1、 本科毕业论文 论文题目： 幂零矩阵的性质及应用 学生姓名： 学 号 ： 2010411676 专 业 ： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 数学科学学院 20131 2014 年 4 月 22 日 毕业论文（设计）内容介绍 论文（设计） 题 目 幂零矩阵的性质及应用 选题时间 完成时间 2014.4.22 论文（设计） 字数 4563字 关 键 词 幂零矩阵；若尔当块；特征值；幂零矩阵的秩；幂零指数 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义： 自己在学习矩阵问题时有的问题利用幂零矩阵来解决很方便，所以以此来作为研究对象，得到了本文的题目，通过查阅资料文献，了解幂零矩阵的性质，利用幂零矩阵可
2、以使矩阵问题的解答更加简便。 论文（设计）的主要内容及创新点： 内容：系统总结幂零矩阵的性质，通过举例详细讲解幂零矩阵在求解矩阵求逆问题、解决矩阵证明问题中的应用。 创新点 ： 本文系统详细的阐述了幂零矩阵的性质， 特别是关于高阶幂零矩阵的秩的问题和幂零矩阵在矩阵问题各方面的应用，同时通过自己举例，使一些问题具体化，加深了幂零矩阵在解答矩阵问题的简便性的理解。 附：论文（设计） 本人签名： 2014 年 4 月 22 日 目录 摘要： . - 1 - Abstract: . . - 1 - 一、相关的基本概念 . - 2 - 二、相关的一些引理 . - 2 - 三、性质 . - 4 - 四、关
3、于幂零矩阵的简单应用 . - 12 - （一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆 . - 12 - （二）、有关幂零矩阵的其他应用举例 . - 15 - 参考文献： . - 20 - - 1 - 幂零矩阵的性质及应用 摘 要： 幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有非常重要的作用，而且在数学领域以及其他领域应用都非常广泛，因此对幂零矩阵进行探究具有非常重要的意义 .本文主要是对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质 .在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法 .幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有很好作用
4、，因此对幂零矩阵的研究很有意义 . 关键词 ： 幂零矩阵 , 若尔当块 , 特征值 , 幂零指数 , 幂零矩阵的秩 The properties of nilpotent matrix and its application Liu Yan Abstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely us
5、ed, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse m
6、ore troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful. Key words:Nilpotent matri
7、x, Jordan, characteristic number, Nilpotent index, Nilpotent matrix rank - 2 - 引言 在高等数学的学习研究过程中，幂零矩阵是非常特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦 ，对于一些特殊矩阵可以用幂零矩阵的性质来简单化解计算 . 一、相关的基本概念 1、 设 A 为 n 阶方阵，若存在正整数 k ，使 0kA ，则 A 称为幂零矩阵 . 2、 若 A 为幂零矩阵，则满足 0kA 的最小正整数称为 A 的幂零指数 . 3、 设 11
8、11nn nnaaAaa，则称 1 1 11nn nnaaAaa为 A 的转置， 称 1 1 1*1nn nnAAAAA为 A 的伴随矩阵 . 其中 , 1, 2, ,ijA i j n 为 A 中元素 ija 的代数余子式 . 4、设 A 是复数域上全体 mn 矩阵，在 A 中任意取定 k行 k列 , min m nk ， .位于这些行和列的交点上的 2k 个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M称为 A 的一个 k 级子式 . 5、设 A 是复数域上 mn矩阵， A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩， 记为 ()rA. 6、 主对角线上元素为 0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵 .
9、 7、形为 0010,00Jt的矩阵称为若尔当块，其中 为复数，由若 干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵 . 8、 设 A 为一个 n 阶方阵， f E A称为矩阵 A 的特征多项式 .满足 0f E A 的 的值称为矩阵 A的特征值 . 9、 次数最低的首项系数为 1的以 A 为根的多项式称为 A 的最小多项式 . 二、相关的一些引理 引理 1： 设 ,AB为 n 阶方阵，则 * *,t ttAB B A AB B A. 1 - 3 - 引理 2： , Af E A m ， 分别为矩阵 A 的特征多项式和最小多项式，则 有 0, 0Af A m. 引 理 3： 每一个 n 阶的复矩
10、阵 A 都与一若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵 A 唯一决定的，它称为 A 的若尔当标准形 . 引理 4： 若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值 . 引理 5： n 阶复矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 和最小多项式无重根 . 引理 6： 相似矩阵具有相同的特征值 . 引理 7： 设 12, , , n 为 n 阶矩阵 A 的特征值，则有 12 ntrA ，12 nA ，且对任意的多项式 fx有 fA的特征值为 12, , , nf f f . 引理 8： k 阶若当块 11kaJa的最小多项式为 kxa 且有 0kkJ aE. 引理 9： 矩阵的
11、最小多项式就是矩阵 A 的最后一个不变因子 . 引理 10： ,AB为 n 阶复数域上的矩阵，若 AB BA ，则存在可逆矩阵 T，使得 121*NT A T121*NT B T. 引理 11： 任意 n 阶 ,AB方阵，有 tr AB tr BA . 引理 12： 设 A是 n 阶方阵，若 2 0A ，则 n2rA . 引理 13： 设 A是 n 阶方阵，若 3 0 ，则 （ 1） 2 3nr ； （ 2） 222 r r n r . 引理 14： 设 A是 n 阶方阵，则 r k r k -1 nkAA k1 . 引理 15： 设 A是 n 阶方阵，则 2 k 21 r r r 0k k
12、A k ，. 引理 16: 设 A是 n 阶方阵，则 rBCrABrCr . - 4 - 三、性质 性质 1： A 为幂零矩阵的充分必要条件是 A 的特征值全为 0. 证明： 因为 A 为幂零矩阵 ,所以 k =0k Z A 使 ,使 0kA . 令 0 为 A 任意一个特征值，则 00 A 使 . 由引理 7 知， 0 为 kA 的特征值 . 因为 0使 0k ,即有 0 0 . 又有 0k ，知 00kkA A A . 因为 0 * 1 1 0 0kkE A A A , 所以 0 0 为 A 的特征 值 . 由 0 的任意性知 ,A 的特征值为 0. （方法一）因为 A 的特征值全为 0,
13、 所以 A 的 特征多项式为 nf E A . 由引理 2知， 0nf A A. 所以 A 为幂零矩阵 ,得证 . （方法二） 因为存在可逆矩阵 T,使得 10*0T T B (B 为上三角矩阵） 2 由上三角矩阵的性质知， 0n ，从而 0nA （ n为 A 的阶数） . （方法三）因为 A 的所有特征根全为 0, 所以 A 的 Jordan标准型 J的若尔当块只能是 01010iJ， 取正整数 m iJ 的所有阶数，则 miJ =0 所以有 mJ =0， 故 11( ) 0m m mA P J P P J P 所以 A 为幂零矩阵 . 性质 2： A 为幂零矩阵的充分必要条件为 0 ktr
14、AZk . 证明： 因为 A 为幂零矩阵， 由性质 1，知 :A 的特征值全为 0 即 12 n . 又由引理 7，知 kA 的特征值为 12 0n , 从而有 12 0k k k kntrA . - 5 - 由已知， 12 0k k k knk Z tr A (1.1) 令 12, , , t 为 A 的不为 0的特征值 ,且 t 互不相同重数为 ( 1, 2, , )in i t 由（ 1.1）式及引理 7，得方程组 1 1 2 22 2 21 1 2 23 3 31 1 2 21 1 2 20000ttttttt t tttn n nn n nn n nn n n （ 1.2） 由于方程
15、组（ 1.2）的系数行列式为 122 2 21 2 1 2121 2 1 212 11 1 1()ttttt t t t t tttt i jj i tB 又因为 tii ,2,1 互不相同且不为 0， 0B , 从而知，方程（ 1.2）只有 0解，即 tini ,2,10 即 A 没有非零的特征值 所以 A 的特征值全为 0,由性质 1,得 A 为幂零矩阵得证 . 性质 3： 若 A 为幂零矩阵，则 A 的若尔当标准形 J的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为 0. 证明： 因为 A 为幂零矩阵，再由性质 1，知 A 的特征值全为 0. 由引理 3，知 在复数域上，存在可逆矩阵
16、T，使得 121sJJT A TJ, 其中 11iiiJ阶数为 sini ,2,1 . 由引理 4，知 sii ,2,1 为 J 的特征值 . 又因为 A 与 J 相似，由引理 6，知 A 与 J 有相同的特征值 . 所以 sii ,2,10 即 J 的主对角线上的元素全为 0. - 6 - 由引理 8，知 siJEJ ii nini ,2,100 , 故 SJJJ , 21 为幂零矩阵 ,得证 . 性质 4： 若 A 为幂零矩阵，则 A 一定不可逆但有 AE 及 AE 可逆， 且 1 , 1A E E A 其中 E 为单位矩阵 . 证明： 因为 A 为幂零矩阵，所以 kZ 使 0kA .故
17、00kkA A A , A 一定不可逆 . 由性质 1，得 A 的特征值为 12 0n 由引理 7， 得 AE ,AE 的特征值分别为 1 2 1 20 1 1 , 1 0 1nn 所以 ,AE 及 AE 可逆， 且有 12 11nnAE , 12 11nnEA . 即 1 , 1A E E A ,得证 . 性质 5： 若 AE 为幂零矩阵，则 A 非退化 . 证明： 令 12, , , n 为 A 的特征值 ,若 A 退化，则有 0A . 由引理 7，得 12 0nA . 所以至少存在0 0i为 A 的特征值， 又由引理 7，得0 1 1 0i 为 AE 的一特征值，这与 AE 为幂零矩阵矛
18、盾 ,故 A 为非退化，得证 . 性质 6： 若 A 为幂零矩阵 ,B 为任意的 n 阶矩阵且有 AB BA ，则 AB 也为幂零矩阵 . 证明： 因为 A 为幂零矩阵 ,所以 kZ ,使 0kA . 又因为 AB BA , ( ) 0 0k k k kA B A B B . 所以 1 2 1 1231 1 1 1( ) ( 1 ) ( 0 )kk km E A E A A A mm m m m 故 AB 也为幂零矩阵，得证 . 性质 7： 若 A 为幂零矩阵且 0kA ，则有 1 2 1() kE A E A A A . 证明： 因为 0kA ，所以 k k kE E A E A 21( )
19、 ( )kE A E A A A . 即 1 2 1() kE A E A A A . 对任意 0m ，有 ( ) k k k k kAm E m E A m E A m E m 2 1 11 2 11 1 1( ) ( ( 1 ) )kkkAm E E A A Am m m m - 7 - 2 1 11 2 11 1 1( ) ( ( 1 ) )kkkm E A E A A Am m m 即有 2 1 11 2 11 1 1 1( ) ( ( 1 ) )kkkm E A E A A A Em m m m 所以 1 2 1 11 2 11 1 1 1( ) ( ( 1 ) )kkkm E A
20、E A A Am m m m 2 1 1231 1 1( 1 ) kkkE A A Am m m m 性质 8： 若 A 为幂零矩阵且 0A ，则 A 不可对角化 . 但对任意的 n 阶方阵 B ，存在幂零矩阵 N ，使得 BN 可对角化 . 证明： 因为 A 为幂零矩阵，所以 kZ 使 0kA 且 A 的特征值全为零 . () nf E A 为 A 的特征多项式且 ( ) 0nf A A, 令 ()Am 为 A 的最小多项式，则有 ( ) | ( )Amf. 从而有 0 0( ) (1 )kAm k n . 由于 0,A 所以 0 1k ，又此时 0 0( ) 2kAmk， 即 A 的最小多项式有重根，由引理 5，知 A 不可对角化 因为 B 为 n 阶方阵，由引理 3，知在复数域上，存在可逆矩阵 T ，使得 121sJJT B TJ,其中 11iiiJ阶数为 ( 1, 2, , )in i s . 令iiiiD阶数为 ( 1, 2, , )in i s , 则有0110i i iJ J D 阶数为 ( 1, 2, , )in i s . 由引理 8，知 ( 0 ) ( ) 0iii nni n iJ E J ,即 iJ ( 1,2, , )is 为幂零矩阵 . 现令12sJJJJ,12sDDDD,
