .2 分2yax14a1 故所求抛物线的方程为 ，其准线方程为 . .3 分14y （）当直线 与抛物线相切时，由 ，可知直线 的斜率为 1，其倾斜角为 ，所1l 2
15、xy 1l 45 以直线 的倾斜角为 ，故直线 的斜率为 ，所以 的方程为 .4 分2l35l2l3yx 将其代入抛物线的方程 ，得 , 解得 , .5 分214yx2410x12,6 所以直线 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2l 2 2226661(3)d(3)d44xxxx .6 分 .8 分 2236()1xx （）不妨设直线 AB 的方程为 ，(2) (0)ykxk .9 分 由 2 1()4ykx 得 , .10 分280 易知该方程有一个根为 2，所以另一个根为 ，42k 所以点 B 的坐标为 ,(,41)kk 同理可得 C 点坐标为 , .11 分2, 所以 222|(42)(
16、)(41)(41)kkk , .12 分88 线段 BC 的中点为 ，因为以 BC 为直径的圆与准线 相切，2(,41)k 1y 所以 ,由于 ， 解得 . .13 分241)k02k 此时，点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ，(2,3)(,32)ACBOyx1y AOyx 直线 BC 的斜率为 ，(32)(2)1 所以，BC 的方程为 ，即 . .14 分()()yx10xy 20 （本小题满分 14 分） 解：（）记数列为 ，因为 与 按次序对应相等，所以数列nb23456,b78910,b 是“5 阶可重复数列”，重复的这五项为 0,0,1,1,0; 记数列为 ，因为 、 、 、 、
17、 nc12345,c23456,c34567,c45678,c 、 没有完全相同的，所以 不是“5 阶可重复数列”. 56789,c67890, n .3 分 （）因为数列 的每一项只可以是 0 或 1，所以连续 3 项共有 种不同的情形.若na 328 m11，则数列 中有 9 组连续 3 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为 11 的数列 一定是“3 阶可重复数列”；若 m10，数列 0,0,1,0,1,1,1,0,0,0 不是“3 阶可重复数na 列”；则 时，均存在不是“3 阶可重复数列”的数列 .所以，要使数列 一定310nana 是“3 阶可重复数列”，则 m 的最小值是
18、 11. .8 分 （III）由于数列 在其最后一项 后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可重复数列”nama ，即在数列 的末项 后再添加一项 ，则存在 ，m1或 ij 使得 与 按次序对应相等，或 与1234,iiiiaa321,0ma 1234,jjjjaa 按次序对应相等，3,mm 如果 与 不能按次序对应相等，那么必有 ，1234,a321,maa 2,4ijm ，使得 、 与 按次序对应相等. ij2,iii23,jjj21,mma 此时考虑 和 ，其中必有两个相同，这就导致数列 中有两个连续的五项1,ija4m na 恰按次序对应相等，从而数列 是“5 阶可重复数列”，这和题设中数列 不是“5 阶可重na n 复数列” 矛盾！所以 与 按次序对应相等，从而1234,321,mma 41.ma .14 分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.
