1、哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二理科数学 一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1复数 iz（其中 为虚数单位）的虚部是 ( )i A 2 B i21 C 21 D i21 2. 已知 , .若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是( ):xp:axqqpa A B C D(,3,3(,3),3 3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为 15:3:2为了了解该单位职员的某种情况，采 用分层抽样方法抽出一个容量为 的样本，样本中业务人员人数为 30，则此样本的容量 为（ ）n n A.20 B.30 C40 D80 4已知直线 平面 ,
2、直线 平面 ,给出下列命题：lm ； ml； ml l m； 其中正确命题的序号是( ) A B C D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题sinxyx B.“ ”是“ ”的必要不充分条件12560 C. 命题“ ”的否定是“ ”,1R2,10xR D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”2x 6设随机变量 服从正态分布 ，若 ，7,3N22apap 则=( ）a A1 B2 C3 D4 7如右图，已知 为如图所示的程序框图输出结果，二项式 的 KnKx1 展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为（ ）n A4 B5 C6 D7 8先后掷骰子（
3、骰子的六个面分别标有 1、2、3、4、5、6 个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上 的点数分别为 ，设事件 为“ 为偶数” ，事件 为“ 中有偶数，且 ”，则概率yx,AyxByx,yx =( )P A 12B 13C 14D 25 9已知 展开式的二项式系数的最大值为 ，系数的最大值为 ，则 =( )8xaba A B C D128525675121287 10有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要求 2 盆黄菊 花必须相邻，2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是( ) A1 2 B24 C36 D48 11. 甲、乙两名运动
4、员的 5 次测试成绩如右图所示. 设 分 21,s 别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 分别 ,x 表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） A. , B. ，21x21s21x21s C. ， D. ， 12已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，ABCSOSABC34SA2B ， ，则球 的表面积为( )460 A B C D12166 二.填空题(共 4 题,每题 5 分) 13袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸 3 次，3 次摸到的红球比白球多 1 次 的概率为_ 14. 设 为正整数, ，经计算得 ， ,nnnf1321)(
5、25)8(,4,2)(fff 3)16(f ，观察上述结果，对任意正整数 ，可推测出一般结论是_ .27)3(f 15. 向面积为 的 内任投一点 ，则 的面积小于 的概率为 .SABCPBC3S 16如图，在直三棱柱 中， ，点15,4,3A D 是线段 上的一点，且 ， ，则点 到平90DD11 面 的距离为_.DB1 三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润 y（元）与该周每天销售这种服装件数 x 之间有如下一组数据： x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91 已知 772118
6、0,8iixy . (1)求 ,xy； （2）求纯利润 与每天销售件数 x之间的回归方程. 甲 茎 乙 5 7 1 6 8 8 8 2 2 3 6 7 (参考公式： xbyaxn ybinii,12 ) 18.（本小题满分 12 分） 我国新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在 0-50 为优秀，各类人群可正 常活动.环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作 为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 5,1， ,2， 5,3， ,45，由此得到本的空气质量指 数频率分布直方图，如图. (1) 求 的值；a (2) 根据样本数据，试
7、估计这一年度的空气质量 指数的平 均值； (3) 如果空气质量指数不超过 15，就认定空气质 量为“特 优等级” ，则从这一年的监测数据中随机抽取 3天 的数值， 其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布 列和数学 期望. 19.（本小题满分 12 分） 如图三棱柱 中，侧面 为菱形， .1ABC1BC1ABC (1) 证明： ； (2)若 ， ， ,1o160A 求二面角 的余弦值.ABC 20(本小题满分 12 分) 某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 空气质量指数 频率 组距 0.032 0.020 0.018 O
8、 5 15 25 35 45 a 人数 4 4 3 1 学校准备从中选出 4 人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记 1 分，每选出 一名女生则给其所在小组记 2 分，若要求被选出的 4 人中理科组、文科组的学生都有 ()求理科组恰好记 4 分的概率； ()设文科男生被选出的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 E 21(本小题满分 12 分) 如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中， , 是AEBN2M 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.ND （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；
9、 （2）求证： 平面 ；EMABC （3）试问在边 上是否存在点 ，使 平面 . 若存在，确定点 的位置；若不存在，GNEDG 请说明理由. 22.（本小题满分 12 分） 设直线 )1(:xkyl与椭圆 )0(322ayx相交于 两个不同的点，与 轴相交于点 ，记BA, xC 为坐标原点.O （1）证明： 223a； （2）若 , 求 的面积取得最大值时的椭圆方程.CBAOA 高二理科数学答案 一.选择题 CACDD CBBAB BD 二.填空题 13. 14. 15. 16.3832nf95 三.解答题 17.(1) 86.759,6yx (2) .41b3.514a 18.(1) 解：由
10、题意，得 0.2081a， 1 分 解得 3. 2 分 （2）解： 5个样本中空气质量指数的平均值为0.1.20.3.18402.6X 3 分 由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6. 4 分 （3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 5,内为“特优等级” ， 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2，则 5 分1,3B 的取值为 0,123， 6 分 465PC， 21348515PC ， 2315 ， . 10 分 的分布列为： 11 分 64812301255E. 12 分 （或者 3） 19. ()连结 ，交 于 ，连结 因为侧面 为菱形，所以 ，1BC
11、OA1BC1BC1 且 为 与 的中点又 ，所以 平面 ，故 又 ，故O1BAOAOC 4 分1A （）因为 且 为 的中点，所以 CB1CCA 又因为 ，所以 .OB 01 2 3 P 648515 故 ，从而 , 两两互相垂直 OBAA1OB 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 因x xyzO 为 ，所以 为等边三角形又 ，则016C1CBCA ， ， ，3,A,B13,03,0 ， 10,1,A13,0B 设 是平面的法向量，则,nxyz ， 即 所以可取 01BA30yzx1,3n 设 是平面的法向量，则 ， 同理可取m 01CBmA,m 则
12、，所以二面角 的余弦值为 . 12 分7cosn117 20. 解：() （4 分） 3106P () 由题意得 ，于是 的分布列为 ,2 0 1 2 3P56422541084842 （只写出正确分布列表格的扣 4 分） 的数学期望为 （12 分）()6E 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣 1 分）2 分 （2）证明：俯视图和侧视图，得 ，90CAB , ， ， ， 平面3DC2ABEN,ABC .取 的中点 ，连接 、 ，NE/FME 则 ，且 4 分FM21D 平行且等于 , 四边形 EAFM 是平行四边形， ，又 平面 ，A/ABC 平面 .7 分E （3）解，以 为原
13、点，以 的方向为 轴的正方向， 的 xAB方 向为 轴正方向， 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，yEz 则有 （0，0，0） ， （0，0，2） ， （0，2，0） ，AEB （2，0，3） ， （0，2，1） ， （2，0，0）.DNC 设 （2，2，2） ， （0，2，1） ， （2，2，0） ， （2，2，1）.CB 假设在 边上存在点 满足题意，G(,0),(0)(2,1).40,830,1.4GNNED设则 平 面 即解 之 得 边 上存在点 ，满足 时， 平面 12 分BCCBG43NED 22. (I）解：依题意，直线 显然不平行于坐标轴，故 .1)1(ykxxky可 化 为l 将 xayxykx消 去代 入 ,3122， 得 .0)3(2 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点 3)1(,)1(4 222 akak整 理 得 ，即 .3122k 5 分 （II）解：设 .,2yxBA由，得 221y 因为 1C得 ，代入上式，得 .k 8 分 于是， 的面积 |23|21yyOCS O 2 3|1|2k 其中，上式取等号的条件是 .,3k即 由 .,3122yky可 得 将 3, 22yk及 这两组值分别代入，均可解出 .52a 所以， OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 .52yx12 分
