1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 线性方程组的求解方法及应用 一 前言部分 线性方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。含 m 个方程， n 个未知量的线性方程组的一般形式为： mnmnjmjmmininjijiinnjjbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa22112211111212111jx 表示未知量， ija 称系数项， jb 称常数项。将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解称为系数矩阵，在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值形成了增广矩阵。 而齐次线性方程组的一般形式为 0002211221111212111nmnjmjmmn
2、injijiinnjjxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（ ） 而mnmmnnaaaaaaaaaA 212222111211称之为方程组 （ ） 的系数矩阵。设 Tnx,x,xx 21 是方程组（ ） 的一个解 ,若对所有的 i , ni1 , ix 均非零 ,则 x 称为方程组的一个全非零解。齐次线性方程组 （ ） 有全非零解的一个充分必要条件是 nAR ,且其最简方程组的每个方程中 , nrr x,x,x 21 的系数至少有一个不为零。比如 nn cx,cx,cx 2211 代入所给的线性方程，各式均成立，则称（ nc,c,c 21 ）为一个解。若 nc,c,c 21 不全为
3、 0，则称（ nc,c,c 21 ）为非零解。齐次线性方程组总有零解（ 000 , ）。 线性方程组也可以用矩阵表示 。 nm 型线性方程组可表示为 11 nnnm bXA ，称 nmA1 为线性方程组的系数矩阵； A,b 为线性方程组的增广矩阵；方程组的解是使矩阵等式成立的 n 维向量 X 。在矩阵形式下，对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵 A 和 B是行初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵 P ，使 BPA ，则线性方程组PbBXbAX , 是等价的线性方程组。 线性方程组也可以用向量表示。设矩阵 ijmnAa是线性方程组的系数矩阵，用 iA 记A 的第 i 列，即 niaaaA
4、 Tmiiii ,2,1, 21 则 nm 型线性方程组可表示为 bAxAxAx nn 2211 方程组的解等价于列向量的线性组合；方程组的解就是列向量线性组合的组合系数。同时也可利用该形式 下的系数矩阵和增广矩阵来研究该方程组解的形式。如矩阵的秩 nAR 是n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 bAB , 的秩是 n 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件； nArbAr , 是 n 元非齐次线性方程组唯一解的充分必要条件。 有两个线性方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是： )1( 一个方程组何时有解。 )
5、2( 有解方程 组解的个数。 )3( 对有解方程组求解，并决定解的结构。所给方程组有解，则秩 )(A 秩（增广矩阵）；若秩 )(A 秩=r ，则 nr 时，有唯一解； nr 时，有无穷多解。当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组有非零解是解无穷多的 充要条件，但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，即此时方程组不一定有解。 二 主题部分 线性方程组求解在中国历史久矣。 对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早 1500 年，记载在公元初九章算术方程章中。 现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方
6、法大体相同。本综述主要讨论了解线性方程组的直接法中的 Gauss消元法、以及回代2 法、行初等变换、克莱姆法则、 标准上三角形求解法等。 对于不同类型的问题，线性方程组解法是不同的。同时方程组存在解的个数的问题及线性 方程组是否存在零解，如在实践中遇到的线性方程组，它的方程个数未必等于未知量个数，即使方程个数等于未知量个数，也未必有唯一解，有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 2.1 齐次线性方程求解 2.1.1 用初等行变换求解齐次线性方程 先用初等行变换，再根据判定定理得出是否存在非零解。 例如：讨论线性方程组全非零解的存在性 0Ax 其中 12341 1 5 11
7、0 03 1 5 2 11 1 5 2 1xxaA , xxaxa 从上述所给方程，对 A 作行初等变换得 0000 00001510 0001 a 即可知 43 AR , 03 xA 的最简方程组为 432 41 15 xaxx axx根据判定定理知 ,当 0a 时 ,方程组 03 xA 有全非零解。 对于求解这种非零解存在性的线性方程组，首先要对系数矩阵进行初等行变换，再将它的系数矩阵的秩 r 与阶数 n 比较，如果得到系数 矩阵的秩小于阶数，则观察系数矩阵中是否存在至少为一个以上的不等于零的 r 阶子式，如果存在，即可求得解。 2.2 非齐次线性方程组求解 2.2.1用初等行变换可解出非
8、齐次线性方程组 例：解线性方程组 3 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 45 12 3 33 8 19 3 7 7x x x xx x x xx x x xx x x x 解：由上述所给方程，先对矩阵1TnTA Eb 作初等行变换得 3 27713 47713 4771 1 3 1 1 0 0 0 00 7 7 1 4 5 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 所以方程组 0TXA 的一个基础解系为 0172731 , , 10747132 ,， 。方程组TT bXA 的一个特解为 0074713 , ， ，所以方程组
9、 TT bXA 的 通 解 为2211 cc ，其中 21c,c 为任意常数。 用这种方法求齐次线性方程组的基础解系 ,或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换 ,省掉了写矩阵对应的方程组 ,以及设自由未知量等繁杂过程 ,简单而实用 ,且易于掌握，并且迅速得出方 程解。 2.2.2用高斯消元法解非齐次线性方程组 先对系数矩阵进行消元，再将 A 化为为三角形式，确定 LU 分解，可通过下述两步求解： 第 1步 :前代。方程 bAx 可写为形如 bLUx ，令 Uxy ，可得 bLUxLy 。 因 此 ， 可 以 通 过 求 解 下 三 角 方 程 组 求 得 y ： nnnn byym
10、ymbyym by 22112212111 由第一个方程可得 11 by 。这个值可用于从第二个方程中求解 2y ,和 2y 的值又可用于从第三个方程求解 3y ，依此类推，求得下三角方程组的解。 第 2步：回代。一旦 y 确定。仅需求解上三角方程组 yUx ，就可求解得到方程组的解 x 。例：解方程组 4 1 2 31 2 31 2 32 x 3 x x 44 x x 4 x 93 x 4 x 6 x 0 由上述方程先得到系数矩阵643 414132A 再对系数矩阵进行两步消元得到 2 3 10 5 20 0 4 3.第一步的乘子为 233121 2 m,m ，第二步的乘子为 10132m
11、。令 101200110100110123323121 mmmL及 3400 250132.U一旦 A 化简为三角形式， LU 分解即为确定，方程组 bAx 就可以通过上面两步进行求解得方程组的解为 T,x 132 。 对于此类线性方程，可先对系数矩阵进行消元，再将 A 化为为三角形式，确定 LU 分解，可通过上述两步求解。以前代的方式 求得下三角形方程组解 y ，再将 y 代入 Uxy ，即可得方程组的解。高斯消元简单易懂，解题不再迂回复杂。 2.2.3用回代法求解非齐次线性方程组 有三种运算可得到一个等价的方程组： （ i)交换任意两个方程的顺序。 (ii)任一方程两边同乘一个非零的实数。
12、 (iii)任一方 程的倍数加到另一方程上。 对给定的方程组，可以使用这些运算得到一个容易求解的等价方程组。若 nn 的方程组仅有一个解，则利用上面的运算 (i)和运算 (iii)可得到一个等价的“严格三角形方程组”。（ a）方程组 1: 1 2 32333 2 122 4x x xxxx 为严格三角形，因为第二个方程中的系数分别为 0， 1， -1，且第三个方程的系数分别为 0，5 0， 2，由于该方程为严格三角形的， 因此容易求解。由第三个方程可得 23x ，将其代入第二个方程有 42x ，最终可以得到 31 x 。 因此，方程组的解为 243 , 。 (b)方程组 2： 1 2 3 42
13、 3 43442 3 2 12 3 24 3 34 4x x x xx x xxxx 由上述方程可从第 4个方程得到 4 1x ，将其代入第 3个方程解得 3 0x ，将 4 1x 和 3 0x的值代入到第 2个方程解得 2 1x ，以此类推得到 1 1x 。 因此，方程组的解为 1011 , 。 一般地，给定一个 n 个方程 n 个未知量的线性方程组，可用运算（ i)和 (iii)尽可能将其转化为等价的严格三角形方程组。 任何 nn 的严格三角形方程组均可采用上述相同的方法求解。首先，从第 n 个方程组解的 nx ，将其代入第 1n 个方程解得 1nx ，将 nx 和 1nx 的值代入到第
14、2n 个方程解得 2nx ，以此类推即可得到方程组的解。 2.2.4用克莱姆法则解非 齐次线性方程组 克莱姆法则定义： 含 m 个方程， n 个未知量的线性方程组的一般形式为： mnmnjmjmmininjijiinnjjbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa22112211111212111（ ） 当其系数行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n n na a aa a aDa a a时，有唯一解： 12jj Dx j , , ,nD其中1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 21 1 1j j nj j njn n j n n j n
15、na a b a aa a b a aDa a b a a 6 例如： 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4- 421 00x x x xx x x xx x x xx x x x 由上述给出的方程，首先求得系数行列式得 16 0D ,说明方程组有唯一解，再计算得1 2 3 43 2 4 8 1 6 6 4D , D , D , D 从而得出解 11 2 3 42 3 1 4Dx , x , x , xD 最后可以将上述解带入 原方程验证。 对于此类系数比较简单的线性方程组，采用克莱姆法则解方程极为简便，同时还可以较快得出是否存在解，解是否唯一，并且可以依靠公式 12jj
16、Dx j , , ,nD来求解。避免了高阶求解不容易运算的麻烦。 2.3 齐次线性方程组应用 齐次线性方程可应用于求一些点到面的平面方程。 例：过点 000 z,y,x 且与平面 1 , 2i0 iiii DzCyBxA 垂直的平面方程。 从上 述应用，可以得到所求平面的一般式 000 zzCyyBxxA （ 1） 再由面与面垂直的性质可得方程 00222 111 CCBBAA CCBBAA （ 2） 接着判断 C,B,A 是否全为零，接着判断 (1),(2)构成的方程组是否 有非零解。 显然均满足要求，则对应的矩阵为零，即所求平面方程： 0222111000 CBA CBAzzyyxx齐次线
17、性方程组广泛应用于其他数学运算中，对于求一些涉及非零解存在性的实例，要了解非零解的概念，存在非零解满足的条件，即方程组的系数行列式必须为零。 7 2.4 非齐次线性方程组应用 例：已知向量组 (1) 1 2 3, ；（ 2） 1 2 3 4, , , ；（ 3） 1 2 3 5, , , 。 如果各向量组的秩分别为 : 秩 (1)=秩 (2)=3,秩 (3)=4,证明 :向量组 1 2 3 5 4, , , 的秩为 4。 首先从向量的线性关系可从（ 2）和（ 3）得出两个线性方程组，再由已知的向量组的秩之间的关系，可以得出（ 2）得出的线性方程组有解，（ 3）得出的线性方程组无解。可以判断出所
18、要证明的方程无解。 再根据线性方程组 Ax b 无解的充分必要条件：秩 Ab =秩 1A ， 所以可得出 向量组 1 2 3 5 4, , , 的秩为 4。 此应用涉及了向量组线性相关性的内容，抽象矩阵的秩及较为复杂的线性方程组解的判定。通过此应用，加强了齐次线性方程组无解的判定方面的知识。 三、总结部分 本综述研究的主要内容是线性方程组求解的相关问题，线性方程组是高等代数中的一个十分重要的内容 ,它涉及到矩阵和向量的相关性知识等。因 而在各个领域 ,线性方程组广泛应用于日常生活中 ,本综述详尽提出了一些相关的例题。本综述就线性方程组 直接法中 Gauss消元法、以及回代法、行初等变换、克莱姆
19、法则、 标准上三角形求解法来进行分析、论述。并且一些实际应用比较广泛的重要方法都通过实例给出了详细的说明。 本综述主要介绍了线性方程组求解的一些基本方法和它的一些应用。考虑了 方程组何时有解，有解方程组解的个数，对有解方程组求解，并确定解的结构。齐次线性方程组应用于求点到面的平面方程和向量 组线性相关性 。 四、参考文献 （ 根据文中参阅和引用的先后次序按序编排 ） 1马小霞 .唐军强 .齐次线性方程组存在全非零解的一个判定方法 J.焦作大学学报 ,2009,1:80-81. 2侯秋果 .矩阵初等变换的应用 J.邢台学院初等教育学院 ,2010,11:112-113. 3闫国松 .浅议初等变换
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