1、本科毕业论文论文题目逆矩阵及其应用学生姓名学号专业数学与应用数学指导教师学院年月日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题目逆矩阵及其应用选题时间完成时间论文（设计）字数关键词矩阵，逆矩阵，广义逆矩阵，论文（设计）题目的来源、理论和实践意义论文题目的来源自选题目论文（设计）的主要内容及创新点主要内容主要创新点附论文（设计）本人签名年月日目录中文摘要1英文摘要1一、引言2二、矩阵逆的定义2三、可逆矩阵的性质2四、矩阵可逆的判定方法2五、矩阵逆的求法3六、矩阵逆的应用12七、逆矩阵求某些函数的不定积分13八、矩阵逆的推广14参考文献161逆矩阵及其应用摘要本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩
2、阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广关键词矩阵矩阵的逆广义逆矩阵中图分类号O15121THEINVERSEMATRIXANDITSAPPLICATIONABSTRACTTHISPAPERPRESENTSTHEDEFINITIONANDPROPERTIESOFINVERSEMATRIX,THENDISCUSSESTHEMETHODABOUTHOWTOIDENTIFYINVERSEMATRIXANDHOWTOEVALUATEITNEXT,THISPAPERDISCUSSESHOWTOEVALUATEIN
3、DEFINITEINTEGRALBYINVERSEMATRIXANDTHEAPPLICATIONOFINVERSEMATRIX,ESPECIALLYITSAPPLICATIONINTHEENCODING,DECODINGFINALLY,THISTHESISGENERALIZESINVERSEMATRIXKEYWORDSMATRIXINVERSEMATRIXGENERALIZEDINVERSEMATRIX2一引言矩阵是现代数学的一个强有力的工具，应用非常广泛，逆矩阵又是矩阵理论的一个非常重要的概念，文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、判定方法、应用进行探讨目的在于改进教学，促进学生的学习，
4、提高教育教学质量，让学生了解逆矩阵的应用二矩阵逆的定义引入矩阵的逆这个概念对于NN矩阵A，如果有一个NN矩阵B，使得ABBAE，E为单位矩阵则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为A1三可逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆,则矩阵AB可逆，其逆阵为B1A1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆2、若A可逆，则1A也可逆，且1A1A；3、若A可逆，数0，则A可逆，且111AA；4、若A可逆，则TA也可逆，且11TTAA5、A11A6、矩阵的逆是唯一的，证明运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ABBAEACCABBEB（AC）（BA）CECC（与BC矛盾）
5、，所以是唯一的四矩阵可逆的判定方法矩阵可逆有如下若干充要条件（A为N阶方阵）1、存在B为N阶方阵，使得ABI；2、对于PAQ000I，其中R（A）N；3、0A；4、A的行向量组线性无关；5、A的列向量组线性无关；6、A可表示成一系列初等矩阵的乘积；37、A可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I；8、A可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I；9、对于齐次线性方程组AX0只有零解；10、A是非奇异矩阵五矩阵的逆的求法（一）定义法定义设A是N阶方阵，如果存在N阶方阵B使得ABE,那么A称为可逆J矩阵，B称为A的逆矩阵，记为1A例1求矩阵121011322A的逆矩阵解因为A0,所以1A存在设3332312
6、3222113121113XXXXXXXXA,由定义知1AAE,所以1210113223332312322211312113XXXXXXXX100010001由矩阵乘法得332313322212312111231322122111332313322212312111222322322322XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX100010001由矩阵相等可解得111312111XXX654322212XXX433332313XXX故4613513411A（二）伴随矩阵法定理N阶矩阵AAIJ为可逆的充分必要条件是A非奇异且411211122221121NNNNNNAAAAAAAAAAA
7、，其中AIJ是|A|中元素AIJ的代数余子式矩阵112111222212NNNNNNAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A，于是有A11|A|A注释对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵注意A（AJI）NN元素的位置及符号特别对于2阶方阵11122122AAAAA，其伴随矩阵22122111AAA,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵例2已知101A210325，求A1解A20A可逆由已知得111213212223313233A5,A10,A7A2,A2,A2A1,A2,A1A11|
8、A|A5115212211022511272171122（三）行列初等变化法5设N阶矩阵A，作N2N矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块A变为NI，则子块NI将变为1A，即初等行变换E,A1注对于阶数较高（N3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵当矩阵A可逆时，可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换求得A1B和CA1这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A1B或CA1例3用初等行变换求矩阵231A013125的逆矩阵解23110012
9、5001125001AE013010013010013010125001231100006112125001125001013010013010019102111001663113410066313010122111001663（四）用分块矩阵求逆矩阵设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则61111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO例4已知0052002112001100A，求A1解将A分块如下120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得111122121212111,2511|3AAAAAA112
10、1112003311003312002500OAAAO（五）解方程组求逆矩阵根据可逆的上下三角矩阵的逆仍是上下三角矩阵,且上下三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上下三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素又由A1AE两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上下三角矩阵的逆矩阵7例5求1000120021301214A的逆矩阵解设21131324142431000100210314XAXXXXX,先求A1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,再求3142X,X，最后求41X设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310
11、001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到元素213243X,X,X,再求3142X,X，最后求41X设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到414243433132434142434241424343110X0X3X0,X412211X1X100,X32250X2X1X0,X44111X1X2X0,X48解得解得解得解得。8于是,所求的逆矩阵为110001100221110263151184124A（六）用克莱姆法则求解若线性方程组11112211
12、211222221122NNNNNNNNNNAXAXAXBAXAXAXBAXAXAXB的系数行列式|0IJNDA，则此方程组有唯一的一组解1212,NNDDDXXXDDD这里ID是将D中的第I列1,INIAA换成1,NBB得到的行列式例6求可逆矩阵121310102A的逆矩阵解矩阵A的行向量为123,，由标准基123,表示为1123212313232解以123,为未知量的方程组得1123212331232419992113331259991241999211333125999A9（七）恒等变形法求逆矩阵有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给
13、的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式例7已知6AE，试求11A并证明111AA,其中13223122A解由6AE得到666611AAAAEAAE故111AA,而又为正交矩阵,1AA从而11113223122AA（八）用HAMILTONCALEY定理求逆矩阵HAMILTONCALEY定理设A是数域P上的N阶矩阵11EANNNNFAAA为A的特征多项式，则11EA0NNNNFAAAAAAAE于是12111NNNNAAAAEA因此112111NNNNAAAAAEA例8已知224232111A，求A1解A的特征多项式32EA4710F由HAMILTONCALEY定理知32471
14、00FAAAAE125216114702410105010AAAE（九）三角矩阵的一种求逆法10定理如果N阶矩阵11121112221200000NNNNNNTTTTTTTTT可逆，那么他的逆矩阵是11111111121111111111222221222100000NNNNNNTTTTTTTTT其中11111111,1,2,1,1,2,23,4,IIIIIIIJJJIJKJIKKKIKJTTINTTTTINJN例9求上三角阵1312011300250002A的逆矩阵解由定理知11222121233323111133313231222134443411244424342333111144414
15、2412223413333122521412TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT11132211012415002410002A（十）拼接新矩阵在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵E,再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵对该方阵施行第三种行的初等11变换,使其负单位矩阵E化为零矩阵,那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A1例10求矩阵012121132A的逆矩阵A1解101212110132AA存在构造矩阵AEEO有012|100121|010132|001100|000010|000001|000将第一行依次乘以2，3和1，
16、分别加到第二行、第三行和第五行，得012|100103|210104|301100|000002|100001|000将第二行依次乘以1和1，分别加到第三行和第四行，12得012|100103|210001|111003|210002|100001|000再将第三行依次乘以3、2和1，分别加到第四行、第五行、第六行，得012|100103|210001|111000|143000|122000|111故1143122111A（十一）和化积法有的问题要判断方阵之和AB的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将AB直接化为（AB）CE,由此得AB非奇异，且1BAC或将矩阵之和AB表示为若干已知的非奇异阵之积
17、，并可得其逆矩阵例11证明若KA0,则EA是非奇异的，并求1AE证明EAAAEAEK12是非奇异的，AE且1AE12KAAAE六矩阵逆的应用（主要在编码、解码方面）矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆短阵的方法先在26个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是ABYZ12252613若要发出信息“SENDMONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，L5，14，5，25，其中5表示字母E不幸的是，这种编码很容易被别人破译在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现次数最多的数值是5，人们自然
18、会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们，字母E是英文单词中出现频率最高的我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SENDMONEY进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密如果一个矩阵A的元素均为整数，而且其行列式A1，那么由11AAA即知，1A的元素均为整数我们可以利用这样的矩阵A来对明文加密，使加密之后的密文很难破译现在取A121253232明文“SENDMONEY”对应的9个数值按3列被排成以下的矩阵B194145135141525矩阵乘积AB1211941443454925315135105118128232141525817793对应着将发出去
19、的密文编码43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用户用A1去左乘上述矩阵即可解密得到明文为了构造“密钥”矩阵A，我们可以从单位阵I开始，有限次地使用第三类初等行变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用这样得到的矩阵A，其元素均为整数，而且由于1可知，1A的元素必然均为整数七逆矩阵求某些函数的不定积分14利用逆矩阵求不定积分的具体方法1）根据所求函数的不定积分，构造一个由基12,NFXFXFX生成的子空间W12,NFXFXFX，并且W在求导变换D/W下是封闭的；2）求D/W在基12,NFXFXFX下矩阵AIJNNA；3）根据高等代数知识，求逆矩
20、阵1IJNNAB，则1A就是逆变换1/DW在基12,NFXFXFX下的矩阵；4）根据1A的第J列元素写出1/JDWFX1122JJNJNBFXBFXBFX，J1,2,3,4,5,6,N于是得出所求积分IFXDX1122JJNJNBFXBFXBFXC,J1，2，3，4，N例求定积分25COS34SIN3XEXXDXDX选定子空间WL22COS3,SIN3XXEXEX，则W是求导变换D/W的不变子空间，且22COS3,SIN3XXEXEX是W的一组基，且2225COS34SIN35COS34SIN3XXXEXXEXEX222222D/WCOS32COS33SIN3/SIN33COS32SIN3XX
21、XXXXEXEXEXDWEXEXEX52215COS32COS33SIN313XXEEXDXXXC，其中1C是任意常数42224SIN32SIN33COS313XXEEXDXXXC，其中2C是任意常数25COS34SIN3XEXXDXDX22255COS34SIN3LIM13XXXXEEXDXEXDX21242COS33SIN32SIN33COS313XEXXCXXC223SIN32COS313XEXXC，其中C是任意常数15八可逆矩阵的推广广义逆众所周知，目前我们所学习、所了解的矩阵的可逆都是建立在N阶方阵的基础上，那如果是长方阵呢，对于长方阵，是否也有逆的性质，长方阵的逆又是怎样的呢查阅资
22、料，我对矩阵的逆来做些推广，就是标题中所说的长方阵的广义逆逆是逆元的简称，跟N阶方阵一样，长方阵与其广义逆之间也有着相应的关系AXAA这边的X就成为长方阵A的广义逆，记为A或者A若A为非奇异矩阵,则线性方程组AB的解为AAAB，其中A的逆矩阵AA满足AAAAAII为单位矩阵若A是奇异阵或长方阵AB可能无解或有很多解若有解,则解为XBIXA,其中是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXAA的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用A等符号表示,有时简称广义逆当A非异时,AA也满足AAAAA,且111XABIAAYAB故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广
23、16参考文献1同济大学数学系线性代数（第五版）北京高等教育出版社2007（9）2北大数学系编王萼芳等修订高等代数第三版北京高等教育社200323郭大钧等吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）济南山东科学技术出版社2005（3）4张禾瑞，郝炳新高等代数M北京高等教育出版社19995白述伟高等代数选讲M哈尔滨黑龙江教育出版社19966同济大学高等代数与解析几何M北京高等教育出版社20052237刘丽，林谦，韩本三，等高等代数学习指导与习题解析M成都西南财经大学出版社2009391702538邹应数学分析习题及其解答M武汉武汉大学出版社20011681691769吴良森，毛羽辉数学分析习题精解多变量部
24、分M北京科学出版社，200510毛纲源线性代数解题方法和技巧M武汉湖南大学出版社11王萼芳、石生明高等代数高等教育出版社2003年第三版；12李尚志线性代数高等教育出版社2006年第一版1山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院章系别/教研室时间年月日课题情况题目名称课题性质A基础研究B基础应用研究C应用研究教师姓名职称学位课题来源A科研B生产C教学D学生自拟E其它成果类别A论文B设计主要研究内容与研究目标指导教师（签名）年月日选题学生（签名）年月日系所或教研室审题意见负责人（签名）年月日学院审批意见学院学位分委员会主任（签名）年月日2山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目学院
25、名称专业学生姓名学号指导教师年月日3一、选题的性质基础应用研究二、选题的目的和意义三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面四、课题研究的可行性分析4五、课题研究的策略、方法和步骤六、预期成果形式描述预计形成6000字左右的学士学位论文。七、指导教师意见指导教师（签名）年月日八、学院学位分委员会意见学院学位分委员会主任（签名）年月日5山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院系别专业论文（设计）题目学生姓名学号指导教师职称计划完成时间指导情况纪录（含指导时间、指导内容）指导教师（签名）学生（签名）学院学位分委员会主任（签名）年月日6指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或
26、实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价）成绩指导教师（签名）年月日7评阅人意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价）成绩评阅人（签名）年月日8答辩委员会意见（应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见、评阅人意见对论文的综合水平做出具体评价）成绩答辩委员会主任（签名）年月日学院学位分委员会意见成绩学位分委员会主任（签名）（公章）年月日9山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院（章）系别专业论文（设计）题目学生姓名学号指导教师职称答辩时间答辩地点答辩委员会名单姓名性别职称职务其它答辩记录记录人（签名）答辩委员会主任（签名）年月日年月日10山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院专业班级姓名学号指导教师论文（设计）题目关键词论文（设计）字数内容摘要成绩学院负责人（签名）年月日11山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院专业班级姓名学号指导教师论文（设计）题目关键词论文（设计）字数内容摘要成绩学院负责人（签名）年月日
