1、毕业论文开题报告信息与计算科学线性方程组解法的研究一、选题的意义线性代数是本专科高校中各类专业的一门公共基础课。由于线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域,许多非线性问题在一条件下也可以转化为线性问题来处理，线性代数已成为应用最广泛的大学基础数学课程之一，它的重要性也已经成为我们的共识。通过对线性代数课程的学习，可以提高学生的数学素质和数学能力,特别是培养逻辑推理、归纳判断、科学计算、用数学语言和符号进行表达的能力等，对提高学生的思维能力、开发学生智力等起到重要作用。尤其是现在,随着计算机的逐渐普及，作为一门基础理论课的线性代数,能够很好的帮助学生对计算机知识的理解和学习,提高培养学生综合素质
2、的效率。矩阵被作为许多高等代数教材中研究的重要工具,然而,线性方程组理论同样也是一个比较重要的研究工具。线性方程组是线性代数的主要内容，只要恰当地运用线性方程组理论,我们在研究一些问题时就可以使比较复杂的研究过程简单化。线性方程组与矩阵、向量的内容密切相关,它与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。求解线性方程组是线性代数的核心内容之一,同时也是它的最重要的应用领域之一。线性方程组的求解还能处理许多实际问题，在科学研究与生产实践中，许多问题都可以归结为线性方程组的求解。线性方程组的解法有很多，不同的线性方程组，根据其性质和特征，应当选择适当的解法。所以，寻找最有效最
3、简便的求解方法就显得极其重要。本文首先对线性方程组的定义和基本性质等作了一些简单阐述，然后通过例子介绍了一些方程组的解法和特征，对其加以延伸综合、归纳总结，进一步提高我们线性方程组及其解法的认识，接着介绍了行列式线性方程组及其解法在一些领域中的应用，本文最后做出了简单的总结，使文章更加完整，也更加巩固了我们所学的线性方程组的相关知识，提升了我们对数学的理解和应用能力。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文研究的主要内容及解决的主要问题是线性方程组的多种解法研究及其有关应用。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）研究步骤1确定论文方向为高等代数中线性方程组解法的研究，收集相
4、关资料，完成任务书确定论文的进度安排及一篇外文翻译。2完成论文的开题报告，文献综述，确定论文框架和提纲3充实资料，完成初稿并根据指导老师意见修改论文初稿4根据指导老师的意见，修改论文5论文定稿，打印，送审研究方法及有关措施利用学校图书馆和互联网收集有关线性方程组解法的国内外资料、期刊、学术论文，认真学习相关知识。在此基础上，与指导老师交流、协商，列好提纲。四、毕业论文（设计）提纲1线性方程组的定义及其基本性质11线性方程组的定义12线性方程组的基本性质2线性方程组的一些解法21加减消元法22代入消元法23行初等变换法24基础解系法25填充矩阵法26行列初等变换法27分块矩阵法28CRAMER法
5、则29高斯消去法210直接三角分解法211迭代法3线性方程组求解的应用31处理矩阵问题32在多项式理论中的应用33在线性空间中的应用34在欧氏空间上的应用35线性方程组理论在求解方程上的应用36在几何上的应用37在实际问题中的应用4总结五、参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数M高等教育出版社,20032胡先富非齐次线性方程组通解的一种简便求法J廊坊师范学院学报,2009,90410133李智群关于线性方程组的一般解J科技信信,2007,171591604纪青非齐次线性方程组的分块矩阵解法J赤峰学院学报,2007,230120225张金战求齐次线性方程组基础解系的初等变换法
6、J绵阳师范学院学报,2010,29（5）8106杜小琴齐次线性方程组的解法探讨J塔里木大学学报,2005,17180817施吉林，刘淑珍，陈桂芝。计算机数值方法M高等教育出版社,20098李爱芹线性方程组的迭代解法J科学技术与工程,2007,7（14）335733649王艳天线性方程组解的LU分解法J科技创新导报,2009,0224510陈建莉线性方程组解法新探J纺织高校基础科学学报,2008,21223924111褚丽娜线性方程组同解、公共解的解法J考试周刊,2010,39798012赵春霖一种线性方程组解的存在性判断方法J内蒙古农业大学学报,2009,30126026113钱泽平,孙胜先非
7、齐次线性方程组无解条件的应用J大学数学,2008,24416316414林玮,王晓峰基于非齐次线性方程组的一次性口令认证协议J计算机工程,2010,361315415515买吐地拜尔地利用齐次线性方程组解的性质解决矩阵有关的问题J新疆师范大学学报自然科学版,2010,29416杜祥林,周兴建齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用J重庆三峡学院学报,2008,317余丹齐次线性方程组有非零解充要条件的应用J高校理科研究18余丹,苑静三元线性方程组的几何意义J高校理科研究19王爱青,王廷明线性方程组解空间的进一步性质及应用J大学数学,2008,2449810120徐德余线性方程组理论在高等代数中的
8、应用J绵阳师范学院学报,2008,271151121陈亮,张帆线性方程组理论在初等数学教学中的应用J湖州职业技术学院学报,2007,3828422林大华，戴立辉线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用J赤峰学院学报,2010,2636723李雪贲,王东红用线性方程组的消元法巧解生活中的趣题J科技信息毕业论文文献综述信息与计算科学线性方程组解法的研究线性代数不仅是大学数学专业的一门重要的基础课程，也是本专科高校中各类专业的一门公共基础课，对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。近年来随着科学技术的发展，特别是电子
9、计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一。线性代数的应用已经深入到自然科学、社会科学、工程技术、经济和管理等各个领域。而求解线性方程组是线性代数的核心内容之一，也是它的最重要的应用领域之一。线性方程组理论及其求解无论在工程计算和理论研究中都占有非常重要的地位，许多实际问题最终都可以化为一个线性方程组的求解问题。线性方程组是指由一次方程所组成的方程组，对于它的研究主要是在解法问题上的探究，它有很多非常有效的解法，如高斯消元法、约当消元法、迭代法等，对一些特殊的线性方程组还有更有效的算法。通常情况下，对于二元一次及三元一次方程组，采用的是加减消元法或带入消元法来求解。至于多元线性方程组，大多采
10、用的是高斯消元法、迭代法、主元素消去法等。著名的克莱姆法则一般用在未知数个数和方程个数相等的情况下，用它求解方程组有个缺点，就是计算量比较大。最初的线性方程组来源于生活，产生在实践中，正是一些实际问题刺激了这门学科的诞生和发展。因此，线性方程组和我们的生活息息相关，人们对线性方程组的研究也在不断的深入，线性方程组理论及其解法更是不断的被应用在实际问题中。对于线性方程组的解法，中国古代就有比较完整的论述。在九章算术方程中，描述了相当于现在的高斯消元法，就是利用方程组的增广矩阵实行初等变换从而消去未知量的方法。在印度，于梵藏的著作中最早出现一次方程组。而西方，法国数学家彪特于1559年提出了三元一
11、次方程组的解法，这也是欧洲最早出现的关于三元一次方程组的解法。此后直到17世纪后期，由莱布尼茨开创了对线性方程组的研究，他当时研究的是含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组，而且通过对线性方程组的研究还导致了他发明了行列式。后来，法国数学家培祖利用行列式建立线性方程组的一半理论。在18世纪上半叶，麦克劳林通过对具有二、三、四个未知量的线性方程组的研究，得到了如今的克莱姆法则，这个结果在1748年被收入了他的作品代数论著之中。在1750年，克莱姆发表了更为一般的多个未知量线性方程组的行列式解法的法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖证明了元齐次线性方程组有非零解的条件系数矩阵等于零。在19世纪，
12、方程组理论又取得了重要成果。其中方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念就是那个时候由英国数学家史密斯引进的。还有，英国数学家道奇森证明了N个未知数N个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。随着线性方程组理论的进一步发展和解法的不断进步，它在处理理论或实际问题中的应用也越来越广泛。首先，线性方程组理论对解方程本身也是不可少的，比如利用结论齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，可以求解二元方程组，只需把其中一个变量作为常数，这样就更加简洁方便。矩阵是由线性方程组发展而来的，一般都是用矩阵来讨论线性方程组的有关问题，而事实上矩阵的一些问题用线性方程组来讨论也很容易解决。
13、在高等代数中，除了矩阵，线性方程组理论还在多项式理论、线性空间、欧式空间等方面广泛应用。在解析几何中，线性方程组在平面和空间等都起到了很大的作用，例如平面可以用一个三元一次方程来描述，通过研究方程组的解来确定各平面的位置关系等。随着计算机技术的高速发展，网络中的安全性越来越受人们的关注，所以一系列的口令、协议纷纷出现。而许多一次性口令的用户认证协议和消息认证协议都是基于一类无穷多个解非齐次线性方程组的线性方程组设计而成的。利用线性方程组还可以改进认证协议，克服原协议的安全漏洞，提高安全性。在科技不断进步的同时，线性方程组理论及其解法在科学发展的各个领域中的应用也不断深入，它发挥着越来越重要的作
14、用。既然说线性方程组源于生活，那它在生活中一定有着多种多样的应用。日常生活中，不管是哪个方面总会多多少少接触到数学问题，而用线性方程组来解决这些问题是最常见的方法之一。最普遍的买东西问题，例如给你一定数额的钱（100元），买苹果（10元每个）、桃子（05元每个）、桔子（03元每个）和西瓜（3。0元每个），总个数要达到两百个，而且把钱用完，这时利用线性方程组就可以轻松算出各种水果要买的数量，问题就可以迎刃而解了。线性方程组还可以用来解决类似上述买东西问题的生活中其它方面的趣题，巧妙的解法让我们处理问题更加方便。通过对线性方程组理论及其解法的深入了解和探究，它在我们生活中各个领域的重要性逐渐的显露
15、了出来。如今，线性方程组理论正在逐步完善，各种解法不断的被探索出来并一步步改进。经过对线性方程组的学习和探索，我相信更多更重要的应用将会被挖掘出来。随着时间的推移，在线性方程组身上一定会有更奇妙的发现。参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数M高等教育出版社,20032胡先富非齐次线性方程组通解的一种简便求法J廊坊师范学院学报,2009,90410133李智群关于线性方程组的一般解J科技信信,2007,171591604纪青非齐次线性方程组的分块矩阵解法J赤峰学院学报,2007,230120225张金战求齐次线性方程组基础解系的初等变换法J绵阳师范学院学报,2010,29（5
16、）8106杜小琴齐次线性方程组的解法探讨J塔里木大学学报,2005,17180817施吉林，刘淑珍，陈桂芝。计算机数值方法M高等教育出版社,20098李爱芹线性方程组的迭代解法J科学技术与工程,2007,7（14）335733649王艳天线性方程组解的LU分解法J科技创新导报,2009,0224510陈建莉线性方程组解法新探J纺织高校基础科学学报,2008,21223924111褚丽娜线性方程组同解、公共解的解法J考试周刊,2010,39798012赵春霖一种线性方程组解的存在性判断方法J内蒙古农业大学学报,2009,30126026113钱泽平,孙胜先非齐次线性方程组无解条件的应用J大学数学
17、,2008,24416316414林玮,王晓峰基于非齐次线性方程组的一次性口令认证协议J计算机工程,2010,361315415515买吐地拜尔地利用齐次线性方程组解的性质解决矩阵有关的问题J新疆师范大学学报自然科学版,2010,29416杜祥林,周兴建齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用J重庆三峡学院学报,2008,317余丹齐次线性方程组有非零解充要条件的应用J高校理科研究18余丹,苑静三元线性方程组的几何意义J高校理科研究19王爱青,王廷明线性方程组解空间的进一步性质及应用J大学数学,2008,2449810120徐德余线性方程组理论在高等代数中的应用J绵阳师范学院学报,2008,27
18、1151121陈亮,张帆线性方程组理论在初等数学教学中的应用J湖州职业技术学院学报,2007,3828422林大华，戴立辉线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用J赤峰学院学报,2010,2636723李雪贲,王东红用线性方程组的消元法巧解生活中的趣题J科技信息（20_届）本科毕业设计信息与计算科学线性方程组解法的研究正文目录摘要和关键字21线性方程组的定义及其基本性质211线性方程组的定义212线性方程组的基本性质32线性方程组的一些解法421加减消元法法422代入消元法423行初等变换法524基础解系法625填充矩阵法法726行列初等变换法827分块矩阵法928克拉默法则1129高斯消去法142
19、10直接三角分解法15211迭代法173线性方程组求解的应用1931处理矩阵问题1932在多项式理论中的应用2033在线性空间中的应用2134在欧氏空间上的应用2235线性方程组在求解方程上的应用2336在几何上的应用2337在实际问题中的应用254总结26谢辞26参考文献26摘要和关键字的英文27线性方程组解法的研究摘要；本文先简单的介绍了线性方程组的定义及其基本性质，为下面方程组的求解打下基础，然后通过一些例子归纳总结出求解的多种方法，深入了解各种解法及其特点，最后简单地列举了线性方程组理论及其解法在许多实际问题中的应用。关键字；线性方程组、解法、特点、应用1线性方程组的定义及其基本性质1
20、1线性方程组的定义1线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，有N个未知量的线性方程组称N元线性方程组。一般的线性方程组有如下形式,222112222212111212111SNNSSNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA（1）上式中NXXXX,321代表N个未知量，S是方程的个数，,2,1,2,1NJSIAIJ称为方程组的系数，,2,1SJBJ称为常数项。系数IJA的第一个指标I表示它在第I个方程，第二个指标J表示它是JX的系数。方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等。当常数项,2,1SJBJ不全为0时，线性方程组（1）称为非齐次线性方程组当常数项,2,1SJBJ全为0
21、时，线性方程组（1）称为齐次线性方程组，可以表示为0,0,02221122221211212111NNSSNNNNXAXAXAXAXAXAXAXAXA（2）线性方程组（1）的一个解是指由N个数NKKK,21组成的有序数组,21NKKK,当NXXXX,321分别用NKKK,21代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。方程组（1）的解的全体为它的解集合。解方程组实际上就是找出它的全部解，或者说，求出它的解集合。如果两个方程组有相同的解集合，称它们为同解的。12线性方程组的基本性质线性方程组可以用矩阵表示，也就是说，知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，这个线性方程组就基本上确定了。例如，线性方程组
22、（1）可以用下面的矩阵表示SSNSSNNBAAABAAABAAA21222221111211（3）上面的矩阵（3）称为线性方程组（1）的增广矩阵，另外，线性方程组（1）的系数矩阵为SNSSNNAAAAAAAAA212222111211线性方程组有解的充分必要条件是，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等。当系数矩阵的秩NR时，方程组（1）有唯一的解；当NR时，线性方程组（1）有无穷多个解。齐次线性方程组的基本性质有1齐次线性方程组的两个解的和仍然是齐次线性方程组的一个解齐次线性方程组解的K倍仍然是齐次线性方程组的解齐次线性方程组的系数矩阵的秩NR时，方程组有唯一零解；NR时，方程组有无穷多个解N元齐次
23、线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是其对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应的齐次线性方程组有非零解。但反之，对应的齐次线性方程组只有零解和非零解时，原方程组不一定有唯一解或无穷多个解。2线性方程组的一些解法21加减消元法求解一些简单的二元一次或三元一次线性方程组时，一般采用加减消元法。它的原理是利用等式的性质把方程组中各个方程中的同一个未知数前的系数的绝对值化成相同，然后把方程相加或相减，以消去这个未知数，使得方程最后只含有一个未知数而得以求解。例1求解线性方程组322221321321321XXXXXXXXX解由方程22
24、321XXX减去1321XXX得12X；同理由322321XXX减去22321XXX可得13X；把方程1321XXX左右两边都乘以2，然后再减去方程322321XXX，就可得11X。这样就求的方程组的解111321XXX。以上介绍的是最简单的加减消元法，用于解决简单的方程组，后文还会继续介绍像高斯消元法等更加复杂的加减消元法。22代入消元法代入消元法和加减消元法一样，都是刚开始学习线性方程组时最常用的方法，简单易懂，通常用于解一些简单的方程组。代入消元法是将一个方程里的其中一个未知数用另外的未知数的代数式表示，并且代入到另外的方程中去，这样就消去了一个未知数，随着未知数的不断消去，最后取得方程
25、的解。它的一般步骤是1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，把其中一个未知数用含另外一些未知数的式子表示出来；2、把1中所得的方程代入另一个方程，达到消去一个未知数的效果；3、重复上面的步骤，最后求得一个未知数的量；4、把求得的未知数的量代入原方程组中，从而求出另外的未知数的值，进而确定方程组的解。接下来用以下例子来进一步了解代入消元法的步骤例2以例1为例。解把方程22321XXX中的1X用2X、3X表示，得32122XXX；然后把32122XXX代入方程1321XXX中，即,1223232XXXX得12X；再把32122XXX、12X代入方程322321XXX中，就可求得13X；最后把12
26、X，13X代入方程1321XXX求出11X，所以方程组的解为111321XXX。这种方法比较适合简单的线性方程组，对于一些复杂的多元方程组，用这种方法计算量大、容易出错。23行初等变换法行初等变换法是求解线性方程组一般解的基本方法，要求出方程组的基础解系和一个特解。设一般线性方程组为BAX,其中MNIJAA为方程组的系数矩阵。对矩阵进行初等变换的方法一般有三种对换矩阵的任意两行用一个非零的数K乘以矩阵的某一行用数K乘以矩阵的某一行后加到另一行。例3求解线性方程组2212421254321543215421XXXXXXXXXXXXXX。解对曾广矩阵进行行初等变换12410002401011200
27、1212111124112112011BA，53AR，所以方程组有无穷多个解，令,2514CXCX得0010110221014422154321CCXXXXX，RCC21,。例4求齐次线性方程组032030432143214321XXXXXXXXXXXX。解对系数矩阵进行初等变换000021001011321131111111A，由42NAR知线性方程组有无穷多个解，同解方程组化解后得434212XXXXX，令2412,TXTX得RTTTTX2121,12010011。24基础解系法基础解系法与行初等变换法类似，但是相对于前者来说，大大减少了计算量。一般情况下，线性方程组BAX的一般解可以用其
28、基础解系直接表示。定理3设1321,RN是BAX的任一组基础解系，秩RA，则BAX的一般解可表示为112211RNRNKKK，其中IK为任意常数1,1RNI，且111RNIIK。基础解系法的一般步骤将方程组BAX的增广矩阵进行行初等变换化成最简形矩阵求出方程组BAX的基础解系最后由基础解系求出方程组的一般解。例5求线性方程组189534312432143214321XXXXXXXXXXXX。解方程组的增广矩阵189513411311211BA,对其作行初等变换得最简形矩阵0000004747101434101C。C对应的方程组为0474714341432431XXXXXX（43,XX为自由未知
29、量）令0,143XX有解0,1,47,451，令1,043XX有解1,0,47,472，0,0,0,13。所求方程组的一般解为332211KKK，其中IK为任意常数3,2,1I，且131IIK。25填充矩阵法填充矩阵法的第一步和基础解系法一样，都是将原方程组的增广矩阵进行行初等变换，求出最简形矩阵；第二步是写出最简形矩阵的单位填充矩阵，而填充矩阵的所有“J列向量”是原方程组的导出齐次线性方程组的一个基础解系，它的最后一个列向量是原方程组的一个特解；最后根据导出齐次线性方程组的基础解系和特解写出原方程组的一般解。例6以例4为例。解由例4可知最简形矩阵0000004747101434101C接下来
30、写出C的45的单位填充矩阵010000010004747101434101C，所以原方程组的导出齐次线性方程组的基础解系为1,0,47,43,0,1,47,4121，方程组的一个特解为0,0,0,1，原方程组的一般解为2211KK（21,KK是任意常数）。26行列初等变换法3行列初等变换得步骤方法如下将原方程组的增广矩阵进行行初等变换得到最简形矩阵C对最简形矩阵C进行列初等变换把变换后的矩阵分块得1,RMRNRMRRMRNRROOOBDE把对C进行的列初等变换，同时对RNRNRNROEBD,进行相应的行初等变换，最后的到一个矩阵VUU中的列向量就是原方程组导出的齐次线性方程组的一个基础解系，V
31、的列向量就是方程组的一个特解。同样，以例4为例。由于0000004747101434101C，用不着对它进行列初等变换，直接分块，所以矩阵RNRNRNROEBD,0100010474714341，同样对它不需要进行相应的行初等变化。原方程组的导出齐次线性方程组的一个基础解系为1,0,47,43,0,1,47,4121，原方程组的一个特解为0,0,0,1。原方程组的一般解为2211KK（21,KK是任意常数）例73求线性方程组2132130432143214321XXXXXXXXXXXX。解把原方程组的增广矩阵2132111311101111BA进行行初等变换得00000212100211011
32、C交换第二、三列000002120102111011,RMRNRMRRMRNRROOOBDERNRNRNROEBD,01000121202111交换第二、三行01021200012111原方程组的导出齐次线性方程组的一个基础解系为1,2,0,1,0,0,1,121，原方程组的一个特解为0,21,0,21，原方程组的一般解为2211KK（21,KK是任意常数）。27分块矩阵法求解一些非齐次线性方程组，可以把问题转化为解决矩阵方程BAX的问题，若方程组为MNMNMMNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111，则MNMMNNAAAAAAAAAA2122
33、22111211，NXXXX21，MBBBB21。我们将从MN、MN等不同情形来讨论原方程组解的问题。当NM时，对A进行分块，得22211211AAAAA，同时对BX,进行相应的分块，即21XXX，21BBB。此时原矩阵方程可以写为22211211AAAA21XX21BB，接下来再判断A是否为零。当MN且0A时，原方程组有唯一解；当MN且0A，或MN时，有若ARABR,原方程组有无穷多个解，若ARABR，则原方程组无解。定理14当MN且0A时，原方程组有唯一解，为1111212111112121121111BAABMBAABMABAX,其中121112122AAAAM。定理24若NRARABR
34、，则BAX有解，并且它的解可以表示为2P，其中P是方程组BAX的导出方程0AX的基础解阵，2为任意（NR）1实矩阵，而是BAX的一个特解。例84求解方程组3322224343235243214225432154321543215432154321XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX。解将方程组写成矩阵方程的形式，并进行分块，有22211211AAAA21XX21BB，其中11331222111A,12241412A,11143421A,322222A,3511B,322B。21212110721101152051111A,56273121112122AAAAM,521526552
35、352631M。所以31111121212BAABMX,022111121211211111BAABMABAX，即原方程组有唯一解3,1,0,2,254321XXXXX。28CRAMER法则克莱姆法则是线性代数中求解线性方程组的一个定理，它使用于方程的个数和未知量的个数相等的情形。，是瑞士数学家克莱姆于1750年在他的线性代数分析导言中发表的。定理11（克莱姆法则）如果线性方程组NNNNNNNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111,的系数矩阵NNNNNNAAAAAAAAAA212222111211的行列式0AD，那么线性方程组（4）有解，并且解
36、是唯一的，解可以通过系数表示为DDXDDXDDXNN,2211，其中JD是把矩阵A中第J列换成方程组的常数项NBBB,21所成的矩阵的行列式，即,2,1,1,1,121,221,22111,111,111NJAABAAAABAAAABAADNNJNNJNNNJJNJJJ。定理21如果齐次线性方程组0,0,0221122221211212111NNNNNNNNNXAXAXAXAXAXAXAXAXA的系数矩阵的行列式0AD，那么它只有零解。换句话说，如果原方程组有非零解，那么必有0A。例9用克莱姆法则求解方程组4535225323221321XXXXXXX。解方程组的系数行列式0205300215
37、32D，所以原方程可以用克莱姆法则求解。由于205340255321D，605400515222D，204305212323D，所以方程组的解为1,3,1332211DDXDDXDDX。例10解方程组0674,522,963,85243214324214321XXXXXXXXXXXXXX。解方程组的系数行列式,0276741212060311512D所以可以用克莱姆法则求解，方程组有唯一解。由于,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D所以方程组的唯一解为1,1,4,
38、34321XXXX。克莱姆法则指使用于方程个数和未知数个数相等且系数矩阵的行列式不等于0的方程组，它的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，不过计算量比较大，因为它要解一个N个未知量N个方程的线性方程组就要计算1N个N级行列式。29高斯消去法高斯消去法，又称高斯消元法，它是求解线性方程组的一种重要方法，实际上也是我们俗称的加减消元法。设有线性方程组BAX，其中NNNNNNAAAAAAAAAA212222111211，NXXXX21，NBBBB21。根据克莱姆法则可知，当0A时，方程组BAX的解存在且唯一。对增广矩阵11,BABA实行行初等变换，化1A为上三角形矩阵NA，同时化1B为NB，这时
39、与增广矩阵,NNBA相应的线性方程组为上三角形方程组NNBXA，其中,22222221111112111NNNNNNNNNBABAABAAABA2222211112111NNNNNNAAAAAAA，2211NNNBBBB，设,2,10NIAIII则原方程组的解为1,2,2,1,1NNIABXAXABXIIIIINIJJIIJINNNNNN实现上述求解过程的方法就成为高斯消去法。210直接三角分解法直接三角分解法是高斯消去法的变形，它的基本方法有DOOLITTLE法和CROUT法，都包括分解系数矩阵和求解两个三角形方程组的过程。如果方程组BAX的系数矩阵可分解为两个形式简单的三角形矩阵L和U的乘
40、积，即LUA，若L为下三角形矩阵，则U为上三角形矩阵，反之亦然。所以，求解方程组BAX的问题可转化为解三角形方程组YUXBLY。设矩阵NNIJAA的各阶顺序主子式均不为零，A有分解式LUUUUUUULLLAAAAAAAAANNNNNNNNNNNN222112112121212222111211111。（1）对比等式左右两边的第R行主对角元右边（含主对角元）的对应元素，得,2,1,1NRNRIULARKKIRKRI（2）再对比等式两边第R列主对角元以下（不含主对角元）的对应元素，得1,2,1,11NRNRIULARKKRIKIR（3）所以，当1R时，,3,2,2,1111111NIUALNIAU
41、IIII（4）假设已经求出U的第1至1R行，L的第1至1R列，则由（2）和（3）分别求出U的第R行、L的第R列元素的计算公式为,2,11NRNRIULAURKKIRKRIRI（5）1,2,111NRNRIUULALRRRKKRIKIRIR（6）由（4）（5）（6）式所表示的矩阵分解称为DOOLITTLE分解，也称LU分解。DOOLITTLE分解对应的求解方程组的公式为,2,1111NRYLBYBYRIIRIRR（7）1,1,1NRUXUYXUYXRRNRIIRIRRNNNN（8）如果在（1）式中，设U为单位上三角形矩阵，L为下三角形矩阵，和DOOLITTLE分解的方法相似，也可以推导出计算L和U的计算公式,2,11NRNRIULALRKKRIKIRIR（9）1,2,111
