1、本卷第 1 页(共 8 页) 数 学 试 题(文) 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 1锥体的体积公式 13VSh,其中 是锥体的底面积, h是锥体的高 2方差公式 221()niisx,其中 x是平均数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1设全集 ,3579U,集合 ,|,9Aa, 5,7UA,则实数 a的值是 ( ) A2 B8 C 2或 8 D2 或 8 2在复平面内,复数 1iz( 是虚数单位)的共轭复数 z对应的点位于 (
2、) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某简单几何体的三视图如图所示,其正视图侧视图俯视图 均为直角三角形,面积分别是 1,2,4,则这个几何体的体积 为 ( ) A 43 B 83 C4 D8 4设 nS为等比数列 na的前 项和,已知 342Sa,23 ,则公比 q( ) A3 B4 C5 D6 5过圆 2xy外一点 (,2)P作圆的两条切线,切点分别为 ,AB,则 P的外接圆方程是 ( ) A 22(4)()1 B 22()4xy C 5xy D 15 6下图是把二进制数 (2)1化成十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是 深 圳 中 学 广东广雅中学 华南师大附
3、中 广东省实验中学 2011 届高三上学期期末四校联考 侧视图正视图 俯 视 图 本卷第 2 页(共 8 页) ( ) A 4i B 5i C 4i D 5i 7已知凸函数的性质定理:“若函数 ()fx在区间 上是凸函数,则对于区间 内的任意 12,nx , 有: 1212()nnxfxffn ”若函数 sinyx在区间 (0,)上是凸函数,则 在 ABC中, sisiBC的最大值是 ( ) A 2 B 3 C 32 D 32 8设 是三角形的一个内角,且 1sinco5,则方程 2sincos1xy表示的曲线是 A焦点在 x轴上的双曲线 B焦点在 轴上的椭圆 C焦点在 y轴上的双曲线 D焦点
4、在 轴上的椭圆 9已知平面上直线 l的方向向量 31(,)2e,点 (0,)O和 (2,)P在直线 l的正射影分别是 O和 P,且OPe ,则 等于 ( ) A 2(31) B (31) C (31) D 31 10若对于任意的 ,xab,函数 (),fxg总满足 ()0fxg,则称在区间 ,ab上, ()gx可以代 替 ()f 若 ()f,则下列函数中,可以在区间 4,16上代替 ()fx的是 ( ) A 2gx B 1()4gx C ()5gx D 26g 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分其中 1415 题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题
5、得分。 11期末考试后,班长算出了全班 50 名同学的数学成绩的平均分为 x,方差为 21s 如果把 x当成一个 同学的分数,与原来的 50 个分数一起,算出这 51 个分数的方差为 2,那么 2s * 12若关于 x的方程 120xa有两个相异的实根,则实数 a的取值范围是 * 13在 ABC中, 角 ,ABC所对的边分别为 ,bc,若 7,89bc,则 AC边上的中线长为 * 14 (坐标系与参数方程选做题) 否 是开始 S=1+2S i=i+1 输出 S 结束 i=1, S=1 本卷第 3 页(共 8 页) 在极坐标系中,点 A在曲线 2sin()4上,点 B在直线 cos1上,则 |A
6、B的最小值是 * 15 (几何证明选讲选做题) 如图,已知 P与圆 O相切于 ,半径 OCP, A交 O于 , C, 2OP,则 * 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤 16 (本小题满分 12 分) 已知向量 (2sin,co)4xm, (cos,3)4xn,函数 ()fxmn (1)求 )f的最小正周期; (2)若 0x,求 ()fx的最大值和最小值 17 (本小题满分 12 分) 在棱长为 1 的正方体 1ABCD中, ,EFGH分别是棱 11,ABCD的中点 (1)证明: /FH平面 EG; (2)证明: ; (3)求三棱锥 1A的体积
7、18 (本小题满分 14 分) 已知函数 321()()fxaxb,其中 ,ab为常数 (1)当 6,ab时,求函数 (f的单调递增区间; A B C O P A B CD A1 B1 C1D1 E F G H 本卷第 4 页(共 8 页) (2)若任取 0,4,3ab,求函数 ()fx在 R上是增函数的概率 19 (本小题满分 14 分) 某单位为解决职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 2(m)A的宿舍楼已知 土地的征用费为 2388 元/ 2m,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的 25 倍 经工 程技术人员核算,第一二层的建筑费用都为 445 元/ 2m,以后每
8、增高一层,其建筑费用就增加 30 元/ 2m 试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最小,并求出其最小费用 (总费用为建筑费 用和征地费用之和) 20 (本小题满分 14 分) 设 (1,0)F, M点在 x轴的负半轴上,点 P在 y轴上,且 ,MPNPF (1)当点 P在 y轴上运动时,求点 N的轨迹 C的方程; (2)若 (4,)A,是否存在垂直 x轴的直线 l被以 A为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 直线 l的方程;若不存在,请说明理由 21 (本小题满分 14 分) 设函数 ()2)xfa,方程 ()xf有唯一解,其中实数 a为常数, 12()03fx,*1()nfxN (1)
9、求 f的表达式; (2)求 201x的值; (3)若 43na且 2*1()nabN ,求证: 121nb 参考答案 本卷第 5 页(共 8 页) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B D A C D C C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11 50 ; 12 (0,)2 ; 137 ; 14 2 ; 15 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分 16 (本小题满分 12 分) 解:(1) ()sinco3sin3cos2in()423xxxf -4
10、分()fx 的最小正周期 T-6 分 (2) 0 536 ,当 23x,即 3x时, ()fx有最大值 2; -8 分 当 2x,即 时, ()f有最小值 1 -12 分 17 (本小题满分 12 分) 解:(1)证明: 111/,/,/FHBCAGFH -2 分 又 1AG平面 1E, 平面 E,/F 平面 -4 分 (2) 1平面 1AB, H平面 1AB,AHG -5 分 又 11,E190, 90BAHE , 1AHE -6 分 又 1AG, 平面 1G, -7 分E 平面 ,故 -8 分 (3)连结 1,H,由(1)得 /FH平面 1AE, 11HAEGFAEV -9 分 又 111
11、1 348AEBAEABESSS, 2 -10 分11111316FGHGHAVV -12 分 18 (本小题满分 14 分) 解:(1)当 6,3ab时, 32()59fxx, 2()09fx -2 分 A B CD A1 B1 C1D1 E F G H 本卷第 6 页(共 8 页) 令 2()109fx, (1)90x,解得 1x或 9,-4 分 故函数 f的单调递增区间分别为 (,和 ,) -6 分 (2) 22()(1)fxaxb 若函数 f在 R上是增函数,则对于任意 xR, ()0fx恒成立 所以, 24(1)0ab,即 (1)(ab -8 分 设“ )fx在 上是增函数”为事件
12、A,则事件 对应的区域为(,|()b 全部试验结果构成的区域 (,)|04,3abb,如图 -12 分 所以, 134372() 12SPA阴 影 故函数 fx在 R上是增函数的概率为 -14 分 19 (本小题满分 14 分) 解:设楼高为 层,总费用为 y元, 则征地面积为 2.5()Amx,征地费用为 5970Ax元,-2 分 楼层建筑费用为 3045(430)(2)43(2)(154)AxxA 元,从而971AyxA (0x -8 分 整理化简,得 6060(54)(2154)10()y Axx元 -12 分 当且仅当 1x,解得 (层)时,总费用 y最小 -13 分 故当这幢宿舍的楼
13、高层数为 20 层时,最小总费用为 元 -14 分 20 (本小题满分 14 分) 解:(1) (解法一) MPN,故 为 的中点 -1 分 设 (,)Nxy,由 点在 x轴的负半轴上,则 (,0)(,)02yxPx -2 分 又 1,0F, (,)(1,)22yyF -4 分 又 P, 04Px -6 分 所以,点 N的轨迹 C的方程为 2()y -7 分 本卷第 7 页(共 8 页) (解法二) MPN,故 为 的中点 -1 分 设 (,)Nxy,由 点在 x轴的负半轴上,则 (,0)(,)02yMxPx -2 分 又由 ,F,故 ,可得 FN -4 分 由 (1,0)F,则有 22(1)
14、(1)xyx,化简得: 24(0)yx -6 分 所以,点 N的轨迹 C的方程为 4(0 -7 分 (2)设 A的中点为 B,垂直于 x轴的直线方程为 xa, 以 为直径的圆交 l于 ,D两点, C的中点为 H21(4)2CBNxy ,4xHa -9 分222211(4)(4)xyxa21(4)63axa -12 分 所以,令 3,则对任意满足条件的 x, 都有 291CH(与 无关) ,-13 分即 23CD为定值 -14 分 21 (本小题满分 14 分) 解:(1)由 (2)xa,可化简为 (2)ax210x -2 分 当且仅当 1时,方程 ()xf有唯一解 -3 分 从而 ()f -4 分 (2)由已知 *1)()nfxN,得 12nx -5 分1nnx ,即 *1()n 数列 n是以 1x为首项, 2为公差的等差数列 -6 分11()()2nx , 12()nx03f , 103x,即 106226()10nxn -7 分 A B C DF H M N O P x y x=a 本卷第 8 页(共 8 页) 故 201102x -8 分 (3)证明: nx, 20144321nan -10 分2221(1)() 1=()2nab n -12 分12 11()()352n n -13 分 故 1b -14 分