1、第 1 页（共 19 页） 2015-2016 学年广东省湛江市徐闻县九年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列事件是必然事件的是（ ） A明天太阳从西边升起 B掷出一枚硬币，正面朝上 C打开电视机，正在播放“ 新闻联播” D任意画一个三角形，它的内角和等于 180 3一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，4 个白球，从布袋中 随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A B C D 4在半径为 6 的O 中，60圆心角所对的弧长
2、是（ ） A B2 C4 D6 5用配方法解方程 x2+10x+9=0，配方后可得（ ） A （x+5） 2=16 B （x+5） 2=1 C （x+10） 2=91 D （x+10） 2=109 6若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+m=0 的一个根，则 m 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 7如图，O=30，C 为 OB 上一点，且 OC=6，以点 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位 置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D以上三种情况均有可能 8如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若 C=25，则 BOD 的度数是（ ） 第 2 页（共 19 页） A25 B3
3、0 C40 D50 9某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的 宽为 x 米，则可列方程为（ ） Ax（x11）=180 B2x+2（x11）=180 Cx（x+11）=180 D2x+2（ x+11）=180 10二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （ ） A函数有最小值 B对称轴是直线 x= C当 x ，y 随 x 的增大而减小 D当1x2 时，y0 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60得ADE，则 BAD= 度 12如
4、图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 第 3 页（共 19 页） 13为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球） ，将 5 个红球放进去，随机摸出一个球， 记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为 0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为 个 14若关于 x 的一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 （写出一个即可） 15如图，正五边形 ABCDE 内接于O ，则 CAD= 度 16将图 1 的正方形作如下操作：第 1 次分别连接对边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次将
5、图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形，以此类推，第 n 次 操作后，得到正方形的个数是 三、解答题一（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17解方程：x 23x+2=0 18圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，求它的侧面展开图的圆心角的度数 19如图，AB 为 O 的弦，O 的半径为 5，OCAB 于点 D，交O 于点 C，且 CD=1， （1）求线段 OD 的长度； （2）求弦 AB 的长度 第 4 页（共 19 页） 四、解答题二（共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20如图，已知在ABC 中，A=90 （1）请用圆规和直尺作出P，使圆心 P
6、 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作 图痕迹，不写作法和证明） （2）若B=60，AB=3 ，求P 的面积 21白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8 公顷 （1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？ 22老师和小明同学玩数学游戏老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有 数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡 片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率于是小明
7、同学用画树状图的方法寻 求他两次抽取卡片的所有可能结果如图是小明同学所画的正确树状图的一部分 （1）补全小明同学所画的树状图； （2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 五、解答题三（共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23如图，半圆 O 的直径 AE=4，点 B、C、D 均在半圆上，若 AB=BC，CD=DE，连接 OB、OD， （1）求证： + = + ； （2）求BOD 度数； （3）求图中阴影部分面积 第 5 页（共 19 页） 24如图，AB 为 O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DEPO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，ED
8、B= EPB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 PB=6，DB=8 ，求 DC 的长度； （3）在（2）中的条件下，求O 的半径 25如图，经过点 C（0， 4）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A（2，0） ， B 两点 （1）a 0，b 24ac 0（填“”或 “”） ； （2）若该抛物线关于直线 x=2 对称，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，连接 AC，E 是抛物线上一动点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于 点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C ，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？ 若存在，求出满足条件的点 E 的坐标
9、；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 19 页） 2015-2016 学年广东省湛江市徐闻县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误 故选 C 【点评】本题考查了中心对称图
10、形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原 图重合 2下列事件是必然事件的是（ ） A明天太阳从西边升起 B掷出一枚硬币，正面朝上 C打开电视机，正在播放“ 新闻联播” D任意画一个三角形，它的内角和等于 180 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】解：明天太阳从西边升起是不可能事件，A 错误； 掷出一枚硬币，正面朝上是随机事件，B 错误； 打开电视机，正在播放“新闻联播”是随机事件，C 错误； 任意画一个三角形，它的内角和等于 180是必然事件，
11、D 正确， 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件 下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随 机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，4 个白球，从布袋中 随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A B C D 第 7 页（共 19 页） 【考点】概率公式 【分析】直接根据概率公式求解即可 【解答】解：装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= 故选：B 【点评】本题考查的是
12、概率公式，熟知随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果 数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键 4在半径为 6 的O 中，60圆心角所对的弧长是（ ） A B2 C4 D6 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长的计算公式 l= 计算即可 【解答】解：l= = =2 故选：B 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：l= 是解题的关键 5用配方法解方程 x2+10x+9=0，配方后可得（ ） A （x+5） 2=16 B （x+5） 2=1 C （x+10） 2=91 D （x+10） 2=109 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】计算题 【分析】方程移项
13、，利用完全平方公式化简得到结果即可 【解答】解：方程 x2+10x+9=0， 整理得：x 2+10x=9， 配方得：x 2+10x+25=16，即（x+5） 2=16， 故选：A 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 6若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+m=0 的一个根，则 m 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=1 代入方程 x2+2x+m=0，得出一个关于 m 的方程，求出方程的解即可 【解答】解：把 x=1 代入方程 x2+2x+m=0 得：1+2+m=0， 解得：m=3， 故选 C 【点评】本题考查
14、了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于 m 的方程是 解此题的关键 7如图，O=30，C 为 OB 上一点，且 OC=6，以点 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位 置关系是（ ） 第 8 页（共 19 页） A相离 B相交 C相切 D以上三种情况均有可能 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】利用直线 l 和O 相切 d=r，进而判断得出即可 【解答】解：过点 C 作 CDAO 于点 D， O=30，OC=6， DC=3， 以点 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是：相切 故选：C 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时 d 与 r 的关
15、系是解题 关键 8如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若 C=25，则 BOD 的度数是（ ） A25 B30 C40 D50 【考点】圆周角定理；垂径定理 【专题】压轴题 【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知DOB=2 C，得到答案 【解答】解：在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， = ， DOB=2C=50 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 9某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的 宽为 x 米，则可列方程为（
16、 ） Ax（x11）=180 B2x+2（x11）=180 Cx（x+11）=180 D2x+2（ x+11）=180 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 第 9 页（共 19 页） 【专题】增长率问题 【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可 【解答】解：设宽为 x 米，则长为（x+11）米， 根据题意得：x（x+11）=180， 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程 10二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （ ） A函数有最小值 B对称轴是直线 x= C当 x ，y 随
17、 x 的增大而减小 D当1x2 时，y0 【考点】二次函数的性质 【专题】压轴题；数形结合 【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断 A； 根据图形直接判断 B； 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断 C； 根据图象，当1x2 时，抛物线落在 x 轴的下方，则 y0，从而判断 D 【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知 a0，函数有最小值，正确，故 A 选项不符 合题意； B、由图象可知，对称轴为 x= ，正确，故 B 选项不符合题意； C、因为 a0，所以，当 x 时，y 随 x 的增大而减小，正确，故 C 选项不符合题意； D、由图象可知，当1x 2 时，y0，错
18、误，故 D 选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60得ADE，则 BAD= 60 度 第 10 页（共 19 页） 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，依此即可求 解 【解答】解：将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60得 ADE， BAD=60 度 故答案为：60 【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的确定，熟记旋转变换只改变图形的 位置不改变图形的形状与大小是解题
19、的关键 12如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 3 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】作 OCAB 于 C，连接 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=4，然后在 Rt AOC 中利用勾股定理计算 OC 即可 【解答】解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， AC=BC= AB= 8=4， 在 RtAOC 中，OA=5， OC= = =3， 即圆心 O 到 AB 的距离为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也 考查了勾股定理 第 11 页（共 19 页） 13为
20、了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球） ，将 5 个红球放进去，随机摸出一个球， 记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为 0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为 20 个 【考点】利用频率估计概率 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可 以从比例关系入手，列出方程求解 【解答】解：设暗箱里白球的数量是 n，则根据题意得： =0.2， 解得：n=20， 故答案为：20 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计 事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系 14若关于 x 的
21、一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 0 （写出一个即可） 【考点】根的判别式 【专题】开放型 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m 的不 等式，求出 m 的取值范围 【解答】解：一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根， =14m0， 解得 m ， 故 m 的值可能是 0， 故答案为 0 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）的根的判别式 =b24ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根； 当0 时，方程没有实数根注意本题答案不
22、唯一，只需满足 m 即可 15如图，正五边形 ABCDE 内接于O ，则 CAD= 36 度 【考点】圆周角定理；正多边形和圆 【分析】圆内接正五边形 ABCDE 的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周 角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， = = = = =72， CAD= 72=36 第 12 页（共 19 页） 故答案为 36 【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键 16将图 1 的正方形作如下操作：第 1 次分别连接对边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次将图 2 左上角正方形按上述方
23、法再分割如图 3，得到 9 个正方形，以此类推，第 n 次 操作后，得到正方形的个数是 4n+1 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】压轴题 【分析】仔细观察，发现图形的变化的规律，从而确定答案 【解答】解：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形； 第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 42+1=9 个正方形， 以此类推，根据以上操作，则第 n 次得到 4n+1 个正方形， 故答案为：4n+1 【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关 键 三、解答题一（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17
24、解方程：x 23x+2=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x1） （x2） ，再利用积为 0 的特点 求解即可 【解答】解：x 23x+2=0， （ x 1） （x2）=0 ， x 1=0 或 x2=0 ， x1=1，x 2=2 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点 解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用 18圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，求它的侧面展开图的圆心角的度数 【考点】圆锥
25、的计算 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为 n，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列出关系 式，计算即可 【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为 n， 根据题意得 21= ， 解得：n=90， 第 13 页（共 19 页） 故圆锥侧面展开图的圆心角的度数 90 【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系 是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 19如图，AB 为 O 的弦，O 的半径为 5，OCAB 于点 D，交O 于点 C，且 CD=1， （1）求线段 OD 的长度； （2）求弦 AB 的长度 【考点】垂径定理；勾股定理
26、 【分析】 （1）OD=OC CD ，即可得出结果； （2）连接 AO，由垂径定理得出 AB=2AD，由勾股定理求出 AD，即可得出结果 【解答】解：（1）半径是 5，OC=5 ，CD=1， OD=OCCD=51=4 ； （2）连接 AO，如图所示： OCAB， AB=2AD， 根据勾股定理：AD= = =3， AB=32=6， 因此弦 AB 的长是 6 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出 AD 是解 决问题（2）的关键 四、解答题二（共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20如图，已知在ABC 中，A=90 （1）请用圆规和直尺作出P，使圆心 P
27、在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作 图痕迹，不写作法和证明） （2）若B=60，AB=3 ，求P 的面积 第 14 页（共 19 页） 【考点】作图复杂作图；切线的性质 【专题】作图题 【分析】 （1）作ABC 的平分线交 AC 于 P，再以 P 为圆心 PA 为半径即可作出P； （2）根据角平分线的性质得到ABP=30，根据三角函数可得 AP= ，再根据圆的面积公 式即可求解 【解答】解：（1）如图所示，则P 为所求作的圆 （2）B=60，BP 平分ABC， ABP=30， tanABP= ， AP= ， SP=3 【点评】本题主要考查了作图复杂作图，角平分线的性质，即角平
28、分线上的点到角两边 的距离相等同时考查了圆的面积 21白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8 公顷 （1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）设每绿地面积的年平均增长率为 x，就可以表示出 2014 年的绿地面积，根据 2014 年的绿地面积达到 82.8 公顷建立方程求出 x 的值即可； （2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论 【解答】解：（1）设绿地面积的年平
29、均增长率为 x，根据意，得 57.5（1+x） 2=82.8 解得：x 1=0.2，x 2=2.2（不合题意，舍去） 答：增长率为 20%； （2）由题意，得 82.8（1+0.2）=99.36 公顷， 答：2015 年该镇绿地面积不能达到 100 公顷 【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次 方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键 22老师和小明同学玩数学游戏老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有 数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡 片，并计算两次抽到卡片上的数字之积
30、是奇数的概率于是小明同学用画树状图的方法寻 求他两次抽取卡片的所有可能结果如图是小明同学所画的正确树状图的一部分 第 15 页（共 19 页） （1）补全小明同学所画的树状图； （2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图； （2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情 况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）补全小明同学所画的树状图： （2）共有 9 种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有 4 种情况， 小明同学两次抽到卡片上的数字之
31、积是奇数的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比 五、解答题三（共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23如图，半圆 O 的直径 AE=4，点 B、C、D 均在半圆上，若 AB=BC，CD=DE，连接 OB、OD， （1）求证： + = + ； （2）求BOD 度数； （3）求图中阴影部分面积 【考点】扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 （1）根据 AB=BC，CD=DE，得到 ， ，即可得到结论； （2）根据 + = + ；即可得到BOD= ； （3）根据扇形的面积公式即可得到结论 【解答】 （1）证明：AB=B
32、C，CD=DE， ， ， 第 16 页（共 19 页） + = + ； （2）解： + = + ； BOD= ； （3）由（2）得： S 阴影 =S 扇形 OBD= = 阴影部分面积为 【点评】本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系解答本题的关键是得出阴 影部分的面积等于扇形 BOD 的面积 24如图，AB 为 O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DEPO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，EDB= EPB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 PB=6，DB=8 ，求 DC 的长度； （3）在（2）中的条件下，求O 的半径 【考点】切线的判定与性
33、质；勾股定理 【专题】证明题；圆的有关概念及性质 【分析】 （1）由 DE 与 PE 垂直，得到E 为直角，再由已知角相等及对顶角相等，得到 PBD=E=90，利用切线的判定方法判断即可得证； （2）在直角三角形 PBD 中，利用勾股定理求出 PD 的长，利用切线长定理得到 PC=PB=6，由 PDPC 即可求出 DC 的长； （3）在直角三角形 CDO 中，设 OC=r，则有 DO=8r ，利用勾股定理列出关于 r 的方程， 求出方程的解即可得到结果 【解答】 （1）证明：DEPE， E=90， EDB=EPB，DOE=POB， EDB+DOE=EPB+POB，即OBP=E=90， OB 为
34、圆的半径， PB 为圆 O 的切线； （2）解：在 RtPBD 中，PB=6 ，DB=8， 第 17 页（共 19 页） 根据勾股定理得：PD= =10， PD 与 PB 都为圆的切线， PC=PB=6， DC=PDPC=10 6=4； （3）解：在 RtCDO 中，设 OC=r，则有 DO=8r， 根据勾股定理得：（8r） 2=r2+42， 解得：r=3， 则圆的半径为 3 【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题 的关键 25如图，经过点 C（0， 4）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A（2，0） ， B 两点 （1）a 0，b
35、 24ac 0（填“”或“” ） ； （2）若该抛物线关于直线 x=2 对称，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，连接 AC，E 是抛物线上一动点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于 点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C ，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？ 若存在，求出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题；压轴题 【分析】 （1）根据抛物线开口向上，且与 x 轴有两个交点，即可做出判断； （2）由抛物线的对称轴及 A 的坐标，确定出 B 的坐标，将 A，B，C 三点坐标代入求出 a，b，c 的值，即可确定出抛物
36、线解析式； （3）存在，理由为：假设存在点 E 使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四 边形，过点 C 作 CEx 轴，交抛物线于点 E，过点 E 作 EFAC，交 x 轴于点 F，如图 1 所 示；假设在抛物线上还存在点 E，使得以 A，C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边 形，过点 E作 EFAC 交 x 轴于点 F，则四边形 ACFE即为满足条件的平行四边形，可得 AC=EF，AC EF，如图 2，过点 E作 EGx 轴于点 G，分别求出 E 坐标即可 【解答】解：（1）a0，b 24ac0； （2）直线 x=2 是对称轴，A（2，0） ， B（6，0） ， 点 C（0
37、，4） ，将 A，B，C 的坐标分别代入 y=ax2+bx+c， 解得：a= ，b= ，c=4， 抛物线的函数表达式为 y= x2 x4； 第 18 页（共 19 页） （3）存在，理由为： （i）假设存在点 E 使得以 A，C，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形， 过点 C 作 CEx 轴，交抛物线于点 E，过点 E 作 EFAC，交 x 轴于点 F，如图 1 所示， 则四边形 ACEF 即为满足条件的平行四边形， 抛物线 y= x2 x4 关于直线 x=2 对称， 由抛物线的对称性可知，E 点的横坐标为 4， 又 OC=4， E 的纵坐标为4， 存在点 E（4，4） ； （ii）假
38、设在抛物线上还存在点 E，使得以 A，C，F，E 为顶点所组成的四边形是 平行四边形，过点 E作 EFAC 交 x 轴于点 F， 则四边形 ACFE即为满足条件的平行四边形， AC=EF，ACE F，如图 2，过点 E作 EGx 轴于点 G， ACEF，CAO= EFG， 又COA=EGF=90 ，AC=EF，CAO EFG， EG=CO=4，点 E的纵坐标是 4， 4= x2 x 4， 解得：x 1=2+2 ，x 2=22 ， 点 E的坐标为（2+2 ，4） ，同理可得点 E的坐标为（22 ，4） 【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标 与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象 与性质是解本题的关键 第 19 页（共 19 页） 2016 年 2 月 26 日
