1、 数列等差数列综合练习 一选择题 1在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则 a2+a10=（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 2在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A 58 B 88 C 143 D 176 3设a n为等差数列，公差 d=2，s n 为其前 n 项和，若 s10=s11，则 a1=（ ） A 18 B 20 C 22 D 24 4等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a 2，a 3 成等差数列若 a1=1，则 S4=（ ） A 7 B 8 C 15 D 16 5设 Sn 是等差数列a n的前 n
2、 项和，若 =（ ） A 1 B 1 C 2 D 6在等差数列a n中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 2填空题 8设数列a n，b n都是等差数列，若 a1+b1=7，a 3+b3=21，则 a5+b5= _ 9在等差数列a n中，a 3+a7=37，则 a2+a4+a6+a8= _ 10已知a n为等差数列， a3+a8=22，a 6=7，则 a5= _ 11在等
3、差数列a n中，a 5=3，a 6=2，则 a4+a5+a10= _ 12已知等差数列a n中，a 2=5，a 4=11，则前 10 项和 S10= _ 13已知等差数列a n前 17 项和 S17=51，则 a7+a11= _ 三解答题 14已知数列a n的前 n 项和 Sn，求通项公式 an：（1）S n=5n2+3n；（2）S n=3n2 15已知a n为等差数列，且 a1+a3=8，a 2+a4=12 （）求a n的通项公式 （）记a n的前 n 项和为 Sn，若 a1，a k，S k+2 成等比数列，求正整数 k 的值 16已知等差数列a n前三项的和为 3，前三项的积为 8 （1）
4、求等差数列a n的通项公式； （2）若 a2，a 3，a 1 成等比数列，求数列 |an|的前 n 项和 17.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 an+Sn=2n （）证明：数列a n2为等比数列，并求出 an； （）设 bn=（2 n） （a n2） ，求 bn的最大项 数列等差数列综合练习 参考答案与试题解析 一选择题（共 7 小题） 1 （2012辽宁）在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则 a2+a10=（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 利用等差数列的性质可得，a 2+a10=a4+a8，
5、可求结果 解答： 解：由等差数列的性质可得，则 a2+a10=a4+a8=16， 故选 B 点评： 本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题 2 （2012辽宁）在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A 58 B 88 C 143 D 176 考点： 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和。1522608 专题： 计算题。 分析： 根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由 S11= 运算求得结果 解答： 解： 在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，a 1+a11=a4+a8=16，S 11= =88， 故选 B
6、 点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于中档题 3 （2011江西）设 an为等差数列，公差 d=2，s n 为其前 n 项和，若 s10=s11，则 a1=（ ） A 18 B 20 C 22 D 24 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 由等差数列的前 10 项的和等于前 11 项的和可知，第 11 项的值为 0，然后根据等差数列的通项公式，利用 首项和公差 d 表示出第 11 项，让其等于 0 列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值 解答： 解：由 s10=s11， 得到 a1+a2+a10=a1+a2+a
7、10+a11 即 a11=0， 所以 a12（11 1）=0 ， 解得 a1=20 故选 B 点评： 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题 4 （2009宁夏）等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a 2，a 3 成等差数列若 a1=1，则 S4=（ ） A 7 B 8 C 15 D 16 考点： 等差数列的性质；等比数列的前 n 项和。1522608 专题： 计算题。 分析： 先根据“4a 1，2a 2，a 3 成等差数列” 和等差中项的性质得到 3 者的关系式，然后根据等比数列的性质用 a1、q 表示出来代入以上关系式，进而可求出
8、q 的值，最后根据等比数列的前 n 项和公式可得到答案 解答： 解： 4a1，2a 2，a 3 成等差数列 ， ，即 q=2 S4= = =15 故选 C 点评： 本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质属基础题 5 （2004福建）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 =（ ） A 1 B 1 C 2 D 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题 解答： 解：设等差数列a n的首项为 a1，由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5，a 1+a5=2a3， = = = =1， 故选 A 点评： 本题主要考查
9、等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应用， 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则有如下关系 S2n1=（2n1）a n 6 （2003北京）在等差数列a n中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 法一：设首项为 a1，公差为 d，由已知有 5a1+10d=20，所以 a3=4 法二：因为 a1+a5=a2+a4=2a3，所以由 a1+a2+a3+a4+a5=20 得 5a3=20，故 a3=4 解答： 解：法一： an为等差数列， 设首项为
10、 a1，公差为 d， 由已知有 5a1+10d=20， a1+2d=4， 即 a3=4 故选 A 法二 在等差数列中， a1+a5=a2+a4=2a3， 由 a1+a2+a3+a4+a5=20 得 5a3=20， a3=4 故选 A 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 7 （2002北京）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 先根据题意求出 a1+an 的值，再把这个值代入求和
11、公式，进而求出数列的项数 n 解答： 解：依题意 a 1+a2+a3=34，a n+an1+an2=146 a1+a2+a3+an+an1+an2=34+146=180 又 a1+an=a2+an1=a3+an2a1+an= =60 Sn= = =390 n=13 故选 A 点评： 本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用注意对 Sn 和 Sn=a1n+ 这两 个公式的灵活运用 二填空题（共 9 小题） 8 （2012江西）设数列 an，b n都是等差数列，若 a1+b1=7，a 3+b3=21，则 a5+b5= 35 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 根据等差
12、数列的通项公式，可设数列a n的公差为 d1，数列b n的公差为 d2，根据 a1+b1=7，a 3+b3=21，可 得 2（d 1+d2）=217=14最后可得 a5+b5=a3+b3+2（d 1+d2）=2+14=35 解答： 解： 数列 an，b n都是等差数列， 设数列a n的公差为 d1，设数列b n的公差为 d2， a3+b3=a1+b1+2（d 1+d2）=21， 而 a1+b1=7，可得 2（d 1+d2）=21 7=14 a5+b5=a3+b3+2（d 1+d2）=21+14=35 故答案为：35 点评： 本题给出两个等差数列首项之和与第三项之和，欲求它们的第五项之和，着重考
13、查了等差数列的概念与通 项公式和等差数列的性质，属于基础题 9 （2011重庆）在等差数列a n中，a 3+a7=37，则 a2+a4+a6+a8= 74 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的 和等于第二项与第八项的和，得到结果 解答： 解：等差数列a n中，a 3+a7=37， a3+a7=a2+a8=a4+a6=37 a2+a4+a6+a8=37+37=74， 故答案为：74 点评： 本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算
14、的错误 是一个送分题目 10 （2008海南）已知 an为等差数列，a 3+a8=22，a 6=7，则 a5= 15 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 根据等差中项的性质可知 a3+a8=a5+a6，把 a3+a8=22，a 6=7 代入即可求得 a5 解答： 解： an为等差数列， a3+a8=a5+a6a5=a3+a8a6=227=15 点评： 本题主要考查了等差数列有关性质及应用等差数列及等比数列“足数和定理” 是数列中的重点内容，要予 以重点掌握并灵活应用 11 （2003上海）在等差数列a n中，a 5=3，a 6=2，则 a4+a5+a10= 49
15、考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 先根据 a 5=3，a 6=2，进而根据等差数列的求和公式根据 a4+a5+a10=S10S3 求得答案 解答： 解：由题意知 ，解得 a1=23，d=5 a4+a5+a10=S10S3= =49 故答案为49 点评： 本题主要考查了等差数列的性质要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式 12已知等差数列a n中，a 2=5，a 4=11，则前 10 项和 S10= 155 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 根据已知等差数列a n中，a 2=5，a 4=11，我们易构造出基本项（首项与公差）的方程组
16、，解方程组后，即 可得到首项与公差，代入前 n 项和公式，即可得到答案 解答： 解： 等差数列a n中，a 2=5，a 4=11， a1+d=5，a 1+3d=11， 解得 a1=2，d=3， 则 S10=210+ =155 故答案为：155 点评： 本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据已知构造出基本项（首项与公差）的方程组，是解答本题 的关键 13已知等差数列a n前 17 项和 S17=51，则 a7+a11= 6 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 先根据 S17=51 求出 2a1+16d 的值，再把 2a1+16d 代入 a7+a11 即可得到答案
17、 解答： 解： S17= = =51 2a1+16d=6 a7+a11=a1+6d+a1+10d=2a1+16d=6 故答案为 6 点评： 本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式由于公式较多，应注意平时多积累 14设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 m1，且 am1+am+1am21=0，S 2m1=39，则 m= 20 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 利用等差数列的性质 a m1+am+1=2am，根据已知中 am1+am+1am21=0，我们易求出 am 的值，再根据 am 为等 差数列a n的前 2m1 项的中间项（平均项） ，我们可以构造
18、一个关于 m 的方程，解方程即可得到 m 的值 解答： 解： 数列 an为等差数列 则 am1+am+1=2am 则 am1+am+1am21=0 可化为 2amam21=0 解得：a m=1，又S 2m1=（2m 1）a m=39 则 m=20 故答案为：20 点评： 本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当 m+n=p+q 时，a m+an=ap+aq，是解 答本题的关键 15在等差数列a n 中，S n 是它的前 n 项的和，若 a10，S 160，S 170，则当 n= 8 时，S n 最大 考点： 等差数列的性质；数列的函数特性。1522608 专题： 计算题。
19、 分析： 根据所给的等差数列的 S160 且 S170，根据等差数列的前 n 项和公式，看出第九项小于 0，第八项和第 九项的和大于 0，得到第八项大于 0，这样前 8 项的和最大 解答： 解： 等差数列a n中，S 160 且 S170 a8+a90，并且 a90， a80， 数列的前 8 项和最大 故答案为 8 点评： 本题考查等差数列的性质和前 n 项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础 题 16若两等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 sn，s n，且 ，则 的值为 考点： 等差数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： 利用等差数列的性质，把要
20、求的式子变形为 ，把 n=8 代入运算可得结果 解答： 解：则 = = = = = = 故答案为 点评： 本题考查等差数列的性质，式子的变形是解题的关键 三解答题（共 4 小题） 17 （2012湛江）已知数列 an的前 n 项和 Sn，求通项公式 an：（1）S n=5n2+3n；（2）S n=3n2 考点： 数列递推式。1522608 分析： 先利用公式 a n=SnSn1（n2） ，再求出 a1，即可得到数列的通项 解答： 解：（1）n2 时，a n=SnSn1=（5n 2+3n）（5（n1） 2+3（n1）=10n2 n=1 时，a 1=S1=8 也满足上式 an=10n2； （2）n
21、2 时， an=SnSn1=（3 n2）（3 n12）=23 n1 n=1 时，a 1=S1=1 不满足上式 点评： 本题考查数列通项的求解，解题的关键是先求出 a 1，再利用公式 an=SnSn1（n2） ，属于中档题 18 （2012重庆）已知 an为等差数列，且 a1+a3=8，a 2+a4=12 （）求a n的通项公式 （）记a n的前 n 项和为 Sn，若 a1，a k，S k+2 成等比数列，求正整数 k 的值 考点： 等比数列的性质；等差数列的通项公式。1522608 专题： 计算题。 分析： （）设等差数列a n的公差等于 d，则由题意可得 ，解得 a1=2，d=2，从而得到a
22、 n的通 项公式 （） 由（）可得 an的前 n 项和为 Sn = =n（n+1） ，再由 =a1 Sk+2 ，求得正整数 k 的值 解答： 解：（）设等差数列a n的公差等于 d，则由题意可得 ，解得 a1=2，d=2 an的通项公式 an =2+（n1）2=2n （） 由（）可得 an的前 n 项和为 Sn = =n（n+1） 若 a1，a k，S k+2 成等比数列， =a1 Sk+2 ， 4k2 =2（k+2 ） （k+3） ，k=6 或 k=1（舍去） ，故 k=6 点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题 19 （2012湖北）已知等差数列a n前三
23、项的和为3，前三项的积为 8 （1）求等差数列a n的通项公式； （2）若 a2，a 3，a 1 成等比数列，求数列 |an|的前 n 项和 考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质。1522608 专题： 计算题。 分析： （I）设等差数列的公差为 d，由题意可得， ，解方程可求 a1，d，进而可 求通项 （II）由（I）的通项可求满足条件 a2，a 3，a 1 成等比的通项为 an=3n7，则 |an|=|3n7|= ，根据等差数列的求和公式可求 解答： 解：（I）设等差数列的公差为 d，则 a2=a1+d，a 3=a1+2d 由题意可得， 解得 或 由等差数列的通项公式可得
24、，a n=23（n 1）=3n+5 或 an=4+3（n1）=3n7 （II）当 an=3n+5 时，a 2，a 3，a 1 分别为1，4，2 不成等比 当 an=3n7 时，a 2，a 3，a 1 分别为1，2， 4 成等比数列，满足条件 故|a n|=|3n7|= 设数列|a n|的前 n 项和为 Sn 当 n=1 时，S 1=4，当 n=2 时，S 2=5 当 n3 时，S n=|a1|+|a2|+|an|=5+（33 7）+ （3 47）+（3n7） =5+ = ，当 n=2 时，满足此式 综上可得 点评： 本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项
25、公式的综合应用 及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用 2084 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 an+Sn=2n （）证明：数列a n2为等比数列，并求出 an； （）设 bn=（2 n） （a n2） ，求 bn的最大项 考点： 等比关系的确定。1522608 专题： 综合题；转化思想；综合法。 分析： （）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证 （）求出 bn=（2 n） （a n2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项 解答： 解：（）证明：由 a1+s1=2a1=2 得 a1=1； 由 an+Sn=2n 得 an+1+Sn+1=2（n+1） 两式相减得 2an+1an=2，即 2an+14=an2，即 an+12= （a n2） 是首项为 a12=1，公比为 的等比数列故 an2= ，故 an=2 ， （）解：由（）知 由 由 bn+1bn0 得 n3，所以 b1b 2b 3=b4b 5b n 故 bn 的最大项为 点评： 本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答 题者有较好的观察能力及转化化归的能力
