1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 函数的凸性及应用 一、前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义，最早是由 Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。 本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸 函数的应用。对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明 Jens
2、en 不等式时的应用；凸函数在 Hadamard 不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） 凸函数具有一些非常优良的性质 1，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。 1905 年丹麦数学家 Jensen 首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。 凸函 数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象
3、，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1 凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习，对于函数 2xxf 和 xxf 的图像，我们很容易看出它们之间的不同点：曲线 2xy 上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线 xy 则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的1 曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。 数学分析 2给出了凸函数的基本定义：设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上的任意两点 1x ， 2x 和任意实数 1,0 总
4、有 2121 11 xfxfxxf ,则称 f 为I 上的凸函数。 葛丽萍 3 介绍了以下的结论： 若区间 I 上的任意三点 321 xxx ，总存在 23231212 xx xfxfxx xfxf ，这个条件是 f 为 I 上的凸函数的充要条件，该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理，通过推广，可以得出另一个更进一步的充要条件：在区间 I 上的任意三点 321 xxx ，有 232313131212 xx xfxfxx xfxfxx xfxf 成立，则 f 为 I 上的凸函数。并且若 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸函数的充要条件为 Ixxf ,0 。 2.1.2严
5、格凸函数的定义 江芹 ,陈文略 4给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间 I 上严格凸函数的判定方法。 定义：凸函数的定义为函数 f 满足以下不等式 2121 11 xfxfxxf ，其中 f 为区间 I 上的函数， 1x ， 2x 为 I 上的任意两点和 1,0 。当上面的不等式变为 2121 11 xfxfxxf 时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。 判定方法： 1、设 f 为区间 I 上可导函数， f 在 I 上严格递增，则 f 在区间 I 上是严格凸函数。反之，不成立； 2、设 f 为区间 I 上二阶可导函数 ,在 I 上 ,0 xf .则 f 在区间I 上是严格凸函数。 2.1.3
6、凸函数的等价描述 林银河 5详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若 )(xf 在 I 上有定义，则以下 3个命题等价： 1 )(xf 在 I 上为凸函数； 2 0iq ， 121 nqqq ， , 21 Ixxx n 有)()()()( 22112211 nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf ； 2 3 0iq ，且 ),1( niqi 不全为零， , 21 Ixxx n 有 nnnnnn qqq xfqxfqxfqqqq xqxqxqf 212211212211 )()()()(。 其中命题 2 就是著名的 Jensen不等式。在 Jensen不等式中令 ),2,1(1 ninqi
7、就得到如下定义：设 )(xf 在区间 I 上有定义， )(xf 称为 I 上的凸函数，当且仅当 , 21 Ixxx n 有n xfxfxfn xxxf nn )()()()( 2121 。 葛丽萍 3介绍了函数 f 在区间 I 上可导的等价条件：若 f 为区间 I 上的可导函数，可得出以下等价条件。 （ 1） f 为 I 上的凸； （ 2） f 为 I 上的增函数； （ 3）对 I 上的任意两点 1x ，2x ，有 2 1 1 2 1 f x f x f x x x。 2.2 凸函数的一些性质 2.2.1凸函数的连续性 凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又
8、重要的特征。由于 Jensen 定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设， Jensen 意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题：当连续函数 )(xf 满足何种条件时，)(xf 是区间 I 上的凸函数；当凸函数 )(xf 满足何种条件时， )(xf 是区间 I 上的连续函数；连续凸函数在区间 I 上具有何种性质？ 例如函数 1,2 1,)( xxxxf ，我们容易证明 )(xf 在 1,1 上是凸函数，但 )(xf 在 1,1上不连续。存在函数 3)( xxf ，可以得出函数在 R 上是连续的，但是
9、函数在 R 上不是凸函数。 上面这个例题说明 凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数。 宋方 6提出，如果连续函数 )(xf 为凸函数，必定满足以下定义：对任意的 Ixx 21, 及 1,0 ，恒有： 2121 11 xfxfxxf 。 例：证明连续函数 2)( xxf 是一个凸函数。 分析：因为 2222112212122221122211 )( xqxqxxqqxqxqxqxq ，只要存3 在 1 2 1 2, 0, 1 q q q q就能说明函数 )(xf 是一个凸函数。显然能够找到满足条件的120.4, 0.6qq 性质 7：若 )(xf 在区间 I 上连续，且满足 )(
10、)()( 212 11122 xfxx xxxfxx xxxf 或 0)(1)(1)(12211xfxxfxxfx 其中 Ixx 21, ，则 )(xf 是 I 上的凸函数。 2.2.2凸函数的微积分性质 刘鸿基，张志宏 8指出凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，而关于凸函数，一般教材大都从几何意义方面引出定义，描述为：凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦，总是 位于曲线弧段的下方；或者，当曲线各点处存在切线时，凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。前者往往作为定义使用，后者是凸函数的充分必要条件，也可以作为定义作用。刘鸿基，张志宏 8举证了凸函数的 4个等价性定义，并对凸函数的微积分性
11、质予以讨论，得到两个重要的微积分性质： 1.设 )(xf 在区间 ),( ba 内可导，则 )(xf 在 ),( ba 上是凸函数的充分必要条件是：对任意 点 ),(0 bax ，恒有 )()()( 000 xxxfxfxf 。 2.设 )(xf 是 ba, 上的凸函数，则 )()2()()(2 )()( abbafdxfabbfafba 性质 2分析：因为 )(xf 是闭区间 ba, 上的凸函数，因而是连续的，也是可积的。 当 bbax ,2时， 2, baaxbax， 因此有 bxbaxbaa 2。 根据定义，可得2 )()(2 xfxbafbaf 即 )()(22 xfxbafbaf 。
12、 4 根据定积分性质 dxxfdxxfdxxf bbabaaba 22 )()()( 对于 dxxfbaa 2 )( ， 令 tbax 则 dttbafdttbafdxxf bbababbaa 222 )()()()( 所以2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b ba b a b a ba f x d x f a b t d t f x d x f a b x f x d x 2 2 ( ) ( ) ( )22 bab a b a bf d x f b a 再者，若令 ab xbt ，则 btatx )1( ，于是 0110( ) ( ( 1 ) ) ( ) ( ) (
13、1 ) ) ba f x d x f a t t b a b d t b a f t a t b d t 10( ) ( ) (1 ) ( ) b a tf a t f b d t 11( ) ( ( ) ( ) )22 b a f a f b 综上所述，结论成立。 2.2.3关于凸函数性质的总结 王华 9提出常见的凸函数定义有八个，此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考，来得出有关凸函数的性质。 根据文中所阐述和定义的，归纳出以下性质： 1当 f 在 I 上一阶可导， f 在 I 凸 , 0 Ixx )()()( 000 xfxxxfxf 。由于 )()( 000 xfxxxff
14、是过点 )(,( 00 xfx 的曲线的切线，不等式的几何意义是：上凸曲线总在曲线上任一点的切线之 上。 2 f 在 I 上二阶可导， f 在 I 凸 ,Ix 0)( xf 。 3若 f 在 I 上可导，则下述两个不等式等价（ 1） )()()( 11212 xfxxxfxf ；（ 2） 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 。 4若 f 在 I 凸，则下述两个不等式等价（ 1） Ix 有 0)( xf ；（ 2） Ixx 21, 有2 )()()2( 2121 xfxfxxf 。 5若 f 在 I 凸 ，则（ 1） Ix0 ，有 )( 0xf ， )( 0 xf 都存在，且 )()(
15、 00 xfxf ；5 （ 2） f 在 I 连续。 例：证明上（下）凸函数都是连续的。 针对性质 5 分析： Ix0 ，取 20 xxx ，据定义得式20201010 )()()()( xx xfxfxx xfxf （）又据其几何意义，函数1010 )()()( xx xfxfxF 是单调函数，故当 01 xx 时1010 )()( xx xfxf 单调有 上 界 ； 01 xx 时2020 )()( xx xfxf 单 调 有 下 界 ， 于 是 极 限1010 )()(lim01 xxxfxfxx 及2020 )()(lim02 xxxfxfxx 存在，而这两个极限即 )( 0xf 及
16、)( 0 xf ，故对式（ *）取极限，即可得)()( 00 xfxf 。 同时可知 1 0 2 00 1 0 2l i m ( ) ( ) 0 l i m ( ) ( ) x x x xf x f x f x f x即 )()(lim)(lim00201 xfxfxf xxxx 。故 )( xf 在 I 的内点连续，即 f 在 I 上连续是 f在 I 上 （下）凸的必要条件。 2.3 凸函数的一些应用 2.3.1凸函数的应用概述 凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。利用凸函数的性质证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问
17、题转化为证明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景 ,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。邹自德 10指出：凸函数具有较好的几何和代数性质，由凸 函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。 例：几何平均值不大于算数平均值（利用凸函数导出常用的不等式） 分析：设 0a ， 1a 考虑指数函数 xya ， (0, )x 是凸函数，从而对1 2 1 2, , , (0 , ) , , , , (0 , ) ,nnx x x 12 1, , , ( 0 , 1 ) ,
18、 1 ,nnkk 有 1 1 2 2 1212 n n nx x x xxx na a a a成立。 6 令121 2 1 21 , , , , nxxxnna a a a a an ，则得到 1 121 2 1 2, , , 0 ( ) nnnn a a aa a a a a a n 有。 这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。 梁艳 11指出：凸函数是一类非常重要的函数，在不等式的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的，可以根据凸凹函数的特性，结合典型事例，来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。 例：证明下列不等式： （ 1） 对任意实数 ,ba 有 )(212
19、 baba eee . 分析：（ 1）设 xexf )( ，由于 xexfxf )()( ，而 0)( xexf ，故 xexf )(是 ),( 上的凸函数，由定义可知，有 2 )()()2( bfafbaf ，即 )(212 baba eee . 小结： 在不等式的研究中，凸函数所发挥着很重要的作用，在数学规划中有着广泛的应用背景，我们可以根据凸凹函数的特性，来解决 一系列拥有较大难度的不等式，以及导出一些较难的不等式，如上面所给出的指数不等式，三角函数不等式都能通过凸函数的性质来得到比较直观的证明，可以来导出如 几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式，说明了凸函数在处理一些有较大难
20、度不等式证明中有着较好的应用。 2.3.2凸函数在证明 Jensen不等式时的应用 王秋亮 12讨论了凸函数在证明 Jensen不等式时的应用。不论导出不等式还是证明不等式，利用 Jensen不等式的关键在于选取适当的凸函数，并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。并且应用数学归 纳法在用凸函数来证明 Jensen不等式时，可以得到较好的效果。 定理 1（ Jensen不等式）：若设 )(xf 区间 I 上有定义，则以下两条件等价： 1. 在 I 上 )(xf 为凸函数； 2. 1),2,1(0,1 ni iii nibax ，有 )()(11 ini iiini i xfxxf （
21、 *） 分析： 2 1只要令 2n 即得。 1 2应用数学归纳法。当 2n 时，可得函数为凸函数。设 kn 时命题成立，即7 ),2,1(0, kiabax ii ,11 ki ia有 )()(11 ini iini i xfaxaf ，现设, baxi ，及 ),1,2,1(0 kii ,111 ki i令11 kiia ， ki ,2,1 ，111 ki ia 。由数学归纳法假设可推得 11 1 1111 1 1 1 1( ) ( ( 1 ) )1( 1 ) ( ) ( ) k i i k ki i k k kikk k k k kxxf x f xf a x a x f x1 1 1 1
22、 1( 1 ) ( ) ( ) ( ) k k k k ka f x a f x f x 11 1 1 111( 1 ) ( ) ( ) ( )11 kk k k kkkf x f x f x= )(11 iki i xf . 这就证明了对任何正整数 )2(n ，凸函数 )(xf 总有不等式（ *）成立。 2.3.3凸函数在证明 Hadamard不等式时的应用 郑宁国 13给出了 Hadamard不等式的两种证明方法。讨论了凸函数在证明 Hadamard不等式时的应用。 选取适当的凸函数 来证明 Hadamard不等式，并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。 Hadamard不等式：设 f
23、 是 ba, 上连续的凸函数，则有 ba bfafdxxfabbaf 2 )()()(1)2(. 分析：根据积分区间具有可 加性，有 xdxfdxxfdxxf bbababaa 22 )()()( . 因为 22 )()(baab ba xbafxdxf （其中令 tbax ）， 所以 22( ) ( ) ( ) 2 ( )2 a b a bba a a abf x d x f x f a b x d x f d x)2()( bafab 即有 dxxfabbaf ba )(1)2(。令 )10(,)( ttabbx ， 则 1100( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) (
24、) ba f x d x b a f t a t b d t b a t f a t f b d t8 = 2 )()()( bfafab . 即有 .2 )()()(1 ba bfafdxxfab所以 Hadamard不等式成立。 2.3.4凸函数在分析不等式中的应用 关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究，利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处，现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。李艳梅，李雪梅 14给出了凸函数在分析不等式证明中的应用，利用凸函数的性质及 Jensen不等式，对数学分析中诸多不等式给予证明，从中可举一反三，利用 Jensen不等式的一些
25、特殊情况，可以得到一些常用的分析不等式。 例： Ryxaaaa yxyx ,0,22 . 分析：假设函数 2)( ln,ln)(,)( aafaaxfaxf xxx ， ,Rx 有 0)(ln)( 2 aaxf x ， 由 Jensen不等式取 21,221 qqn有 121 qq 于是 , Ryx 有 221212 yxyxyx aaaaa 小结：此处运用了凸函数的性质及 Jensen不等式，可以很简洁的证得该分析不等式。 解决不等式的证明有着许多方便之处，凸函数适当的应用，使证明过程更加简洁，结论得出更加的方便。 三、总结部分 （将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做
26、出预测） 凸函数具有一些非常优良的性质 ,有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用 15。 凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。 本文首先对凸函数定 义进行介绍，凸函数的等价性质进行了概述；接下来介绍了凸函数的基本性质，然后由此延伸，进一步提出凸函数的应用，主要集中在下面几方面的应用：凸函数在 Hadamard 不等式证明中的应用，凸函数在证明 Jensen 不等式时的应用，凸函数在9 分析不等式中
27、的应用等方面进行了讨论。 四、参考文献 （根据文中参阅和引用的先后次序按序编排） 1 蒲义书、陈露 .凸函数概论 J.高等数学研究 ,2006， 9（ 4）： 34-71. 2 数学分析 M.第三版 .北京 : 高等教育出版社， 2006： 148-154. 3 葛丽萍 . 关 于 凸函数的几个充分必要条件 J.文化教育， 2010， (5)： 193-193. 4 江芹、陈文略 .严格凸函数的判定 J.高等函授学报 ,2006,19(4)： 27-28. 5 林银河 .凸函数的等价描述与 Jensen 不等式 J.丽水师范专科学校学报， 2001， 23（ 2）： 8-11. 6 宋方 .关
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