1、基于 Burg 算法的 AR 模型功率谱估计简介 摘要：在对随机信号的分析中，功率谱估计是一类重要的参数研究，功率谱估计的方法分为 经典谱法和参数模型方法。参数模型方法是利用型号的先验知识，确定信号的模型，然后估 计出模型的参数，以实现对信号的功率谱估计。根据 wold 定理,AR 模型是比较常用的模型， 根据 Burg 算法等多种方法可以确定其参数。 关键词：功率谱估计；AR 模型；Burg 算法 随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节 律, 是随机信号的重要特征。因此, 用数字信号处理手段来估计随机信号的功率谱也是统计 信号处理的基本手段之一。在信号
2、处理的许多应用中, 常常需要进行谱估计的测量。例如, 在雷达系统中, 为了得到目标速度的信息需要进行谱测量; 在声纳系统中, 为了寻找水面舰 艇或潜艇也要对混有噪声的信号进行分析。总之, 在许多应用领域中, 例如, 雷达、声纳、 通讯声学、语言等领域, 都需要对信号的基本参数进行分析和估计, 以得到有用的信息, 其 中, 谱分析就是一类最重要的参数研究。 1 功率谱估计简介 一个宽平稳随机过程的功率谱是其自相关序列的傅里叶变换，因此功率谱估计就等效于 自相关估计。对于自相关各态遍历的过程，应有： )()(12lim*krnxkNxn 如果所有的 )(nx都是已知的，理论上功率谱估计就很简单了，
3、只需要对其自相关序列取 傅里叶变换就可以了。但是，这种方法有两个个很大的问题：一是不是所有的信号都是平稳 信号，而且有用的数据量可能只有很少的一部分；二是数据中通常都会有噪声或群其它干扰 信号。因此，谱估计就是用有限个含有噪声的观测值来估计 )(jwxeP。 谱估计的方法一般分为两类。第一类称为经典方法或参数方法，它首先由给定的数据估 计自相关序列 )(krx，然后对估计出的 )(krx进行傅里叶变换获得功率谱估计。第二类称为非 经典法，或参数模型法，是基于信号的一个随机模型来估计功率谱。非参数谱估计的缺陷是 其频率分辨率低，估计的方差特性不好, 而且估计值沿频率轴的起伏甚烈，数据越长, 这一
4、 现象越严重。 为了改善谱分辨率，研究学者对基于模型的参数方法进行了大量研究。参数方法的第一 步是对信号选择一个合适的模型，这种选择可能是基于有关信号如何产生的先验知识，也可 能是多次试验后获得的结果。通常采用的模型包括 AR、MA、ARMA 模型和谐波模型（噪 声中含有复指数） 。一旦模型选择好后，下一步就是计算模型的参数。最后将计算得到的参 数带入模型中就可以获得估计功率谱。 2 AR 谱估计 2.1 简介 AR 模型叫做自回归模型, 信号由本身的若干次过去值和激励时的现实值线性组合产生, 由于传递函数中只有极点, 没有零点, 所以又叫作全极点模型。 MA 模型叫做移动平均模型, 信号由现
5、时的激励和若干次过去值线性组合产生, 由于传递函数中只有零点, 没有极点, 所 以又叫作全零点模型。ARMA 模型叫做自回归移动平均模型, 它是前两种模型的结合, 因为 它既有极点又有零点, 所以也叫做极零点模型。 根据 wold 定理, 即任何 ARMA 过程, 或者任何 MA 过程都能用无限的 AR 过程表示。 如果在三种模型中选择了一个错误的模型, 我们仍然可以通过一个很高的阶数获得一个合理 的逼近。因此, MA 、ARMA 模型可以用一个足够高阶的 AR 模型来近似。AR 谱估计是最 常用的时间序列建模方法, 这是因为 AR 参数的精确估计值可以用一组线性方程的方法求得 , 而对于 A
6、RMA 或 MA 过程参数的精确计算, 则需要解一组高阶非线性方程,。正是由于这 个缘故, 有关有理式传递函数的许多研究工作都喜欢采用 AR 模型作近似研究。 一个 AR 过程 )(nx可以表示为单位方差白噪声的驱动的全极点滤波器的输出，p 阶 AR 过程的功率谱是： jwxeP21)(0pkikweab 因此，若 )0(b和 kap可以由数据进行估计，则功率谱估计可以写成如下形式; 显然， jwAReP的精确程度决定于模型参数能多准确地被估计，且更重要的是取决于选 择的 AR 模型是否与数据产生的方式相一致。 确定 AR 模型系数的方法有很多，每种方法会得出不同的的参数，但是最终实现的方式
7、是完全相同，利用的是同一个估计形式。常用的估计方法有：Lenvinson-Durbin 方法、Burg 方法、无约束最小二乘法等等。 2.2 Burg 算法 AR 模型参数估计 这里主要对 Burg 算法进行介绍。这种方法通常称为最大熵法（MEM） 。Burg 通过最大 化观测序列的熵，得到这种方法，定义为： 14afln()fPfd 式中观测数据序列假定为带宽 的静态高斯过程， 是一个实的正函数，最大化式f(f ，并受限于自相关采样的约束过程，即：14afln()fPfd mr2()asfjfmTPed 这个优化结果可以用来计算最小二乘估计，它涉及观测数据前向和后向预测的 MSE 之和。 计
8、算中，预测系数必须满足 Lenvinson-Durbin 递推关系，并且可直接计算而无需首先计 算自相关系数。这种方法的优点就是对未知数据不需要做任何假设，估计精度较高。其缺点 是在分析噪声中的正弦信号时，会引起谱线分裂，且谱峰的位置和正弦信号的相位有很大的 关系。 Burg 算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取 Km 的，它不对 已知数据段之外的数据做认为假设。计算 m 阶预测误差的递推表示公式如下： x(n)(n)()1-()()0f0 f1-mbfeekbbf 求取反射系数的公式如下： 1)-(n()2- 2bm2f1-meEk 对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集
9、合平均，因此上式可写成： p,21,)-(n()2-1212-mn-1 ，Nbmffe 这样便可求得 AR 模型的反射系数。 将 m 阶 AR 模型的反射系数和 m-1 阶 AR 模型的系数代入到 Levinson 关系式中，可以 求得 AR 模型其他的 p-1 个参数。 Levinson 关系式如下： 1-m,2i)-(i)(i)1m1-m，aka m 阶 AR 模型的第 m+1 个参数 G， 其中 是预测误差功率，可由递推公式2 m 求得。21()K 易知为进行该式的递推，必须知道 0 阶 AR 模型误差功率 ，02()()xEXnR 可知该式由给定序列易于求得。完成上述过程，即最终求得了
10、表征该随机信号的 AR 模型的 p+1 个参数 。然后根据 22()()jwjwxSeHe 即可求得该随机信号的功率谱密度。 3 实验仿真分析 假定信号序列为两个正弦信号与白噪声的叠加，其功率谱估计的 matlab 仿真结果如图 1 和图 2。 图 1 基于 matlab 的 Burg 算法功率谱估计仿真（p=130） 图 2 基于 matlab 的 Burg 算法功率谱估计仿真（p=300） 从图中我们可以清晰的看到 Burg 算法求解 AR 模型的过程是非常稳定的，而且具有很 高的分辨率。当然对于 Burg 算法来说，P 即阶数的选择是至关重要的。在多次实验中发现， 当 P 介于 50 和
11、 80 之间时，得到的频谱图是较优越的，P 在 130 左右时频谱图是最优越的， 这也符合了经验定理，对于 512 点的频谱图分析，P 应介于 130 和 250 之间。而当 P 的阶数 过小的时候，会无法分辨出离的较近的两个频谱，P 过大频谱图会出现过多伪峰，导致分辨 率严重下降。 参考文献： 1张贤达，现代信号处理M，北京：清华大学出版社，2002 2杨绿溪，现代数字信号处理M，北京：科学出版社，2007 3关欣、杨爱萍、白煜、李锵等译，信号检测与估计-理论与应用M，北京：电子工业出版 社，2012 4张威、张路纲，Burg 算法最大熵谱估计的 VC+仿真分析J ，北京石油化工学院学报， 2002 年 9 月，第 10 卷第 3 期 5 马秉伟、刘会金、周莉、崔福鑫，一种基于自回归模型的间谐波谱估计的改进算法J ， 中国电机工程学报，2005 年 8 月第 25 卷第 15 期 6 周巍、郝守玲、赵树元，最大熵谱分析中 Burg 算法和 Marple 算法比较J ，石油物探， 1998 年 6 月第 37 卷第 2 期
