1、1数列综合练习（一）1等比数列前 n 项和公式：(1)公式：S nError!.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略 q1 的情况2若a n是等比数列，且公比 q1，则前 n 项和 Sn (1q n)A( qn1)其中a11 qA .a1q 13推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前 n 项和4拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1) ；1nn 1 1n 1n 1一、选择题1设 Sn为等比数列a n的前 n 项和，8a 2a 50，则 等于 ( )S5S2A11 B5C8 D11答案 D解析 由 8a2a 50 得 8a1qa 1q40，
2、q2，则 11.S5S2 a11 25a11 222记等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S32，S 618，则 等于( )S10S5A3 B5C31 D33答案 D解析 由题意知公比 q1， S6S3a11 q61 qa11 q31 q1q 39，q 2， 1q 5S10S5a11 q101 qa11 q51 q12 533.3设等比数列a n的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则 等于 ( )S4a2A2 B42C. D.152 172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4a 1a 2a 3a 4 a 2a 2qa 2q2，a2q得 1qq 2 .S4a2 1q 152方法二
3、 S 4 ，a 2a 1q，a11 q41 q .S4a2 1 q41 qq 1524设a n是由正数组成的等比数列，S n为其前 n 项和，已知 a2a41，S 37，则 S5 等于( )A. B.152 314C. D.334 172答案 B解析 an是由正数组成的等比数列，且 a2a41，设 an的公比为 q，则 q0，且 a 1，即 a31.23S37， a1a 2a 3 17，1q2 1q即 6q2q10.故 q 或 q (舍去)，12 13a1 4.1q2S5 8(1 ) .41 1251 12 125 3145在数列a n中，a n1 ca n(c 为非零常数)，且前 n 项和为
4、 Sn3 nk ，则实数 k 的值为( )A0 B1 C 1 D2答案 C解析 当 n1 时，a 1S 13k，当 n2 时，a nS nS n1 (3 nk) (3 n1 k)3 n3 n1 23 n1 .由题意知a n为等比数列，所以 a13k2，k1.6在等比数列a n中，公比 q 是整数，a 1a 418，a 2 a312，则此数列的前 8 项和为( )A514 B513 C512 D510答案 D3解析 由 a1a 418 和 a2a 312，得方程组Error!，解得Error!或Error!.q 为整数，q2，a 12，S 8 2 92510.228 12 1二、填空题7若a n
5、是等比数列，且前 n 项和为 Sn3 n1 t ，则 t_.答案 13解析 显然 q1，此时应有 SnA(q n1) ，又 Sn 3nt，t .13 138设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a11，S 64S 3，则 a4_.答案 3解析 S 64S 3 q 33(q 31 不合题意，舍去 )a11 q61 q 4a11 q31 qa4a 1q31 33.9若等比数列a n中，a 11，a n512，前 n 项和为 Sn341，则 n 的值是_答案 10解析 S n ，341 ，a1 anq1 q 1 512q1 qq2，又a na 1qn1 ，512(2) n1 ，n 10.10如
6、果数列a n的前 n 项和 Sn2a n1，则此数列的通项公式 an_.答案 2 n1解析 当 n1 时，S 12a 11，a 12a 11，a 11.当 n2 时，a nS nS n1 (2a n1) (2a n1 1)an2a n1 ，a n是等比数列，an2 n1 ，nN *.三、解答题11在等比数列a n中，a 1a n66，a 3an2 128，S n 126，求 n 和 q.解 a3an2 a 1an，a 1an128，解方程组Error!得Error! 或Error! 将代入 Sn ，可得 q ，a1 anq1 q 12由 ana 1qn1 可解得 n6.将代入 Sn ，可得 q
7、2，a1 anq1 q由 ana 1qn1 可解得 n6.故 n6，q 或 2.1212已知 Sn为等比数列a n的前 n 项和，S n54，S 2n60 ，求 S3n.解 方法一 由题意 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n成等比数列，46254(S 3n60)，S 3n .1823方法二 由题意得 a1，S n 54 a11 qn1 qS2n 60 a11 q2n1 q由得 1q n ， qn ， ， 109 19 a11 q 9548S3n (1 ) .a11 q3n1 q 9548 193 182313已知数列a n的前 n 项和 Sn2 n2 4.(1)求数列a n的通项公式；(2
8、)设 bna nlog2an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由题意，S n2 n2 4，n2 时，a nS nS n1 2 n2 2 n1 2 n1 ，当 n1 时，a 1S 12 344，也适合上式，数列 an的通项公式为 an2 n1 ，nN *.(2)bn anlog2an(n1)2 n 1，Tn22 232 342 4 n2n(n1)2 n1 ， 2Tn22 332 442 5n2 n1 (n1)2 n2 . 得，Tn2 32 32 42 52 n1 ( n1)2 n22 3 (n 1)2n2 2 32 3(2n1 1)(n1)2 n2231 2n 11 2(n1)2 n
9、2 232n1 (n 1)2 n2 2 n2 n2 n2 .14已知等差数列a n满足：a 37，a 5a 726，a n的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列b n的前 n 项和 Tn.1a2n 1解 (1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d.因为 a37，a 5a 726，所以Error!解得Error! 所以 an32( n1) 2n1，S n3n 2n 22n.nn 12所以，a n2n1，S nn 22n.(2)由(1)知 an2n1，所以 bn 1a2n 1 12n 12 1 14 1nn 1 ，14(1n 1n 1)所以 Tn
10、 (1 )14 12 12 13 1n 1n 15 (1 ) ，14 1n 1 n4n 1即数列b n的前 n 项和 Tn .n4n 115设数列a n满足 a12，a n1 a n32 2n1 .(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Sn.解 (1)由已知，当 n1 时，a n1 (a n1 a n)(a na n1 ) (a 2a 1)a 13(2 2n1 2 2n3 2)22 2(n1) 1 .而 a12，符合上式，所以数列a n的通项公式为 an2 2n1 .(2)由 bnna nn2 2n1 知Sn1222 332 5n2 2n1 ， 从而
11、 22Sn12 322 532 7n2 2n1 . 得(12 2)Sn22 32 52 2n1 n2 2n1 ，即 Sn (3n 1)22n1 21916在数列a n中，a 12，a n1 a nln ，则 an等于 ( )(1 1n)A2ln n B2(n1)ln n C2nln n D1nln n答案 A解析 a n1 a nln ，(1 1n)an1 a nln ln ln(n1)ln n.(1 1n) n 1n又 a12，ana 1( a2 a1)(a 3a 2)( a4a 3)( ana n1 )2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3 ln nln( n1) 2ln nl
12、n 12ln n.17已知正项数列a n的前 n 项和 Sn (an1) 2，求a n的通项公式14解 当 n1 时，a 1S 1，所以 a1 (a11) 2，14解得 a11.当 n2 时，a nS nS n1 (an1) 2 (an1 1) 2 (a a 2a n2a n1 )，14 14 14 2n 2n 1a a 2(a na n1 )0，2n 2n 1(ana n1 )(ana n1 2)0.ana n1 0，a na n1 20.ana n1 2.an是首项为 1，公差为 2 的等差数列an12( n 1)2n1.18(12 分) 在数列 an中，a 11，a n1 2a n2 n
13、.6(1)设 bn .证明：数列 bn是等差数列；an2n 1(2)求数列a n的前 n 项和(1)证明 由已知 an1 2a n2 n，得 bn1 1b n1.an 12n 2an 2n2n an2n 1bn1 b n1，又 b1a 11.bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)解 由(1)知，b nn， b nn.a nn2 n1 .an2n 1Sn122 1 322n2 n1两边乘以 2 得：2S n12 122 2(n1)2 n1 n2 n，两式相减得：S n12 12 22 n1 n2 n2 n1n2 n(1n)2 n1，Sn( n1)2 n1.19(12 分) 已知数列 an
14、的前 n 项和为 Sn，且 a11，a n1 Sn(n1,2,3，) 12(1)求数列a n的通项公式；(2)当 bnlog (3an1 )时，求证：数列 的前 n 项和 Tn .32 1bnbn 1 n1 n(1)解 由已知Error! (n2)，得 an1 an(n2)32数列 an是以 a2为首项，以 为公比的等比数列32又 a2 S1 a1 ，12 12 12ana 2( )n 2(n2)32anError!(2)证明 b nlog (3an1 )log ( )n1 n.32 3232 32 .1bnbn 1 1n1 n 1n 11 nTn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1( )( )( )( )11 12 12 13 13 14 1n 11 n1 .11 n n1 n
