1、 燕山大学 课 程 设 计 说 明 书 题目： FDTD 方法模拟一维电磁波传播 学院（系）： 年级专业： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 教师职称： 燕山大学课程设计（论文）任务书 院（系）： 基层教学单位： 学 号 学生姓名 专业（班级） 设计题目 FDTD 方法模拟一维电磁波传播 设 计 技 术 参 数 共振源频率为 = ；f910Hz 介电常数为 =1.0；0 导磁率 ( )。7-4m/ 设计要求 以 FDTD 计算方法为理论基础，用 Matlab 软件作为工具，模拟一维电磁 波在介质中的传播图像。 工 作 量 15 个工作日 工 作 计 划 第一周（15 天）找资料，阅读大量参考书
2、； 第二周（610 天）进行设计，编程模拟； 第三周（1115 天）写设计论文，并进行修改。 参 考 资 料 电磁波时域有限差分方法 葛德彪（第二版） 激光原理等 指导教师签字 基层教学单位主任签字 说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。 2012 年 7 月 8 日 燕山大学课程设计评审意见表 指导教师评语： 成绩： 指导教师： 年 月 日 答辩小组评语： 成绩： 评阅人： 年 月 日 课程设计总成绩： 答辩小组成员签字： 年 月 日 摘要 FDTD 算法是以 Yee 元胞 为空间电磁场离散单元，将麦克斯韦旋度方程转化为差分方程， 表述简明，容易理解，结合计算机技术能
3、耐处理十分复杂的电磁问题；在时间轴上逐步推进 求解，有很好的稳定性和收敛性，因而在工程电磁学各个领域备受重视。文中第一章，详细 的介绍了 FDTD 方法的背景及其在各个领域中的应用。 本文简要地介绍了 FDTD 方法的基本知识，并对电磁波传播的模拟做出了来论述，通过 电磁波在直角坐标系中的三维情况进行讨论，进而得出二维、一维的电磁波模拟图像。本文 第一章系 FDTD 的历史背景，详细介绍了 FDTD 的发展和应用。第二章为模拟一维电磁波的 基本理论。文中精确的给出模拟时的各个参数，及参数变化所引起的模拟图像变化，从实例 出发论述 FDTD 方法在电磁学领域的重要作用。 关键字：（1）FDTD
4、方法， （2）一维电磁波， （3）导磁率， （4）介电常数 Abstract FDTD Yee yuan for the algorithm is based on space electromagnetic field discrete element, will curl maxwells equations into difference equation, statement concise, easy to understand, with computer technology ability of complicated problems handling the electro
5、magnetic; In the time axis to promote the gradual solution, has the very good stability and convergence, thus in the engineering electromagnetism each field is attention. This paper first chapter, detailed introduces the background and the method FDTD in various areas of application. This paper brie
6、fly introduced the basic knowledge of FDTD method, and the simulation of the electromagnetic wave propagation made to discuss that, through the electromagnetic waves in the 3 d right Angle coordinate system are discussed, and a conclusion that the 2 d, a d electromagnetic wave simulation image. Seda
7、te accurate when given all parameters of the simulation, and parameters change caused by the simulation image change, from examples of FDTD method in the electromagnetism field discussed the important role. Key words: Key word 1： FDTD method； Key word 2：one-dimensional electromagnetic wave； Key word
8、 3： permeability； Key word 4: Permittivity. 目录 摘要 .- 1 - Abstract .- 2 - 第一章 绪 论 .- 4 - 第二章 FDTD 模拟一位电磁波传播的原理 - 6 - 2.1 麦克斯韦方程和 Yee 元胞 - 6 - 2.2 直角坐标系中的 FDTD：三维情况 .- 9 - 2.3 直角坐标系中的 FDTD：一维情况 .- 14 - 第 三 章 分析电磁波模拟图像 - 16 - 结 论 .- 20 - 参考文献 .- 21 - 第一章 绪 论 时域有限差分（FDTD）方法 Yee（1966）提出以来发展迅速，获得广泛 应用。FDT
9、D 方法以 Yee 元胞为空间电磁场离散单元，将麦克斯韦旋度方程转 化为差分方程，表述简明，容易理解，结合计算机技术能处理十分复杂的电磁 问题；在时间轴上逐步推进地求解，有很好的稳定性和收敛性，因而在工程电 磁学各个领域备受重视。但是，近期文献主要讨论 FDTD 的深入发展和实际应 用，有关 FDTD 基本内容均散见在一些早期文献。 1.1 FDTD 的发展和应用 自 1873 年麦克斯韦（Maxwell）简历电磁场基本方程以来，电磁波理论和 应用的发展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究已深入到各个领域， 应用十分广泛，例如无限电波传播、光纤通信和移动通信、雷达技术、微博、 天线、电磁成
10、像、地下电磁探测、电磁兼容，等等。电磁波在实际环境中的传 播过程十分复杂，例如各种复杂目标的散射，复杂地形及海面对电磁波传播的 影响，等等。具体、实际地研究电磁波的特性有着之分重要的意义。实验和理 论分析集散式相辅相成的重要手段。分析计算途径需要结合实际环境的电磁参 数求解麦克斯韦方程边值问题，通常只有一些经典问题有解析解。应当说，解 析解具有重要的指导性意义。然而，由于实际环境的复杂性，往往需要通过数 值解得到具体环境下的电磁波特此那个。随着计算机技术的发展，已经提出球 解麦克斯韦方程的许多有意义的数值解方法，例如矩量法（MoM） 、有限元法 （FEM） 、边界元法（ BEM）以及时域有限差
11、分(FDTD) 方法，等等。并且，随 着电磁波应用的广泛和计算机技术的发展，各种方法的研究也更加深入。 1966 年 K.S.Yee 首次提出了一种电磁场数值计算的新方法时域有限差 分（Finite Difference Time Domain,FDTD）方法。对电磁场 E、H 分量在空间 和事件上采取交替抽样的离散方式，每一个 E（ 或 H）场分量周围有四个 H（或 E）场分量环绕，应用这种离散方式将含事件变量的麦克斯韦旋度方程 转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。Yee 提出的 这种抽样方式后来被称为 Yee 元胞。FDTD 方法是球麦克斯韦微分方程的直接 时域方法。
12、在计算中将空间某一样本点的电场（或磁场）与周围格点的磁场 （或电场）直接相关联，球戒指参数已赋值给空间每一个元胞，因此质疑方法 可以处理复杂形状目标和非均匀戒指物体的电磁散射、辐射等问题。同时， FDTD 的随时间推进可以方便地给出电磁场的实践演化过程，在计算机上以伪 色彩方式显示，这种电磁场可视化结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设 计。 1.2 FDTD 的应用 FDTD 在电磁研究的多个领域获得广泛应用，其中有： 辐射天线的分析，例如柱状和锥状天线，阶级导体附近的天线，喇叭 天线。微带天线，手机天线，缝隙天线，螺旋天线以及天线阵列等。 微波器件和导行波结构的研究，例如波导，戒指波导，微
13、带传输，波 导中的孔蜂耦合，铁氧体器件，加载谐振腔等。 散射和雷达截面计算，例如导体、介质物体和具有复杂结构及形状物 体（导弹，飞机）的雷达微面（RCS） ，导弹导引头的电磁波透入分布，人体 对电磁波的吸收，地下物体散射等。 周期机构分析，例如频率选择表面、光栅传输特性、周期阵列天线、 光子带隙结构，以及随机粗糙表面等。 电子封装，电磁兼容分析，例如多线传输及高密度封装时的数字信号 传输，分析环境和结构对元器件和系统电磁参数及性能的影响。 核电磁脉冲的传播和散射，在地面的反射及电缆传输线的干扰。 微光学元器件中光的传播和颜射特性。 第二章 FDTD 模拟一位电磁波传播的原理 麦克斯韦方程组是支
14、配宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程既可以写 成微分形式，又可以写成积分形式。FDTD 方法是由微分形式的麦克斯韦旋度 方程出发进行差分离散从而得到一组时域推进公式。本章首先给出麦克斯韦旋 度方程及其在直角坐标系中的 FDTD 离散形式，由三维情况到一维情况，即一 维电磁波传播的理论基础。 2.1 麦克斯韦方程和 Yee 元胞 麦克斯韦方程组为 (211)JtDH （212） mBE- 其中 为电场强度，单位为伏特/米（V/m） ；E 为电通量密度，单位为库仑/平方米（C/） ；D 为磁场强度，单位为安培/米（A/m） ；H 为磁通量密度，单位为韦伯/平方米（Wb/） ；B 为电流密度，单位
15、为安培/平方米（A/） ；J 为磁流密度，单位为伏特/平方米（V/） 。m 各项同性线性介质中的本构关系为 （213）HJEB Dm 其中 表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m） ； 表示磁导系数，单 位为亨利/米（H/m） ， 表示电导率，单位为西门子/ 米（S/m ） ； 表示导磁m 率，单位为欧姆/米（ /m） ； 和 分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中m =0 ， =0 ，以及m F/1085. 2-0 H4 7- 在直角坐标系中， （211） 、 （212）式写为 （214）zzxy xyzx xyz EtHt 以及 （215） zmzxy yyzx xmxyz HtEt 下面我
16、们考虑（214） 、 （215）式的 FDTD 差分离散。令 代),(tzyxf 表 或 直角坐标系中某一分量，在时间和空间域中的离散取以下符号表示：EH ),(),),( kjiftnzkyjxiftzyxf n（ 对 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近, 似，即 (217)）tkjifkjiftzyxf yjifjiftf kjifkjifytzxf xjifjiftyfntx nnzkx nnxj nnxi ),),(),( )21,)21,(, ),),(),( ),21),21(),( 1-1（ 在 FDTD 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图 211 所示，这就是著名 的 Y
17、ee 元胞。有图可见每一个磁场分量有四个电场分量环绕；同样，每一个电 场分量由四个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第 定律和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适 合于麦克斯韦方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外，电 场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，是麦克 斯韦旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不 需要进行矩阵求逆运算。因而，有给定相应电磁问题的初始值及边界条件，利 用 FDTD 方法就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。 Yee 元胞中 E、H 各分量空间节点与
18、时间步取值的整数和半整数约定如表 2-1 所示。 表 21 Yee 元胞中 E、 H 各分量节点位置 对于时谐场，若采用复数表示 exp( )，实际应用中常给出介质的复数本tj 构参数，例如介电系数和复磁导系数为 (218) ） jj(0 上式中的虚部分别对应于介质的电和磁损耗。显然，时谐场情况复数本构 参数的虚部 、 与（214）及（215）式中的电导率 及磁导率 的关系为 m (219 )或 （21 10） 0m 0m 2.2 直角坐标系中的 FDTD：三维情况 先看（214）式第一式。设观察点 为 的节点，即 ，),(zyxxE),21(kji 以及时刻 ， 这样做是为了在离散式中只出现
19、表 21 所示的各个t)/2,(nt 场分量节点。实际上这一平均值方法使 FDTD 随时间推进算法具有数值稳定性。 （221）式整理后可得 z)21-,()21,(-),21(),21()(, 2212121 kjiHkjiykjiHkjimCBjiEAkjiE nynynznzxnx ） （223） 式中 （224）)(21 )()(tm)( mtCA （225）)(21)(t)( tB） 上式中标号 。同样， （214）式的其余二式的散后的形),2/(kjim 式为 xkjiHkjikjiHkjiCBjiEjiE nnxnxnxyny ),21(),21(z)21,()21,()(,(A,
20、21 212 （226） 式中 。以上（223） 、 （226）式和（227）式)/1,(kjim 为 FDTD 中电场的时间推进计算公式。 同样，设观察点 为 的节点，即 和时刻 ，z)y,(xxH)/1,/,(kji tn 于是， （215）式第一式的离散为 y)21,()21,(z),21(),21( ),(),(, t)2,()21,(),( 21-2121-21 kjiEkjiEkjiEkjiEjiHjiHjikjikji nznznyny nxnx nxnx （228） 上式整理后可得 z),21(1),2(z)21,()21,(CQ(m)-,P(-)21,-21 kjiEkjiE
21、kjikjiEHkji nynxnynxnx） （229） 类似地， （215）式的其余二式可离散为 z)21,()21,(z),21(),21(CQ(m)-,P(-),2-1 kjiEkjiEkjiEkjiEHkji nxnxnxnxyny） （2210） y),21(),21(x),21(),21(CQ(m)- ,P(-),21-21 kjiEkjiEkjiEkjiEHkji nxnxnynyznz） （2211） （229）（2211）式中的系数 和 分别为)(mCP)(Q （2212）)(21)(t(m)tCPm （2213）)(21)(t()tQmm） 同样地，系数中的标号 代表观察
22、点 处的一组整数或半整数;(2zy,x 29)式中为 ， （229）（2211）式为 FDTD 中的)/1,/,(kjim 时间推进公式。上述电磁场的时间推进公式是 FDTD 的一组基本公式。 在计算中常常采用 Yee 元胞为立方体，即等间隔离散 （2214）zyx 并记 （2215）,00 这时， （223）式又可写为),1(kjiEnx ),21()kjiEmCAnx )21-,()21,(-),(-),2()BC 22111 kjiHkjiHjijiH nynynxnz （2216） 其中 （2217）)(21 )()(0mtCA (2218) 02t)()()( B 电场的其余二式（2
23、26）和（227）式分别为 ),21(),21(-)21,(-)1,(BC,),1 2122 kjiHkjiHkjikjiHEmAjiE nxnxnxnxyy (2219) )1,()1,2(-)21,-()21,(),), 221 kjikjikjikjijji nxnxnynyxx （2220） 以上诸式中 的取值与（223） 、 （226）式和（227）式对应。m 磁场的相应 FDTD 公式为 21,1,-,2-1,21,21,21-21 kjiEjikjiEkjimQCkjiHCPkjiH nznznynynznx （2221） （2222） ),21(),21( ,m)QC )21,
24、(P()21,( 21-21 kjiEkjiEjijikHkjiHnyny nxnxyny （2223） ),21(),21( ,m)QC ,P),21( 1-21 kjiEkjiEjijiHkjiHnyny nxnxznz 其中 mttCPrr021- （2224）02ttQmCmr （2225） 根据上述 FDTD 差分方程组可得出计算电磁场的时域推进计算方法，如图 221 所示。 图 221 FDTD 在时域的交叉颁布逐步推进计算 在编程中，为了使计算中平面波情况下电场和磁场有相同的数量级，可对 H 或 E 进行“ 归一化”处理。即以 代替 （或以 代替 ） ，HZ00/ZE 其中 为自
25、由空间波阻抗。0Z 2.3 直角坐标系中的 FDTD：一维情况 对于二维问题，设所有物理量均与 坐标无关，即 ；而在一维情况下，z0/z 设 TEM 被沿 方向传播，介质参数和场量均与 无关，及 ，z yx,x ，于是麦克斯韦方程为0/y xxEtzH- （231）xxty- （232） 一维情况 E、 H 分量空间节点取样如图 241 所示。一维 Yee 中 E、 H 各分量节点与时间步取值的整数和半整数如表 23 所示。 方程（241）和（242）的 FDTD z21-21 kHmCBkEAknynynxnx （233）EQPHnxxyy-221-1 （234） 其中 的含义与（236）（
26、239）式相同。、C 如果介质为无耗，即 = 0，则以上二式简化为m z21-211 kHmCBkEAknynynxnx （233）EQPHnxxyy-221- （234） 以上即为 FDTD 模拟一位电磁波传播的理论基础 第 三 章 分析电磁波模拟图像 用 FDTD 算法，以 Matlab 为工具模拟一位电磁波传播，共振源频率为 =f ，介电常数为 =1.0，导磁率 ( )，其模拟图形如下：910Hz07-104m/ 图 3.1 4ns 时电场和磁场波动情况 图 3.2 8ns 时电场和磁场的波动情况 3.3 12ns 时电场和磁场的波动情况 上图分别为电场（红）和磁场（蓝）在各个时刻的传播
27、图形，该传播趋势 呈现衰减现象。 现取导磁率导 ，其他参数均不改变，则可得到以下/m)(103.5-7m 波形图： 图 3.4 4ns 时电场和磁场传播图形 图 3.5 8ns 时电场和磁场传播图形 图 3.6 12ns 时电场和磁场传播图形 与 3.13.3 相比，电场和磁场的传播图像并无明显变化，总体仍然是呈衰 减的趋势。 现将介电常数改变，取 ，其余参数均与图 3.13.3 的参数相同，9.0 再次模拟可得图像如下： 图 3.7 4ns 时电场和磁场传播图形 图 3.8 8ns 时电场和磁场传播图形 图 3.9 12ns 时电场和磁场传播图形 结 论 由以上诸图可明显看出，介电常数对于模
28、拟电磁波传播影响非常大，当介 电常数改变时，电磁波将受到极大地影响，波长变化尤为明显。经过严密计算 以及多次模拟，得到的以上图像均可证明 FDTD 方法模拟电磁波传播使其计算 简便，现象明显，可见，FDTD 方法的应用，但对于电磁波的研究有着相当重 要的作用。 应用时域有限差分法成功对一维进行了数值模拟。结果表明，在对一维耗 散介质的仿真中，电磁波是衰减的。 参考文献 【1】Paulus R A Evaporation duct effects on sea clutter 外文期刊 1990(11) 【2】Gossard E E;Strauch R G Radar observations of clear air and clouds 1983 【3】Levy M F Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation 2000 【4】黄小毛;张永刚;罗宁 大气波导对电磁波陷获传播影响的数值模拟和试 验验证 2007(23) 【5】Donohue D J;Kuttler J R Propagation modeling over terrain using the parabolic wave equation 【6】电磁波时域有限差分方法葛德彪
