1、线性代数,从连续数学到离散数学的开始。,1.1 二阶与三阶行列式,二阶行列式,三阶行列式,小结 思考题,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数组成的符号,定义1,记为,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意： 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义2,称符号,为三阶行列式，它有3行3列，是6项的代数和.,法(1),三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意： 红线上三元
2、素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明： 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,故所求多项式为,1.2 排列,概念,有关排列定理,小结,一、概念,例：,排列123 132 213 231 312 321 3!=6,3
3、 2 5 1 4,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,如，在4级排列3412中，N(3412)=4,排列3412为偶排列,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2(我们常用),例2 求排列32514的逆序数.,解,在排
4、列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,二、有关排列的定理,定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变。,定理2 在所有的 级排列中 ，奇排列与偶排列的个数相等，各为 个。,定理3 任意 级排列 ，都
5、可以通过一系列的对换与 级自然序排列互变，且对换的次数与这个 级排列有相同的奇偶性。,2 定理,1 排列、逆序、逆序数、奇偶排列、对换,三、小结,1.3 阶行列式,概念的引入,小结 思考题,阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、 阶行列式的定义,定义1,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项
6、的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有
7、 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,1.4 行列式的性质,行列式的性质,应用举例,小结 思考题,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2 交换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）
8、对应元素相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,推论 行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零.,性质3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质4如果行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3,证明,证明,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行
9、成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,思考题,思考题解答,解,1.5 行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,行列式按行（列）展开法则,小结 思考题,例如,一、余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,叫做元素 的代数余子式,例如,定义1,定理1 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,定理2 行列
10、式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,用加边法解,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,1.6 克拉默法则,克拉默法则,重要定理,小结 思考题,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,一、克拉默法则,定理1 如果线性方程组,的系数行列式不等于零，
11、即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定理2如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解.,二、重要定理,有非零解.,系数行列式,例1 用克拉默法则解方程组,解,例2 用克拉默法则解方程组,解,解,齐
12、次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数；,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?,思考题解答,不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.,1.7 数域,数域定义,数域,定义：如果数集 满足：,(2)数集P对于数的四则运算是封闭的，即 P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）任然在P中，则称数集P是一个数域。,有理数域Q,复
13、数域C,实数域R,2.1 消元法,消元法,矩阵及其初等变换,小结,矩阵及其初等变换,定义1 由数域P中 个数 排成 的长方形表,称为数域P上的一个 矩阵 , 称为矩阵元素。这个矩阵称线性方程组（1）的系数矩阵,线性方程组（1）的增广矩阵,例: 解线性方程组,解：,一、消元法,应用消元法化简线性方程组，实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，是由以下三种基本的变换所构成：,交换方程组中某两个方程；用一个非零数乘一个方程；用一个数乘某个一个方程组加到另一个方程上；,以上三种变换称为线性方程组的初等变换。,注 用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复的进行初等变换的过程。,用消元法解线性
14、方程组就是对方程组反复的施行初等变换，反映在矩阵上就是：,交换矩阵的某两行的位置；用一个非零的数去乘矩阵的某一行；用一个数去乘某一行后加到另一行上。,这三种变换称为矩阵的初等行变换。类似地，也有矩阵的初等列变换。,注 利用方程组的初等行变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵。,行阶梯形矩阵：,行阶梯形矩阵的特点是：,1） 矩阵的所有元素全为0的行（如果存在的话）都集中在矩阵的最下面； 2）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元素全为0.,形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方元素全为0；每个阶梯仅有一行，
15、阶梯数既是非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元.,例1 求解线性方程组,解 对它的增广矩阵作初等行变换,最后一个矩阵就是一个阶梯形矩阵。对这个阶梯形矩阵，还可进一步化简。把第二行乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得,它所表示的方程组为,这样，就得到方程组的一般解：,特别注意P42定理2.1,定理2.1 对齐次线性方程组，当方程的个数小于未知量的个数时，一定有非零解。,小结,1、方程组的初等变换；2、矩阵的初等变换；3、用矩阵的初等变换（消元法）解方程组。,2.2 维向量空间,小结,向量空间,维向量的概念,维向量的运算,分量全为实 (复)数的向量
16、称为实(复)向量，,一、 维向量的概念,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列,矩阵，通常用等表示，如：,二、 维向量的运算,的对应分量相等，即 则称,的对应分量之和构成的向量，称为向量,的和，记为 即,构成的向量，称为数 与向量 的数量乘积，,记为,向量的运算满足下列八条运算规律：,叫做 维向量空间,时， 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,义在这个集合上的加法数量乘法两种运算，称为数,1,非齐次线性方程组,其向量方程为,向量的运算；, 向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；,四、小
17、结, 维向量的概念，实向量、复向量；,2.3 向量间的线性关系,线性组合,向量间相关性的概念,小结,向量间相关性的判定,1,非齐次线性方程组,其矩阵方程为,Ax = b . (2),其向量方程为,x11+ x22+ xnn=b. (3),一、线性组合,注1、零向量是任意向量组的线性组合；,注2、向量 中任一个向量都可由该向量组线性表示；,注3、任一个向量都可由基本单位向量组线性表示；,注4、线性表示具有传递性；,注5、线性表示方法不唯一；,定义 对于 中的向量 ，如果存在,一组数使得 成立则称向量,是向量组 的线性组合，或称为 可,线性表出。,定理 设有向量组,那么 可由 线性表出的充分必要条
18、件是线性方程组有解。,例1：,1,证明: 非齐次线性方程组,其向量方程为,二、线性相关性的概念,注意,定义2 对于向量组 如果存在不全为零,的数,则称向量组线性相关.,定义3 一个向量组不线性相关就称为线性无关,也就是当且仅当,三、线性相关性的判定理,定理2 r 个n 维向量组,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。,证明：线性相关的充分必要条件是,有不全为0的数使,推论2 当mn时，即n 个n 维向量,线性无关的充分条件是行列式,的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解。,即 齐次线性方程组只有零解.,推论3 mn 时,任意m 个n 维向量都线性相关，即当,向量组中所含个数大于维数时
19、，此向量组线性相关。,例,3个2维向量线性相关,推论3等价于42页定理2.1: 方程的个数小于未知量的个数,方程组一定有非零解.,定理3 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,推论 向量组 （当 时）线性无关的充分必要条件是 中每一个向量不可由其余 个向量线性表示,定理4,定理5 若向量组中有一部分（称为部分组）线性相关，
20、则整个向量组线性相关。,推论 若向量组线性无关，则它的任意一个部分组线性无关。,定理6 课本p57 th 2.7,如果 维向量组 线性无关，则每个向量上添加 个分量，所得到的 维向量组 也线性无关。 下面我们证明.,推论 如果 维向量组 线性相关，则每个向量上去掉 个分量，所得到的 维向量组 也线性相关。,线性无关,仍线性无关,例2,例3,线性相关,也线性相关,四、小结,. 线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；（重点）,. 线性相关与线性无关的判定方法：六个定理即推论（难点）,习题 判断下列向量组的线性相关性.,1) 1 = ( 1, 1, 1)T, 2 = ( 0, 2
21、, 5 )T, 3= ( 1, 3, 6 )T；,2) 1 = ( 1, 0, 0, )T, 2 = ( 1, 2, 1 )T, 3 =( 1, 0, 1)T.,解 1）设有 x1, x2, x3 使,x11 + x22 + x33 = 0. （1）,即,( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 )，,亦即,由于,所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立.故向量组1, 2, 3是线性相关的.,2）设有x1, x2, x3 使,x11 + x22 + x33 = 0. （2）,即,由于,所以，方程组仅有零
22、解.即只有当 x1, x2, x3 全为零时（2）成立.故向量组 1, 2, 3是线性无关的.,4) 向量组线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一个向量能由其余的m-1个向量线性表示.,2.4 向量组的秩,向量组的极大无关组,向量组的秩,小结,定义,一、向量组的极大无关组,其中条件（2）可以换为:上面的向量组加上任何一个不在此向量组中的任何一个向量, 得到的r+1个向量都线性相关。,求向量组的极大无关组。,P54推论3 mn时，任意m个n维向量都线性相关，即,向量组中所含向量个数大于维数时，向量组线性相关。,定义2 若两个向量组 和,可以相互线性表出，则称两个向量组等价,推论1 如果向量组
23、 线性无关， 可由向量组 线性表出，则,证明：反证法，有定理1，立刻得出。,推论2 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。,证明：由推论1得出。,性质1 向量组 与它的极大无关组 等价。,推论 向量组的任意两个极大无关组等价。,性质2 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同。,证明：因为他们可以相互线性表出。,证明：因为他们都与原向量组等价。,证明：由上面的推论，这两个极大无关组等价。,再由推论1得出。,二、向量组的秩,定理2 向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩,定理3 相互等价的向量组的秩相等。,（反之不成立）,定理4 如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可,定义3 向量
24、组的极大无关组所含向量的个数，称为,该向量组的秩，记作,等于它所含向量的个数。,由另一个向量组线性表示，则这两个向量组等价。,极大无关组的定义；线性关系的判定定理；极大无关组的性质；, 向量组的秩；三个判定定理。,四、小结,2.5 矩阵的秩,矩阵的秩,矩阵秩的计算,小结 思考题,向量组的秩和极大无关组的求法,一、矩阵的秩,定义1,定义2 设 是一个 矩阵，在 中任取 行 列,位于这 行 列交叉处的元素组成的 阶行列式，,矩阵 的 阶子式。,定义3 设 为 阵， 中不为0的子式的最高阶数,例1,解:,例2,解,例3,解,计算A的3阶子式，,问题：经过变换矩阵的秩变吗？,二、矩阵秩的计算,初等变换
25、求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.,例5,解,分析：,三、向量组的秩和极大无关组的求法,例6,事实上,四、小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 矩阵秩的计算,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,思考题,思考题解答,答,相等.,即,由此可知,2.6 线性方程组解的判定,线性方程组有解的判定条件,线性方程组的解法,小结 思考题,设齐次线性方程组,
26、令,4、线性方程组的解,3,则(1)可以写成,(1),Ax=0.,若将矩阵A按列分块为A(1,2,n),则(1)式又可写成,x11+x22+xnn=0. (3),(2),1,非齐次线性方程组,其矩阵方程为,Ax = b . (2),其向量方程为,x11+ x22+ xnn=b. (3),证,必要性,则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,一、线性方程组有解的判定条件,充分性.,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,即可得方程组的一个解,证毕,其余 个作为自由未知量,证,必要性.,从而,这与原方程组有非零解相矛盾，,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,二
27、、线性方程组的解法,例1 求解齐次线性方程组,解,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,思考题,思考题解答,解,2.7 线性方程组解的结构,齐次线性方程组解的结构,小结 思考题,非齐次线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,解向量的概念,设有齐次
28、线性方程组,（1）,写成行向量的形式 称为方程组的解向量。,性质1 如果 是方程组（1）的两个解，则也是方程组（1）的解。,性质2 如果 方程组（1）的解，则 也是方程组（1）的解。,性质3 如果 都是方程组（1）的解，则其线性组合 也是方程组（1）的解，其中 为任意数。,定义1,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则其通解为,定理1 齐次线性方
29、程组 有非零解，则,它一定有基础解系，并且基础解系含有 个,解向量，其中 是未知量的个数， 是系数矩阵,的秩。,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行阶梯型矩阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,设非齐次线性方程组,当其常数项全为零时，得到齐次线性方程组，为原方程组的导出组,二、非齐次线性方程组解的结构,证明,性质4,证明,性质5 非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解的和是非齐次线性方程组的一个解。,其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意
30、一个特解.,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,定理2 设 是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是导出组的全部解，则 是非齐次线性方程组的全部解。,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克拉默法则,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,（2）利用初等变换,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依
31、次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,三、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系., 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,例,证,3.1 矩阵的概念 3.2 矩阵的运算 3.3 可逆矩阵 3.4 矩阵的分块 3.5 初等矩阵 3.6 几种常用的特殊矩阵,第三章 矩阵,矩阵的概念的引入 矩阵的定义 几种可逆矩阵 小结 思考题,3.1 矩阵的概念,1. 线性方程组,的解取
32、决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,对线性方程组的,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,研究可转化为对,这张表的研究.,二、矩阵的定义,称为 矩阵.,简记为,元素是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,几种特殊矩阵,阶方阵.也可记作,例如,是一个 实矩阵,例如,是一个3 阶方阵.,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,记作,称为对角,矩阵(或对角阵）.,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,例如,例如,为同型矩阵.,
33、对应元素相等,即,1.两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为,同型矩阵.,例2 设,解,三、小结,(1)矩阵的概念,(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,思考题,矩阵与行列式有何区别?,思考题解答,矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个,算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而,矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.,3.2 矩阵的运算,矩阵的加法矩阵的数量乘法矩阵的乘法矩阵的转置矩阵的其它运算小结 思考题,、定义,一、矩阵的加法,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进,行加法运算.,例如,2、矩阵加法的运算规律,二、矩阵数量乘法,1、定义,2、矩
34、阵数乘的运算规律,（设 为 矩阵, 为数）,矩阵的加法与数乘运算合起来,统称为矩阵的,线性运算.,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵的乘法,注意:,2) 乘积矩阵的行数列数:,1) 矩阵乘积条件: 左乘矩阵的列数等于右乘矩阵的行数;,例,设,例2,解,故,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵,例如,不存在.,的行数时，两个矩阵才能相乘.,注意,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,并且,为正整数.,但也有例外, 如,例,解:,注意: 本例 说明:,注意: 矩阵乘法一般不满足交换律, 即,例3 计算下列乘积：,解,其中,解,= (,）,例4,解,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,
35、假设 时成立，则 时，,对任意的 有,矩阵的二项式展开定理,另解,则,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,2、转置矩阵的运算性质,例5 已知,解,2、方阵的行列式,矩阵行列式的运算性质,例,定义,3、对称矩阵,定义 设,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,与反对称矩阵之和.,设矩阵,则,设矩阵,则,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵,方阵的行列式,共轭矩阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算
36、不同.,法运算.,行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不,满足交换律.,注意,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,3.3 可逆矩阵,概念的引入逆矩阵的概念及求法小结 思考题,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,的1，,那么，对于矩阵 ，,使得,如果存在一个矩阵 B,B,二、逆矩阵的概念及求法,例 设,定义,使得,的逆矩阵记为,说明: 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,逆矩阵的运算性质,证
37、明,证明,证明,证明,因此,例,证:,解利用待定系数法,设 是 的逆矩阵,则,所以,又,定义,所构成的如下矩阵,称为矩阵,的伴随矩阵.,证明,若 可逆，,故,所以,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,由此可得,为非奇异矩阵.,证明,证毕.,于是,推论: n阶矩阵A可逆的充分必要条件是:,1.2. r(A)=n, 3. A的行(列)向量组线性无关 (或者说其秩为n),例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,存在.,故,例2,解,同理可求得,例3 设,解,于是,证明,解,方程两端左乘矩阵,得到,方程两端右乘矩阵,得,解,例7,解,由伴随矩阵法得,四、小结,1 逆矩
38、阵的概念及运算性质.,3 逆矩阵的计算方法：,初等变换法（下章介绍）.,利用公式,待定系数法；,思考题,思考题解答,答,3.4 矩阵的分块,矩阵的分块分块矩阵的运算规则小结 思考题,一、矩阵的分块,经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运,算. 具体做法是：,形式上的矩阵称为分块矩阵.,阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的,例,二、分块矩阵的运算规则,采用相同的分块法，有：,例,的行数，那么,线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，,分块对角矩阵的行列式具有下述性质: P28 例 23的推广,且非零子块都是方阵.即,对角矩阵.,例1 设,解,则,又,于是,例2,其中,其中,例3 设,解
39、,例,解答 待定系数法,证,例,例,三、小结,最重要的计算技巧与方法.,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间的运算：,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似.,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,的行的划分相一致.,(4) 转置,(5) 分块对角阵的行列式与逆阵,3.5 初等矩阵,初等矩阵的概念初等矩阵的应用小结 思考题,三种初等变换对应着三种初等方阵：,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用,一、初等矩阵的概念,广泛.,定义,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的,方阵称为初等矩阵.,1.对调两行或两列；,2.以数 乘某行或某列；,3.以数乘某行 （列）加到另一行（
40、列）上去.,矩阵,二、初等矩阵的应用,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理2,任意矩阵 经过有限次初等变换, 可化为,称 D 为等价标准形。,推论,定理,证:,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求,矩阵,例,解,其中,即可求得,解,例3,三、小结,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,部分即为,（1）构造矩阵,思考题,方阵的乘积.,思考题解答,解,可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.,而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,由初等方阵的性质得,3.6 几种常用的特殊矩阵,对角矩阵准对角矩阵三角矩阵对称矩阵与反对称矩阵小
41、结 思考题,一、对角矩阵的概念,可简记为,定义1,即：,对角矩阵的运算有下列性质：,（1）同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积,仍是对角矩阵,（3）任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，,（4）对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元,（2）对角矩阵的转置仍是对角矩阵，且,并且它们是可以交换的,素都不等于零且,可逆时，有,性质（）（）（）可直接验证，下面只证,性质（）,即主对角元都不为零,当主对角元都不为零时，有,于是,（ 是对角矩阵）,因矩阵 可逆,数量矩阵有性质：,用数量矩阵左乘或右乘（若可,乘）一个矩阵,记为,二 准对角矩阵,定义2,称为准对角矩阵,都是小方阵，可简记为,其中主对角线上的,对角矩阵可作为准对角矩阵的特殊情形,
