1、编号 : 本科学生毕业设计（论文） 题 目 : 函数最值和极值的解法及其在生活当中的应用 系部名称 : 数学系 专业名称 : 数学与应用数学 年 级 : 2009 级本科 2 班 学 生姓名 : 学 号 : 2009403161 指导教师 : 职称 /学历 : 副教授 成 绩 评 定 评价方式 及比例 指导教师 评价（ 60） 评阅人 评价（ 20） 答辩小组 评价（ 20） 最终 成绩 评定 等级 成 绩 折算后成绩 评定等级标准 :”优 ”（ 90 分以上） ; “良 ”（ 80 89） ; “中 ”（ 70 79） ; “及格 ”（ 60 69） ; “不及格 ”（ 60 以下） . 年
2、 月 日 数 学 系 四川民族学院本科学生毕业设计（论文） 承 诺 书 本人承诺 :在即将开始的毕业论文（设计）过程中 ,严格遵守学术道德规范和学校纪律 ,在学院和指导教师的安排与指导下 ,独立完成毕业论文（设计）工作 ,不弄虚作假 ,不请人代做毕业论文（设计）或抄袭别人的成果 .按照 ”四川民族学院毕业论文（设计）规定 ”的要求 ,完成毕业论文（设计） 的撰写、答辩、装订整理等工作 . 学生签名 : 年 月 日 导师签名 : 年 月 日摘要 I 摘 要 数学应用是数学教学中的一个重要任务 .本论文将通过函数最值和极值的相关定义、联系、区别以及最值与极值的求解方法 ,并系统的阐述函数最值和极值
3、 ,这是及其重要而且基础的函数性质 ,使其让大家意识到函数最值和极值问题是与实 际问题有着密切关系的 .最后可以运用出函数最值和极值的知识 ,解决实际生活中的相关的问题 . 首先提出函数最值和函数最值相关理论的定义 .又给出了函数极值的三个充分条件(即第一充分条件、第二充分条件、第三充分条件 )和函数最值与上（下）确界的关系 ;其次给出了函数极值和函数最值的一些求解方法 (如极值的一般求法、利用极值的第一、第二、第三的充分条件求极值和最值的导数一般求法、转换法、几何法、参数法、以及不等式的证明等 );然后利用这些方法对一些实际生活中的一些问题加以解决 (如路程于经费的问题、用固定的材料制作体积
4、最大的容积 、在物理学中变阻器消耗最大电功率、凸函数的极小值等的一些问题 ),还有生活中的一些关于最值和极值的一些现象 ;最后是总结了函数最值和极值对实际生活中起到了一定的影响 ,并对以后函数最值和极值的进一步发展和研究积极的重要作用 . 该论文中涉及到的实际应用主要可以分为有以下几点 : 1.最值在实际生活路程与经费、一定材料制作出最大体积的容器 ; 2.极值在生活现象中 (变阻器消耗最大电功率等 ); 3.最值与极值联系于区别 . 关键词 :最值 ;极值 ;应用 . ABSTRACT II ABSTRACT Mathematics application mathematics teach
5、ing is one of the important tasks.This paper will be through the function the most value and the extreme values of the of the related definition,contact,difference and the most value of extremum solution,and systematically discusses the function value and extreme,this is and its important and basic
6、function properties,make its let everybody realize function is most value and extreme value problem is with the actual problem has the close relationship.Finally can use the most value and the function extreme value knowledge,solve practical life related problems. First put forward the function valu
7、e and the value function of the related theory of definition,and gives the function extreme three sufficient conditions (i.e.the first full condition,the second full condition,the third sufficient conditions) and the function value and the upper(lower)supremum relations;We present the function extre
8、me value and function of the most value of some solving met hods(such as the extreme values of the general method,using the extreme values of the first,second,third sufficient conditions for extreme value and the value of the derivative general method,conversion method,the geometric method,parameter
9、 method,and inequality proof,etc.),Then use these methods to some real life some of the problems solved(such as the distance to the problem of funds,with the fixed material production volume,the largest volume in physics rheostat consumption maximum power and convex functions such as minimum problem
10、s),and some of the life of the most value of some phenomenon;Rinally summarizes the most value and extreme to real life have a certain influence on the later function is most value of further development and research of positive important role. This paper involves the actual application of the main
11、can be divided into the following: 1.The most value in the real life journey and funds,certain produce the largest volume of container; 2.Extreme in life phenomenon(rheostat consumption maximum electric power,etc.); 3.The most value and extreme link in difference. Keywords:the most value;extreme;app
12、lication. 目录 III 目录 第一章 引言 . 1 1.1 数学及其数学史的发展 . 1 1.2 数学函数极值和最值的用途 . 2 1.3 函数极值和最值的作用 . 2 第二章 函数极值的相关理论 . 3 2.1 函数极值的定义 . 3 2.2 极值的充分条件 . 3 2.3 函数极值的求解方法 . 4 第三章 .函数最值的相关理论 . 7 3.1 函数最值的定义 . 7 3.2 函数最值的求解方法 . 8 第四章 函数极值和函数最值的区别和联系 . 12 4.1 区别 . 12 4.2 联系 . 12 4.3 最值和极值的联系与区别 . 13 第五章 极值的应用 . 13 5.1
13、极值在生活方面的常识 . 13 5.2 利用最优条件解最值 . 13 5.3 数学极值问 题在物理中的应用 . 14 第六章 最值的应用 . 15 6.1 实际生活路程与经费的问题 . 15 6.2 极值和最值在生活中的运用 . 17 6.3 最值用于实际生活中 . 18 第七章 结论 . 20 参考文献 . 21 致谢 . 22 第一章 引言 1 第一章 引言 1.1 数学及其数学史的发展 数学方法和数学思想的起源与发展 ,及其与社会 ,经济和一般文化的联系 .对于深刻认识作为科学的数学本身 ,即全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义 .数学由早期公元前 6世纪的起源到公元前 6世纪 1
14、6世纪的初等数学时期 ,经历一个世纪到17 世纪 18 世纪的近代数学时期 ,直到 1820 年 现在的现在数学时期 . 从历史上看 ,数学中的原始概念 物品数和量及几何 图形的概念 只是人在现实世界中 ,通过实际运用而后抽象的结果 ,而决不是在人脑里从纯粹思维中产生出来的 . 几何学主要是起源于计算物体的面积与体积、测量高度与距离 .几何图形也主要产生于人类生活中的仿造物体的形状而制造工具的实践活动 ,即模仿自然界物题的形状来制造人们发展和生存所必然的生活器具和生产用具 .在十七世纪 ,欧洲航海业与工业的迅速发展 ,以前创建的几何方法已不能满足实际需要 ,笛卡尔等将代数法与几何法进行了一系列
15、有机地结合 ,从中发现了可以将代数方法应用到几何问题的研究 ,从而一种新的数学学说就 ” 解析几何 ” 地产 生了 .在十八、十九世纪 ,由于大地测量、力学和工程等方面的需要 ;随之产生了几何画法、微分几何和射影几何 .在十九世纪二十年代产生的非洲和欧洲的几何学 ,虽然是从纯理论中产生的 ,但进一步发展是在找到实际应用之后的 .从几何学的起源和发展来看 :数学是以完全确定的现实的基本量的代表物和自然物形状的代表物作为研究的对象 ,在研究时又完全舍其具体内容和质的特点 ,仅保留其纯粹形态量的关系和空间形式的特点 .由此可见 :数学的起源和发展是建立在实际需要基础之上的 ,是在实践中逐步被发现 ,
16、并随着实践的深入而发展、完善的 . 数学大师陈省身认 为 :一个数学家的目的 ,是要了解数学 .历史上数学的进展不外两途 :增加对于已知材料的了解和推广范围 .即以下两种发展规律 : 从已知概念、定理出发 ,把已知的数学知识作为特殊情况 ,并以此来建立更广泛的数学概念和定理的方法 .从函数概念的形成和发展来看 :由于罗马时代的丢番图对代数学中的不定方程对已有相当的研究 ,函数概念至少在那是已经萌芽 .自哥白尼的天文学革命以后 ,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题 ,函数概念有了力学来源 .四川民族学院本科学生毕业设计 (论文 ) 2 然后由莱布尼茨、达朗贝尔、欧拉、柯西 ,一直到黎曼
17、 ,经过一步一步地扩充 ,才发展为以集合论为基础 的一般性概念 ,成为应用广泛的一般理论 . 在已知的数学概念的基础上 ,发现独立的、新的理论的方法 .如牛顿、莱布尼兹以无限小的极限作为基础建立了微积分学 ;康托尔着眼超越数建立了集合理论 ;鲍耶、罗巴切夫斯基建立了与欧几里得几何学性质截然不同的非欧几里得几何学 . 1.2 数学函数极值和最值的用途 作为函数性质的一个重要分支和基本工具 ,函数极值和最值在数学与其它科学技术领域 ,诸如数学建模、路程与经费、物理电路中电器消耗的功率、最优化问题、最优化方案的问题等学科都有广泛的应用 .不仅如此 ,函数极值理论在保险、价格策划、航海 、航空和航天等
18、众多领域中也是最富表现性和灵活性 ,并起着不可替代的数学工具的作用 . 1.3 函数极值和最值的作用 许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题 ,生活中遇到的实际问题 ,可以通过数学的知识建立一些函数模型和数学几何模型的形式 ,表示为函数形式 .而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解 ,来为我们的生活生产做保证 !由此可见 ,研究函数极值和最值 ,是学习数学与其它学科的理论基础 ,是生活生产中的必备工具 .它为我们对于数学的进一步学习和研究起到了很大的帮助 ;同时 ,它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着 十分重要的作用 ,更对其他学科领域的展开有很大的促进作用 . 函数的极值
19、和最值不仅是函数重要的基础性质 ,在实际经济活动中也有着重要的应用 ,对于不同类型的问题 ,我们应有一个系统而简便的方法 ,巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法 .而恰恰这些方法的终极解决 ,都归结于对函数极值和最值的求解 .下面 ,就让我们系统的归纳和展示 ,函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用 !第二章 函数极值的相关理论 3 第二章 函数极值的相关理论 2.1 函数极值的定义 设函数 )(xf 在 0x 附近有定义 ,如果对 0x 附近的所有的点 ,都有 )(xf )(0xf ,则)(0xf 是函数 )(xf 的一个极大值 .如果附近所有的点 ,都有 )(xf )(0xf ,
20、则 )(0xf 是函数 )(xf 的一个极小值 ,极大值与极小值统称为极值 . 费马定理 3(设函数 f 在点 0x 的某领域内有定义 ,且在点 0x 可导 .若点 0x 为 f 的极值点则必有 : 0)( xf ):可导的极值点一定是稳 定点 ,稳定点不一定是极值点 ,极值点也不一定是稳定点或不可导点 .数学函数的一种稳定值 ,即一个极大值或一个极小值 ,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得 . 若函数 f 在点 0x 处可导 ,且 0x 为 f 的极值点 ,则 0)( 0 xf ,这就是说可导函数在点取极值的必要条件是 0)( 0 xf . 2.2 极值的充分条件 定理 1（极值
21、的第一充分条件 ） 1 设 f 在点 0x 连续 ,在某邻域 );( 00 xU 内可导 . (1）若当 ),( 00 xxx 时 0)( xf ,当 ),( 00 xxx 时 0)( xf , 则 f 在点 0x 取得极小值 . （ 2）若当 ),( 00 xxx 时 0)( xf ,当 ),( 00 xxx 时 0)( xf , 则 f 在点 0x 取得极大值 . 定理 2（极值的第二充分条件） 设 f 在 0x 的某邻域 ),( 00 xU 内一阶可导 ,在 0xx 处二阶可导 ,且 四川民族学院本科学生毕业设计 (论文 ) 4 0)( 0 xf , 0)( 0 xf . （ 1）若 0
22、)( 0 xf ,则 f 在 0x 取得极大值 ; （ 2）若 0)( 0 xf ,则 f 在 0x 取得极小值 . 定理 3（极值的第三充分条件） 设 f 在 0x 的某个邻域内 ,存在直到 1n 阶导函数 ,在 0x 处 n 阶可导 ,且 ,则0)(),1,2,1(0)( 0)(0)( xfnkxf kk ,则 （ i）当 n 为偶数时 ,f 在 0x 取得极值 ,且当 0)( 0)( xf n 时取极大值 , 0)( 0)( xf n 时取极小值 ; （ ii）当 n 为奇数时 ,f 在 0x 处不取极值 . 2.3 函数极值的求 解方法 函数极值的求解方法有很多 ,根据定义我们可以用导
23、数法进行求解 ,但当函数较为复杂 , 导及不可导点不好数与驻点求或函数较为复杂时 ,我们可以采用以下方法进行求解 . 2.3.1 极值的一般求法（利用区间的单调性或者定义 ） 例 1 求函数 5156)( 23 xxxxf 的极值 4. 解 5156)( 23 xxxxf , 15123)( 2 xxxf 令 15123)( 2 xxxf =3 )5)(1( xx =0 解得 5,1 21 xx 当 x 变化时 , )(),( xfxf 的变化情况如下表 : x )5,( -5 （ -5,1） 1 （ 1,+ ） )( xf + 0 - 0 + )(xf 105 -3 第二章 函数极值的相关理
24、论 5 因此 ,当 x =-5时 , )(xf 有极大值 ,并且 极大值为 )5(f 105, 当 x =1时 , )(xf 有极小值 , 并且极小值为 3)1( f . 函数 5156)( 23 xxxxf 的图像 (如右图 2 1). 图 2 1 2.3.2 利用极值的第一、第二、第三的充分条件求极值 例 2 求 3 2)52()( xxxf 的极值点与极值 (由极值的第一充分条件 )1. 解 32353 2 52)52()( xxxxxf 在 ),( 上连续 ,且当 0x 时 ,有 33132 1310310310)( xxxxxf . 易见 , 1x 为 f 的稳定点 , 0x 为 f 的不可导点 .这两点是否是极值点 ,需作进一步讨论 .现列表如下（表中表示递增 ,表示递减） : x （ 0, ） 0 （ 0,1） 1 （ 1,+ ） y + 不存在 0 + y 0 -3 由上表可见 : 点 0x 为 f 的极大值点 , 极大值 0)0( f ; 1x 为 f 的极小值点 , 极小值 3)1( f （如右图 2 2） 图 2 2 例 3 求 )(xf = xx 82 4 的极值点与极值 1.
