1、河北定兴中学 20102011 学年第一学期 抛物线期末复习单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）x102 A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 550 2以抛物线 的焦半径 为直径的圆与 轴位置关系是（ ）2()|PF A 头htp:/w.xjkyg
2、com126t:/.j 相交 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相切 C相离 以上三种均有可能 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 为过抛物线 的焦点的弦，则 的最小值为（ ）)0(AB A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 无法确定 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为（ PP ） A 头htp
3、:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (,)4(,)84(,)4(,)84 5若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为（ ） 232 A2 B3 C4 D4 2 6已知点 P 在抛物线 上，那么点 P 到点 的距离与点 P 到抛物线焦点距24yx(21)Q， 离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A （ ，1） B （ ， 1） C （1，2） D （1，2）4 7已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点（
4、0，2）的距离与 P 到该抛物2yx 线准线的距离之和的最小值为（ ） A B C D123592 8已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在(0)ypxF12()()Pxyy，3()Pxy， 抛物线上，且 成等差数列， 则有（ ）123, FP22213F 213FP213FP 9过点 作与抛物线 只有一个公共点的直线 有 （ ）(,4)M28yxl A0 条 B 1 条 C2 条 D3 条 10已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且2:CxKAC ，则 的面积为( )KFAK A4 B8 C16 D32 11抛物线 上两点 、 关于直线 对称，2xy),(1yx),(2ymx
5、y 且 ，则 等于（ ）121m A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 353 12过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ(0)a 的长分别是 p、q，则 等于（ ） A2a B C4a D a21a4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上） 13若直线 经过抛物线 的焦点，则实数 0xy2yx 14过抛物线 的焦点 作倾角为 的直
6、线，与抛物线分别交于 、2()pF30 A 两点（ 在 轴左侧） ，则 BAyAB 15.已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点21ax 的三角形面积为 16 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 对于抛物线 上任意一点 ，点 都满足 ，则 的取值范围是 24yQ(,0)PaQa 。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值。(3,)M 18 （本小题满分 12 分）已知顶点
7、在原点，焦点在 轴上的抛物线被直线 截得x21yx 的弦长为 ， （1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线 无公共点，试在抛5 5 物线上求一点，使这点到直线 的距离最短。25yx 19 （本小题满分 12 分）如图，已知点 ，直线 ， 为平面上的动点，(10)F， :1lxP 过 作直线 的垂线，垂足为点 ，且 PlQPQA （）求动点 的轨迹 的方程；C （）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线FB， 于点 ，已知 ， ，求 的值.lM1AF2M12 20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点，C2yx2ykxCAB， 是线段 的中点，过 作 轴的垂线交 于点 M
8、ABMxN （）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行；NAB （）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由k0AkOy x1l F 21 （本小题满分 12 分）如图倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，且与抛物28yxF 线交于 两点 （）求抛物线的焦点 的坐标及准线 的方程；,ABFl （）若 为锐角，作线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，证明ABmxP 为定值，并求此定值cos2FP 22 （本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正方向上一点 任xOy(0)Cc， 作一直线，与抛物线 相交于 两点一条垂直于 轴的直线，分别与线段2yxAB， 和直线 交于点
9、AB:lcPQ， （）若 ，求 的值；2O （）若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的切PABA 线； （）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由 lyymPBA 题（21）图 Fx A B C P Q O x y l xyOlF PQMN参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1B ，而焦点到准线的距离是20,5pp2B 设 Q 为 PF 中点，分别过 P、Q 作准线 的垂线，垂足分别为 M、N，l则 ，11|(|)(|)|22NMpF点 Q 到 轴的距离 ，故选 B。y|dN 3 头htp:/w.xjkyg
10、com126t:/.j C 垂直于对称轴的通径时最短，即当 ,pxymin2Ap 4B 点 到准线的距离即点 到焦点的距离，得 ，过点 所作的高也是中线PPPOFP ，代入到 得 ，18xxy224y12(,)84 5C 解：双曲线的左焦点坐标为： ，抛物线 的准线方程为 2(3,0)6p2ypx ，2px 所以 ，解得： ，故选 C。3164p 6A 解：点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离， 如图 ,故最小值在 三点共线时取得，FQS,SQ 此时 的纵坐标都是 ，故选 A。 （点 坐标为 ）,11(,)4 7A 解：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设 在抛物线准线的投影
11、为 ,抛物P 线的焦点为 ,则 ,依抛物线的定义知 到该抛物线准线的距离为 ,则(0)2P|F 点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和PP ,故选 A。217|().dFA 8C 解：由 成等差数列得 ，从而有123,x213x 根据抛物线定义即得： 故选 C。213()()(),2ppxx213FP 9C 解：点 在抛物线 上，过点 作与抛物线 只有一,4M28yx(,4)M28yx 个公共点的直线 只有 2 条，故选 C。l 10B 解： 抛物线 的焦点为 ，准线为 :0， x0K， 设 ，过 点向准线作垂线 ，则0Axy， AB02y， ，又2KF0x 由 得 ，2B20y 即 ，
12、解得08x4A， 的面积为 故选 B.AFK0182Fy 11 A ，且21211212,(),Bykxxx而 得 2121xy(,) 在直线 上，即m2121,ymym 2 21211 3(),(),2xxxx 12C（特例法）过抛物线 的焦点 F 作与 轴垂直的直线，则 ，0yay1pqa ，故选 C。4apq 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上） 13解：直线 经过抛物线 的焦点 则10xy2yx(1,0)F1.a 14解：如图，分别过点 向抛物线准线作垂线，垂足为 ；,ABCD 过 点作 于 。则 ，AED,FCB ，,BF 又 所以3
13、011223BAFA 15解: 抛物线 ，()yaxya 顶点 焦点是坐标原点，所以(,1)144 OF x y M lN 抛物线 与两坐标轴的三个交点为 ，所以三角形面积214yx(2,0)1S 16 设 ，由 得,22(,)4tQPa222(),(168)0,4ttata 恒成立，则21680,16tat80, 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17解法一、设抛物线方程为 ，则焦点 ，由题意可得2(0)ypx(,)2pF ，解之得 或 ， 5)23(2pm46m46 故所求的抛物线方程为 ， 。28yx2的 值 为 解法二、设抛物线方程
14、为 ，则焦点 ，准线 ：(0)p(,0)pFl2px 则由抛物线定义知： ，|352MFN4 故所求的抛物线方程为 ， 。28yx6的 值 为m 18解：（1）设抛物线的方程为 ，则 消去 得2p2,1ypxy212124()0,4xpxx ，125()ABk25()415p 则 23,410,2,64pp或22yxyx， 或 （2）解法一、显然抛物线 与直线 无公共点，设点 为抛物线2425yx2(,)4tP 上的任意一点，点 P 到直线 的距离为 ，则4yx d22()510ttd 当 时， 取得最小值，此时 为所求的点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1td1(,)4P
15、 解法二、显然抛物线 与直线 无公共点，设与直线 平行且与24yx25yx5 抛物线 相切的直线方程为 ，切点为 P，则点 P 即为所求点。2yxb 由 消去 并化简得： ，24by224(1)0xx 直线与抛物线相切， ，解得：216b1b 把 代入方程 并解得： ，12b24()0xx4xy 故所求点为 。(,)P 19解法一：（）设点 ，则 ，由 得：()xy， (1)Qy， PFQA ，化简得 (10)212xyAA， ， ， ， 2:4Cx （）设直线 的方程为： B(0)xmy 设 ， ，又 ，1()xy， 2()y， 1M， 联立方程组 ，消去 得：41xmy， ， ， ，故20
16、y2()0124， 由 ， 得：1MAF2B ， ，整理得： ， ，12yymy112my2y 1212y12yA4A0 解法二：（）由 得： ，QPFA()FQP ， ， ()()0P20FPBQM FO A x y 所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： PCC24yx （）由已知 ， ，得 1MAF2B120A 则： 2B 过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ， l 1B 则有： 1 AFM 由得： ，即 12B 120 20解：解法一：（）如图，设 ， ，1()Ax， 2()Bx， 把 代入 得 ，ykx2yx20k 由韦达定理得 ， ，1212 ， 点的坐标为 4N
17、MxkN248k， 设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，l 2ymx 将 代入上式得 ，2yx22048kx 直线 与抛物线 相切，lC ， 22 228()04mkkmk k 即 lAB （）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点，k0NABANBMA 1|2MN 由（）知 121212()()()4yykxkx 4 x A y 1 1 2 M N B O 轴， MNx2216|48MNkky 又 2221211|()ABkxxxA 224)6kA ，解得 222161684kk 即存在 ，使 0NAB 解法二：（）如图，设 ，把 代入 得221()()xx， ， ， 2ykx2yx 由
18、韦达定理得 20xk212k， ， 点的坐标为 ， ，124NMxkN48， 2yx4yx 抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， lklAB （）假设存在实数 ，使 k0AB 由（）知 ，则 2 21124848kNxNx， ， ， 22121kAB 221214461kxx12124kA2 2 121121()46kkxxxkx2 24()4kA ， 22316k0 ， ，解得 2106k2304k2k 即存在 ，使 NAB 21 （I）解：设抛物线的标准方程为 ，则 ，从而 2ypx84p 因此焦点 的坐标为 ，02pF， (0)， 又准线方程的一般式为 2px 从而所求准线的方程为 （II
19、）解法一：如答 21 图作 ， ，AClBDl 垂足分别为 ，则由抛物线的定义知D， ， FACB 记 的横坐标分别为 ， ，,AxB 则 cos22ppF ，解得 cos441s 类似地有 ，解得 FBcoB 记直线 与 的交点为 ，则mAE1()2FABFAEF 2144cos2cos1sin 所以 2iFEP 故 2244sincos(1cos)8in 解法二：设 ， ，直线 的斜率为 ，则直线方程为()Axy， Bxy， Atak 2)yk 将此式代入 得 ，故 8x2224()0kxk24()ABkx lyymPBA 题（21）图 CxEF 记直线 与 的交点为 ，则 ，mAB()E
20、xy， 2()ABExk ，4(2)Eykx 故直线 的方程为 ， 214kyxk 令 ，得点 的横坐标 ，故 0yP2p 224(1)4sinPEkFx 从而 为定值 2244sincos(1cos)8inFA 22解：（1）设直线 的方程为 ，ABykx 将该方程代入 得 2yx0c 令 ， ，则 2()Aa， ()b， a 因为 ，解得 ，22OBc 2c 或 （舍去） 故 1c （2）由题意知 ，直线 的斜率为 2abQ， AQ22AQacabk 直线 的方程为： ，即A2()yax2yx 由 得 ， 2yax202(40a 因此， 为该抛物线的切线Q （3） （2）的逆命题成立，证明如下： 设直线 的方程为： ，A2()yakx 由 得： 2()yakx220 若 为该抛物线的切线，则，Q224()kaka 又设 ，则直线 的斜率为 ，所以 ，0(,)xcAQ00cbx20bx A B C P Q O x y l 得 ，因 ，有 20axb0a2abx 故点 的横坐标为 ，即 点是线段 的中点PPAB
