1、高等数学小论文 发散级数和正交级数的探讨 June 26, 20081 / 5发散级数和正交级数的探讨刘海伟 PB07210219信息学院 0702 班在初步学习完级数这章后，深深被里面所体现的深刻的数学思想所吸引，也很好的体现出哲学方法论。比如始终贯穿科学研究的方法，化未知的为以已知，用已知去估计未知。即使一个相当复杂的函数都可以通过三角或者幂级数等等简单函数的和形式来表达，真的是很精彩。但是总感觉这里还有很多的东西书上未做出合适的解释或者分析，不痛不痒，吊足了胃口。鉴于本人目前的知识水平，文章中有很多尚未解决的问题，还望老师和亲爱的同学们能够给以指导。正交级数导入：高等数学导论第 462
2、页，定义 2 ：若对于在区间a,b上可积且平方可积的任意函数 f(x),贝塞尔不等式成为等式=1|2=|()|2就称函数系 是完备的标准正交系，等式即为广义的巴赛瓦尔等式，这样，只有()是完备正交系时，才能得出 平方收敛于 f(x)，因为这时有() ()lim|()f(x)|2=0即函数 f(x)可以表示成函数系 的线性组合()()=1()其中=f(x)()这里，教材引入了一个新的定义，函数空间 :区间a,b上可积且平方可积的复值函数的全2体。并且定义了空间的内积和模.如同 n 维 Euclid 空间一样，函数空间 的完备标准系 就是这个空间的标准基，2 ()就是系数。称广义的巴赛瓦尔等式就是
3、函数空间的勾股定理。()仔细分析这里的定义，不难发现，这里的定义其实我们都见过，并不新。见高等数学导论的第 12 页，有 n 维欧氏空间的相关定义。将直角坐标系的 中的点距离公式和向3量的模的公式推广到 中，设 ， 为 中任意两个元素，=(1,2,3,), =(1,2,3,), 称 为 x 和 y 的距离，(,)= =1()2高等数学小论文 发散级数和正交级数的探讨 June 26, 20082 / 5称 为 x 的模，|= =12显然 (,)=|并且给出了欧氏空间 X 的 3 个性质。（1 ） 正定性，对于 X 中的任意一对元素 x 和 y，都有 ；又 当且仅当(,)0 (,)=0x=y；（
4、2 ） 对称性，即对于 X 中的任意一对元素 x 和 y，都有 .(,)=(,)（3 ） 三角不等式成立，即对于任意 ，都有, (,)(,)+(,)这些东西的证明参见教材，在此不再赘余。只是联想到前面级数涉及到的正交系可以模仿此处再定义些东西,并就此推导出一些相关的性质。如距离 (,)=(|2)12内积（ ,） =()模=(,0)=(|2)12=(,);另方面，任何复数总可以表示成 的形式，函数应该也可以。+这里， 那么模又可以定义为 ()=()+(); |()|=()2+()212可以证明函数空间也是满足欧氏空间的 3 条性质的。并且仿照 Cauchy 不等式设 为 2n 个实数，则有1,2
5、,3,1,2,3,|=1|=12=12可类比出一个新的不等式， |(|2)12(|2)12姑且成为函数空间的 Cauchy 不等式。证明如下：若 f,g 中有一个是 0，那么等式两边都是 0，等式显然成立。下面就可以假设 f,g 都非零，那么， , (|2)120 (|2)120有均值不等式 ;12(+)代入有|(|2)12(|2)1212( |2|2+ |2|2)两边积分就得到要证明的不等式。对于性质中前 2 条的证明直接根据定义基本就能解决，但是第 3 条如下(,)=(|2)12高等数学小论文 发散级数和正交级数的探讨 June 26, 20083 / 5(|+|)2)12(*)(|2)1
6、2+(|2)12=(,)+(,)其中（*）式还是不知道如何过渡。权且放在这里，待以后解决。另，这里是两个函数的关系，姑且记为 2 维，猜想应该也是可以推导出 n 维的函数空间的，正如欧氏空间一样，只要符合前面所说的 3 条性质就可以了。发散级数教材在一引入级数这个概念之后，很快的就将我们的注意力引到了收敛级数上，似乎级数一旦发散就是毫无用处的。事实上，真的是这样吗？看如下级数 =0大家都知道这里取 =1，x=-1,会得出结论lim1(1+23+)=1/2.=lim1(1+)1这个结论是相当有趣的，右端的级数是发散的，但是求和也得出一个结果，尽管我们这个是不正确的，但是这个究竟是什么。查阅了相关
7、书籍，才知道在 Cauchy 之前的数学家在分析级数时是不分发散或是收敛的。Abel 定义 有收敛半径 r,()=0且 x=r 时收敛则有1()=0但若 不收敛而 在 r=1 时存在，就是发散级数和的定义。=0 ()这个定义就是将发散级数和收敛级数的定义统一了，特别的彰显了数学的大统一的美学观。在热学的学习过程中，遇到一系列的积分。如 等，热学教材上称该式为误差202函数，并且制成了误差函数表了。显然这个函数是不能被分解为收敛函数的，但是距具体计算而已，我们不妨仍然将其展开。只是做下适当的变形，利用分部积分就可以得到，,2=22(1122+13(22)2135(22)3)显然级数收敛的是非常快
8、的，可以很好的进行逼近，因为在实验物理上不需要严格的准确值，只要足够逼近达到一定精度就可以了。发散级数在此起到很大的作用。对于其他的函高等数学小论文 发散级数和正交级数的探讨 June 26, 20084 / 5数，如 ,其中 n=1,2,3,4,等，这里利用了 通过广义积分可以求出结2 02果，而 可以又上面 2 者做差得出。很好的解决了热学中的实际问题。02初等函数级数教材给出了指数函数的泰勒展开式=1+1!+22!+33!+, 同时又给出 和 的展开，其实是没有必要的。令上式 x=-x,有sin cos=1+1!+22!+33!+, 做差有 sh(x)=+33!+55!+, 做和有 ch
9、(x)=1+22!+44!+, 再令 x=ix 有=1+1!+22!+33!+44!, 令 x=-ix 有=1+1!+22!+33!+44!, 做差有 =sin=2 33!+55!, 做和有 =cos=+2 122!+44!, 而且在 还能得出等式 shx=(-i)*sin(ix)sin中令 =利用以上的结论再进行变化和组合，如赋值、换元、导数积分、四则运算（如除以 x 的 n次方等）可以解决很多相关的与阶乘在分母上有关的级数求和问题。相信大家对此都已经相当的熟悉了。那么阶乘在分子上的级数求和问题呢？即Y(x)= 1+2!2+3!3+这里的形式满足微分方程 222+(1)=1显然，这个不属于常微分方程，只能求助，结果有,(x)=01 这个是复值函数积分。同上面操作一样，可以令 x=-x,x=ix,x=-ix,能够得出相对应的结论，不再赘余。具体应用实例在此就不再列出，比如 6.26 的课堂测试的最后一题求级数和的问题，用高等数学小论文 发散级数和正交级数的探讨 June 26, 20085 / 5此法来解就是水到渠成。
