1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 定积分的数值计算方法 一、选题的背景、意义 在科学与工程计算中，经常要计算定积分 ( ) ( ) ( ) .baI f f x d x a b （ 1 1） 这个积分的计算似乎很简单，只要求出 f 的原函数 F 就可以得出积分（ 1 1）的值，即 ( ) ( ) ( ).I f F b F a （ 1 2） 如果原函数 F 非常简单又便于使用，那么式（ 1 2）就提供了计算起来最快的积分法但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分 1dxx 可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分 2xe dx ，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运
2、算组合表示的函数有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（ 1 2）来计算之前还得三思而行 1例如 242 21 1 2 1 2 1a r c ta n ( ) l n112 2 4 2 2 1x x xd x Cxx xx （ 1 3） 采用式（ 1 3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题由式（ 1 3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度 因此可以 看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法2 通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿 -科茨
3、求积公式，复合求积公式，龙 贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题 构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的 n 次插值多项式代替 被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式但它们的精度较差龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳
4、定性好，而且还可以计算无穷积分 3 二、研究的基本内容 与拟解决的主要问题 2 1 牛顿 -科茨求积公 式 4 2 1 1 公式的一般形式 4 将积分（ 1 1）中的积分区间 ,ab 分成 n 等分，其节点 kx 为 1, ( )kx a kh h b an ( 0,1, , )kn 对于给定的函数 f ，在节点 kx ( 0,1, , )kn 上的值 ()kfx 为已知那么 f 在 n+1 个节点 01, , , nx x x 上的 n 次代数插值多项式为 0 0( ) ( ) .nn jnkk j kjjkxxp x f xxx 如果记 x a th ，则上式可以写为0 0( ) ( )
5、.nnnkk jjktjp x f xkj （ 2 1） 在积分（ 1 1）中的被积函数 f 用其 n+1 个节点的代数插值多项式 ()npx来代替，可得 ( ) ( ) ( ) ( )bbnnaaI f f x d x I f p x d x 多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为 0( ) ( ) ( )nn n kkI f I f A f x ， （ 2 2） 其中 ()0 0 ( ) ,nn nkkjjkb a t jA d t b a cn k j (2 3) ()0 0( 1 ) ( ) .! ( ) !nk nnnk jjkc t j d tk n k n (2 4) 公式（
6、2 2）称为 牛顿 -科茨求积公式 或称为 等距节点求积公式 ， kA 称为求积公式系数，()nkc 称为科茨求积系数 2 1 2 梯形公式 5 在牛顿 -科茨公式（ 2 2）中，取 n=1时 (1) (1)011 ,2cc所以有 1( ) ( ) ( ) ( ) .2baI f I f f a f b （ 2 5） 公式（ 2 5）称为 梯形公式 ，如果用 连接 , ( )a f a 和 , ( )b f b 的直线来逼近 f ，并对这线性函数进行积分可得到 1()If再用 1()If来逼近 ()If 2 1 3 辛普森公式 6 在牛顿 -科茨公式（ 2 2）中 ,取 n=2，则有 220
7、011( 1 ) ( 2 ) ,46c t t d t 221 014( 2 ) ,26c t t dt 222 011( 1) ,46c t t dt 有此得到 2( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) .32h a bI f I f f a f f b （ 2 6） 其中 1()2h b a式（ 2 6）称为辛普森公式 2 2 复化求积公式 7 上面已经给出了计算积分 ( ) ( )baI f f x dx的 3 个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿 -科茨公式，并给出了它们误差的表达式由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截
8、断误差是该长度的高阶小量但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小 区间， ()If 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为 复化求积公式 将积分区间 ,ab 作 n 等分，并记 , , 0 , 1 , ,kbah x a k h k nn ，于是 2 2 1 复化梯形求积公式 8 如果需要求出一个已知函数 ()fx在一个很大区间 ,ab 上的积分，那么我们可以把区间分成 n 个长度为 xh 的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分
9、值相加于是就得到了计算定积分的复化梯形公式： 11 0 1 2 10( ) ( ) ( 2 2 2 )22nbi i n na i hhf x d x f f f f f f f (2 7) 110( ) ( )kkn xxkI f f x dx 2.2.2 复化辛普森求积公式 9 对于积分 ()ba f xdx，将 ,ab 等分，每个小区间长度 bah n ，节点记为 ( 0 ,1 , 2 , , )kx a kh k n ，第 k 个小区间记为 1 , ( 1, 2 , , )kkx x k n 记 1kkxx 的中点为112 1 ()2 kkkx x x ，则复化辛普森公式为 111 2
10、( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )6nbkka kkhf x dx S h f x f x f x 2 3 龙贝格积分 10 现在要介绍 用龙贝格（ Romberg） 命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分 ()baI f x dx （ 2 8） 的近似值在讨论过程中函数 ()fx和区间 ,ab 将保持不变 2 3 1 递推梯形法则 10 设 ()Tn 表示在长度是 ( )/h b a n 的 n 个子区间上积分 I 的梯形法则根据0( ) ( )nba if x d x h f a ih， 我们有 00( ) ( ) ( ) ( )nnniib a b aT
11、 h f a ih f a inn ， （ 2 9） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半 2 3 2 龙贝格算法 10 在龙贝格算法中使用上述公式设 ( ,0)Rn 表示具有 2n 个子区间的梯形估计，我们有 1211( 0 , 0 ) ( ) ( ) ( )21( , 0 ) ( 1 , 0 ) ( ( 2 1 ) )2nnniR b a f a f bR n R n h f a i h ， （ 2 10） 对于一个适度的 M 值，计算 ( 0 , 0 ) , (1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , , ( , 0 )R R R R M，并且其中没有重复的函数值的计算在
12、龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值 ( , )Rnm 所有这些都可以被理解为积分 I 的估计计算出 ( ,0)RM 后，不再需要被积函数 f 值的计算根据公式 1( , ) ( , 1 ) ( , 1 ) ( 1 , 1 )41mR n m R n m R n m R n m ， （ 2 11） 对于 1n 和 1m 构造 R 阵列的各列 2 4 高斯求积 11 前面研究的求积公式都是事先确定了 n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权由于自由参数为 n 个，所以阶数一般为 n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为 2n，因此求积公式的阶数可达到 2n-
13、1高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化一般地，对每个 n， n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为 2n-1因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的但它的求得比牛顿 柯特斯公式要困难得多虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的 2 4 1 高斯求积公式 11 为 说 明 高 斯 求 积 公 式 ， 推 导 区 间 1,1 上 的 两 点 公 式1 1 1 2 2 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )I f f x d x w f x w f x G f ， 其中的节点 1x 、 2x 及权 1w 、 2w 按使求积公式阶数最大化的原则
14、选取令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组 112 111 1 2 2 112 2 21 1 2 2 113 3 31 1 2 2 11 2 ,0,2,30.w w d xw x w x xd xw x w x x d xw x w x x d x 这个非线性方程组的一个解为 1 2 1 21 3 , 1 3 , 1 , 1 ,x x w w 另 一 个 解 可 通 过 改 变 1x ， 2x 的 符 号 而 得 到 这 样 ， 两 点 高 斯 求 积 公 式 为2 ( ) ( 1 3 ) (1 3 )G f f f ，阶数为 3 另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到若 p 是
15、n 次多项式，且满足( ) 0 , 0 , , 1 ,b ka p x x d x k n 则 p 与 ,ab 区间上所有次数小于 n 的多项式正交，容易证明： 1 p 的 n 个零点都是实的、单的，且位于开区间 (, )ab 2 区间 ,ab 上以 p 的零点为节点的 n 点插值型求积公式的阶数为 2n-1，是唯一的 n点高斯公式 定义 2 212 如果 1n 个节点的求积公式 0( ) ( ) ( )nbkka kx f x d x A f x （ 2 14） 的代数精度达到 21n ，则称式（ 2 14）为 高斯型求积公式 ，此时称节点 kx 为高斯点，系数 kA 称为高斯系数 高斯求积
16、公式其最主要的还是研究一些较常用的求积公式，如： 高斯 勒让德（ Gauss-Legendre）公式， 高斯 和米特求积公式（ Gauss-Hermite）， 高斯 切比雪夫 （ Gauss-Chebyshev）求积公式 2 5 拟解决的主要问题 1 总结常用的数值积分方法 2 区分各种方法的不同点和优缺点 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料为主，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，再进行整理采取了从阅读已有的数据资料，然后对这些内容进行总结，最后运用相关知识来研究定积分的数值计算方法的技术路线 2研究难点 （ 1）关于定积分的
17、数值计算的方法比较多，每种方法的公式很多，要理清和掌握每个公式的用处 是一个难点 (2）数值计算的算法很多，每种算法都有其自己的特点，只知其然不知其所以然是一个难点 (3)在前人的基础上，对论题的创新和延伸是一个难点 3预期达到的目标 本次毕业论文通过定积分的数值计算方法的研究，熟悉数值积分的基本思想和原理，能了解数值计算的各种方法，掌握每种方法的原理，熟悉各种计算方法的计算公式及其性质以及它们的误差估计，同时了解如何借用 Matlab 对数值计算方法进行编程实现也掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而达 到对所学知识融会贯通的能力
18、四、论文详细工作进度和安排 第 7 学期 11 周（ 2010 年 11 月 15 号）至第 7 学期 12 周（ 2010 年 11 月 28 号） 查阅文献，收集信息、材料并进行加工整理，形成系统材料 第 7 学期 13 周（ 2010 年 11 月 29 号）至第 7 学期 15 周（ 2010 年 12 月 19 号） 研读文献，完成文献综述、开题报告和外文翻译的初稿 第 7 学期 16 周（ 2010 年 12 月 20 号）至第 7 学期 17 周（ 2010 年 12 月 31 号） 完成文献综述、开题报告和外文翻译，交指导老师 第 7 学期 18 周（ 2011 年 1 月 4
19、 号）至第 8 学期 3 周（ 2011 年 3 月 11 号） 完成论文初稿，并通过审核 第 8 学期 4 周（ 2011 年 3 月 14 号）至第 8 学期 10 周（ 2011 年 4 月 29 号） 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改； 2、 5 月 3 日前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告 第 8 学期 11 周（ 2011 年 5 月 3 号）至第 8 学期 12 周（ 2011 年 5 月 12 号） 进一步完善直至完成毕业论文，交指导教师 第 8 学期 12 周（ 2011 年 5 月 13 号）至第 8 学期 13 周（ 2011 年 5 月 19
20、号） 1、毕业论文评阅，只有通过评审的毕 业论文方可参加毕业论文答辩； 2、撰写答辩提纲，制作答辩 PPT 第 8 学期 14 周（ 2011 年 5 月 23 号）至第 8 学期 15 周（ 2011 年 6 月 3 日） 完成第一轮论文答辩 第 8 学期 15 周（ 2011 年 6 月 4 日）至第 8 学期 16 周（ 2011 年 6 月 12 日） 1、 6 月 5 日至 6 月 10 日第二轮答辩； 2、教务处于 6 月 7 日至 6 月 12 日随机抽取部分毕业论文进行校级答辩 五、主要参考文献： 1 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初计算方法与实习（第 4 版） M南京：东南大学
21、出版 社， 2009，(2)： 128129 2Micheal T Heath 张威，贺华，冷爱萍译科学计算导论（第 2 版） M北京：清华大学出版社，2005， (10)： 396297 3李桂成计算方法 M北京：电子工业出版社， 2005， (10)： 186 4 现代应用数学手册编委会 现代应用数学手册 计算与数值分析卷 M 北京：清华大学出版社， 2005， (1)： 163168 5 林成森 数值计算方法（上） M 北京：科学出版社， 2004， (5)： 220221 6冯康数值计算方法 M北京：国防工业出版社， 1978， (12)： 4547 7孙志忠，袁慰平，闻震初数值分析（
22、第 2 版） M南京：东南大学出版社， 2002， (1)： 191194 8 （美）柯蒂斯 F杰拉尔德 帕特里克 O惠特莱 应用数值分析（第 7 版） M北京：机械工业出版社， 2006， (8)： 222225 9夏爱生，胡宝安，孙利民，夏凌辉复化 Simpson 数值求积公式的外推算法 J军事交通学院学报 2006，第 8 卷（第 1 期）： 6668 10（美） David Kincaid, Ward Cheney 王国荣，俞耀明，徐兆亮 译 数值分析（原书第三版） M北京：机械工业出版社， 2005， (9)： 400403 11M T Heath Scientific Computing:An Introductory Survey, Sscond EditionM 清华大学出版社 英文影印版 2001， (10)： 351355 12封建湖，车刚明，聂玉数值分析原理 M北京：科学出版社， 2001， (9)： 111114
