1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 函数的凸性及应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘 要 ： 凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式， 同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明 Hadamard 不等式中的应用，凸函数在证明 Jensen 不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等
2、。 关键词 ：凸函数；连续；等价描述；不等式 Convex Function and Its Application Abstract： Convex function is a kind of very important functions， when considering the convexity of function, it can not only describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequal
3、ities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly introduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further propose the application of convex function
4、 which mainly focus on inequality proof. Finally, the proof of Hadamard inequality, Jensen inequality and some other analysis inequalities are discussed. Key words: Convex function; Continuous; Equivalent description; Inequality 目 录 1 绪 论 . 1 1.1 问题的背景及研究意义 . 1 2 凸函数的定义及性质 . 3 2.1 凸函数的定义 . 3 2.2 相关的
5、几个定理 . 3 2.3 凸函数的性质 . 7 3 凸函数的应用 . 13 3.1 凸函数在证明初等不等式中的应用 . 13 3.2 凸函数在证明函数不等式中的应用 . 14 3.3 凸函数在证 明积分不等式中的应用 . 14 3.4 凸函数在证明 Jensen 不等式中的应用 . 15 3.5 凸函数在证明 Hadamard 不等式中的应用 . 16 4 结论 . 18 致 谢 . 19 参考文献 . 20 1 1 绪论 1.1 问题的背景及研究意义 在 数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。重要的数学
6、概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说贯穿古今。凸函数是一类性质特殊的函数，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用，本文将对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论。 1718 年， 瑞士数学家约翰 贝努里 通过结合以前科学家的成果 才在莱布尼兹函数概念的基础上 对函数进行了 明确的定义。 18 世纪中叶欧拉给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式 。 欧拉给出的函数定义比约翰 贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可
7、用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。 1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义 。 1837 年狄利克雷拓广了函数概念，指出： “对于在某区间上的每一个确定的 x 值， y 都有一个或多个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数。 ”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。 在 函数概念的定义经过 近 二百年的锤炼、变革 后， 1905 年丹麦数学
8、家 Jensen 首次给出了 凸函数的定义，开创了凸函数研究的先河，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，其中，凸函数的判据研究已接近完善，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学支，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出，人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛的深入研究，使得凸函数的性质也得到了较好的发展。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年来，研究函数各种凸性的文献越来越多。 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的 研究，在数学的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和
9、不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。同样 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义。 函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。不等式的证明方法很多，技巧2 性强，函数凸性是函数在区间上变化的整体形态，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的构造凸函数，可以简单轻快得证明不等式。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景 ,一些常见的不等式都可以从函数的 凸性中导出。 在不等式的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的。与凸函数有关的不等式是基础数学理论的重要工具，尤其在不等式的证明中发挥
10、的作用是无可替代的，其中 Jensen 不等式与 Hadamard 不等式更是起到了重要的作用。 Jensen不等式通常用来证明有限不等式，它是将无穷项求和与积分联系起来的重要桥梁。利用Hadamard 不等式可以对两个正数的几何平均数与算数平均数加细。 3 2 凸函数的定义及性质 2.1 凸函数的定义 通过数学分析的学习，对于函数 2xxf 和 xxf 的图像，我们很容易看出它们之间的不同点：曲线 2xy 上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线 xy 则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸
11、函数。 数学分析 2给出了凸函数的基本定义：设 f 为定义在区间 I 上的 函数，若对 I 上的任意两点 1x ， 2x 和任意实数 1,0 总有 2121 11 xfxfxxf ,则称 f 为I 上的凸函数。 当上面的不等式变为 2121 11 xfxfxxf 时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。 江芹 ,陈文略 3给出了 区间 I 上严格凸函数的判定方法。 判定方法： 1、设 f 为区间 I 上可导函数， f 在 I 上严格递增，则 f 在区间 I 上是严格凸函数。反之，不成立； 2、设 f 为区间 I 上二阶可导函数 ,在 I 上 ,0 xf .则 f 在区间I 上是严格凸函数。 2
12、.2 相关的几个定理 古小敏 4介绍了几种判别凸函数的定理，并给出了几个结论的证明。 定理 1： Ixxx 321 , 且 321 xxx ；23231212 )()()()( xx xfxfxx xfxf ，则 f 为凸函数。 定理 2：若 f 在 I 内存在单增函数 ， IxIx ,0 有 xx dttxfxf 0 )()()( 0 ，则 f 为凸函数。 定理 3：若 f 在 I 内可导， Ixx 21, ；有 )()()( yfyxyfxf ，则 f 为凸函数。 定理 4： f 为区间 I 上凸函数的充要条件：函数 )1()( 21 xxf 为 ,0 上的凸函数， Ixx 21, 。 定
13、理 5：若 f 在 I 上连续， Ixx 21, 且 21 xx ，有 4 2 )()()(12 211221 21 xfxfdttfxxxxf xx ，则 f 为凸函数。 定理 6： f 在 I 内二次可导， 0)( xf ，则 f 为凸函数。 定理 7：若 f 在 I 内可导，且 )(xf 单调递增，则 f 为凸函数。 相关的几个主要结论及其证明： 结论 15：若 f 在区间 I 上可导，则定理 32 。 证明：若 f 在 I 内存在单增函数 ， IxIx ,0 有： xx dttxfxf 0 )()()( 0 （ 1） 故对于 ,Iy 不妨设 xy ，有： yx dttxfyf 0 )(
14、)()( 0 （ 2） 将式（ 1） 两边关于 x 求导，得 )()( xxf 。 （ 1） -（ 2），得： 0000 )()()()()()( xyxxyxxx dttdttdttdttyfxf xyyxdttxy );()()( （ 3）因为 )(t 单调递增，且 y ，所以 )()( y ，式（ 2）可化为： )()()()()()()()( yfyxyyxyxyfxf 即 )()()( yfyxyfxf 结论 2：若 f 在区间 I 上连续，则定理 54 。 证明：因为 )1()( 21 xxf 为 ,0 上的凸函数，故： )0)1(1()()1( 21 xxf )()1()()0(
15、)1()1( 21 xfxf 特别地，当 21 时，有2 )()(2 2121 xfxfxxf 。 先证不等式的左边： 5 2121 ;, xxIxx 由实数的性质知在 I 上可确定一个闭区间 , 21 xx ，若 2, 211 xxxt ，则 t 关于 2 21 xx 的对称点是 txx 21 ，而 f 在区间 I 上连续，所以积分存在，。所以 )2()()2(2)()()( 21122 212 21 21121121 xxfxxdtxxfdttxxftfdttf xxxxxxxx 即 21 )(1)2( 1221 xx dttfxxxxf下面证不等式的右边： 作变换 )10(122 uxx
16、 txu ，则 ,)1()( 21122 xuuxxxuxt ,)( 21 duxxdt 当 1xt 时， 2;1 xtu 时， 0u 。 duxuuxfxxdttfxx )1()()( 21101221 duxfuxufxx 10 2112 )()1()()( 2 )()()( 2112 xfxfxx 即 ,2 )()()(1 2112 21 xfxfdttfxx xx 故 2 )()()(1)2( 211221 21 xfxfdttfxxxxf xx 。 结论 3： 若 f 在 I 内二次可导，则定理 65 。 证明：因 Ixx 21, 且 21 xx ，有 2 )()()(12 2112
17、2121xfxfdttfxxxxf xx ， 令 2 21 xxx 则 21 xxx ，故 2 )()()( 21 xfxfxf ， 即 )()()()( 21 xfxfxfxf 。因为 021 xxx ，所以 6 xx xfxfxx xfxf 221 1 )()()()(；又因为 f 在 I 上可导，则 f 在 I 上连续，故由极限的性质可知：2211 )()(lim)()(lim21 xxxfxfxx xfxfxxxx ，即 )()( 21 xfxf 。因为 f具有二阶导数，所以 )()( 11 xfxf ， )()( 22 xfxf ，即 Ixx 21, 都 有)()( 21 xfxf
18、，设 x 为 I 上任一固定点，则 0)()(lim 0 x xfxxfx ，所以0)( xf 。 结论 4：若 f 在区间 I 内可导，则定理 76 。 证明：因为 f 在区间 I 内可导，且 0)( xf 。 所以可得 )(xf 单调递增。 可得 0)()(lim0 xxfxxfx， 由定义 6 可得， f 为凸函数。 结论 5：由定理 17 ： 证明：因为 )(xf 在 I 内可导，且 )(xf 单调递增， 321321 ;, xxxIxxx 且由实数的性质知在 I 上可确定两个闭区间 , 21 xx ， Ixx , 32 ，曲线 )(xfy 在)(,( 22 xfx 的切线方程为 )()( 222 xxxfxfy 。 故横坐标为 x 的曲线的纵坐标与切线坐标之差为： )()()()( 222 xxxfxfxfyxf （ 4） 而 )(xf 在 I 内可导，而 Ixx , 32 ，故 )(xf 在 , 32 xx 上连续，在 ),( 32 xx 上可导。所以 )(xf 在 , 32 xx 上满足拉 格朗日定理，即 )(xf 在 )()()(.),( 23123321 xxfxfxftsxx 由式（ 4），当 3xx 时，有： )()()()( 232233 xxxfxfxfyxf
