中考数学专题复习全等与相似含答案整理.doc

1、1专题 全等与相似一1 （2012 年，福州）如图，已知 ABC， AB AC1， A36， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是_，cos A 的值是_(结果保留根号)考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：可以证明 ABC BDC，设 AD x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得 x 的值；过点 D作 DE AB 于点 E，则 E 为 AB 中点，由余弦定义可求出 cosA 的值2 （2012 年，桂林）(12 分)如图，在 ABC 中， BAC90， AB AC6， D 为 BC 的中点(1)若 E、 F 分别是 AB、 A

2、C 上的点，且 AE CF，求证： AED CFD；(2)当点 F、 E 分别从 C、 A 两点同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CA、 AB 运动，到点 A、 B 时停止；设DEF 的面积为 y， F 点运动的时间为 x，求 y 与 x 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点 F、 E 分别沿 CA、 AB 的延长线继续运动，求此时 y 与 x 的函数关系式二.1. （2012 安徽，22，12 分）如图 1，在ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段 BG 的长；解：（2

3、）求证：DG 平分EDF;证：（3）连接 CG，如图 2，若BDG 与DFG 相似，求证：BGCG.证：2 （2012 铜仁）如图，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，AECF，AE=CF，BE=DF求证：ADECBFA BCDEFGA BCDEFGAB CD23 （2012 年，南通）如图，在 ABC 中， AB AC10cm， BC12cm，点 D 是 BC 边的中点点 P 从点 B 出发，以 acm/s(a0)的速度沿BA 匀速向点 A 运动；点 Q 同时以 1cm/s 的速度从点 D 出发，沿 DB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动

4、，设它们运动的时间为 ts(1)若 a2， BPQ BDA，求 t 的值；(2)设点 M 在 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形若 a ，求 PQ 的长；52是否存在实数 a，使得点 P 在 ACB 的平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由4 （2012 无锡）如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在 BC 的延长线上，且 BE=CF求证：BAE=CDF5 （2012资阳） （1）如图（1） ，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，直接写出 HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程） ；（2）将图（1）中的正方形 AEGH 绕点

5、A 旋转一定角度，如图（2） ，求 HD：GC：EB；3（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3） ，且已知 DA：AB=HA：AE=m：n，此时 HD：GC：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程） 6 （2012 年，遵义） （12 分）如图， 是边长为 6 的等边三角形， ABCP是 边上一动点，由 向 运动（与 、 不重AC合） ， 是 延长线上一动点，与点 同时以相同QBP的 速 度 由 向 延长线方向运动（ 不 与 重Q合） ，过 作 于 ，连接 交 于 . PED（1）当 时，求 的长； OD30A（2）在运动过程中线段

6、的长是否发生变化？如果不变， 求 出线段 的长；如果发生改变，请说明理由7 （2012 年，河北）如图 ，点 是线段 的中点，分别以 为直角顶点的 均是等腰直角三角形，且在13EBCBC， EABDC 和 的同侧BC（1） 的数量关系为_，AED和的位置关系为_；和（2）在图 中，以点 为位似中心，作 与 位似，点 是 所在直线上的一点，连接31EEGF AB HBC，分别得到了图 和图 ；GH， 1323在图 中，点 在 上， 的相似比是 ， 是 的中点.求证：2FB 与 1:2E.D，在图 中，点 在 的延长线上， 的相似比是 ，若 ，请直接写出13EEFAB 与 k:2BC4的长为多少时

7、，恰好使得 （用含 的代数式表示） CHGHD且 k8、 （2012 年，河南） （10 分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图 1，在 ABCD:中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G，若 3AFB，求 G的值。（1）尝试探究在图 1 中，过点 E 作 H 交 BG 于点 H，则 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH 的数量关系是 ， C的值是 （2）类比延伸如图 2，在原题的条件下，若 (0)AFmB则 CDG的值是 （用含 m的代数式表示） ，试写出

8、解答过程。（3）拓展迁移如图 3，梯形 ABCD 中，DCAB，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F，若,(0,)ABCabDE，则 F的值是 （用含 ,ab的代数式表示）.9.（2012 年，广元） （本小题 7 分）如图，在AEC 和DFB 中，E=F，点 A，B，C，D 在同一直线上，有如下三个关系式：AEDF，AB=CD，CE=BF。（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论， 写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果 ， ，那 么 ”） ；5（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。答案：一 1.解答：解： ABC， AB A

9、C1， A36， ABC ACB 72180 A2 BD 是 ABC 的平分线， ABD DBC ABC3612 A DBC36，又 C C， ABC BDC，6 ，ACBC BCCD设 AD x，则 BD BC x则 ，1x x1 x解得： x (舍去)或 5 12 5 12故 x 5 12如右图，过点 D 作 DE AB 于点 E， AD BD， E 为 AB 中点，即 AE AB 12 12在 Rt AED 中，cos A AEAD125 12 5 14故答案是： ； 5 12 5 14点评： ABC、 BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求 cosA 时，

10、注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解2(1)证明: BAC 90 AB AC 6,D 为 BC 中点 BAD DAC B C45 1 分 AD BD DC 2 分 AE CF AED CFD 3 分(2)依题意有: FC AE x 4 分 AED CFD ADFCADFEADFSSS四 边 形 5 分 S ADC9 6 分 9321)6(9 xxAEFEF四 边 形 321xy 7 分(3) 依题意有： AF BE 6， AD DB， ABD DAC45 DAF DBE135 8 分 ADF BDE 9 分 ADFBES 10 分 EADBS 11 分211(6)9392xx y

11、12 分二.1.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC 的边长，由三角形中位线性质知 ，根据BDG 与四边形 ACDG 周长相等，可得 .（2）由（1）的结论，利用等腰cDEbF21, cbBGAB CDE第 26 题图 17三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.解（1）D、C、F 分别是ABC 三边中点DE AB,DF AC，21又BDG 与四边形 ACDG 周长相等即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG= =2ACBcb（2）证明：BG=

12、，FG=BGBF= 2cbFG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG 平分EDF（3）在DFG 中，FDG=FGD, DFG 是等腰三角形,BDG 与DFG 相似,BDG 是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则 CD= BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,BGCG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.考点：全等三角形的判定。解答：证明：AECFAED=CFB，（3 分）DF=BE，DF+EF=BE+EF，即 DE=BF，（6 分）在ADE 和CBF 中，（9 分）BFDECAADECB

13、F（SAS）（10 分） 2.（2012 年，黄石） （本小题满分 7 分）如图（8） ，已知在平行四边形 中， . ABCDEF求证： .【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】根据平行四边形性质求出 ADBC，且 AD=BC，推出ADE=CBF，求出 DE=BF，证ADECBF，推出DAE=BCF 即可【解答】证明：四边形 ABCD 为平行四边形 AD BC,且 AD=BC ADE= BCF 2 分又 BE=DF, BF=DE 1 分 ADE CBF 2 分 DAE= BCF 2 分【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和

14、判定的应用，关键是求出证出ADE 和CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力A BCDEF图（8）83.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三 角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】 （1）由ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=12 厘米，D 是 BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD 与 CD 的长，又由 a=2，BPQBDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得 t 的值；（2）首先过点 P 作 PEBC 于 E，由四边形 PQCM 为平行四边形，易证得 PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程 5 2 t 10 =1 2

15、 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；首先假设存在点 P 在ACB 的平分线上，由四边形 PQCM 为平行四边形，可得四边形 PQCM 是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得 t 值为负，故可得不存在【解答】解：（1）ABC 中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D 是 BC 的中点，BD=CD=1 2 BC=6cm，a=2，BP=2tcm，DQ=tcm，BQ=BD-QD=6-t（cm） ，BPQBDA，BP BD =BQ AB ，即 2t 6 =6-t 10 ，解得：t=18 13 ；（2）过点 P 作 PEBC 于 E，四边形 PQCM 为平

16、行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ，BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，a=5 2 ，PB=5 2 tcm，ADBC，PEAD，PB：AB=BE：BD，即 5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得：t=3 2 ，PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm） ；不存在理由如下：四边形 PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ若点 P 在ACB 的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM，CPM=PCM，PM=CM，四边形 PQCM

17、 是菱形，PQ=CQ，PB=CQ，PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm） ，PM=CQ=6+t（cm） ，AP=AB-PB=10-at（cm） ，即 at=6+t，9PMCQ，PM：BC=AP：AB，6+t 12 =10-at 10 ，化简得：6at+5t=30，把代入得，t=-6 11 ，不存在实数 a，使得点 P 在ACB 的平分线上【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用4.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：首先根据平行四边形的性质可得

18、AB=DC，ABDC，再根据平行线的性质可得B=DCF，即可证明ABEDCF，再根据全等三角形性质可得到结论解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DC，ABDC，B=DCF，在ABE 和DCF 中， ，ABEDCF（SAS） ，BAE=CDF点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明ABEDCF 的条件5.考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。分析： （1）首先连接 AG，由正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，易证得GAE=CAB=45，AE=AH，AB=AD，即

19、A，G，C 共线，继而可得HD=BE，GC= BE，即可求得 HD：GC：EB 的值；（2）连接 AG、AC，由ADC 和AHG 都是等腰直角三角形，易证得DAHCAG与DAHBAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB 的值；（3）由矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，由 DA：AB=HA：AE=m：n，易证得ADCAHG，DAHCAG，ADHABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得 HD：GC：EB 的值解答： 解：（1）连接 AG，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，GAE=CAB=45，AE=

20、AH，AB=AD，A，G，C 共线，ABAE=ADAH，HD=BE，AG= = AE，AC= = AB，GC=ACAG= AB AE= （ABAE）= BE，HD：GC：EB=1： ：1（3 分）（2）连接 AG、AC，ADC 和AHG 都是等腰直角三角形，AD：AC=AH：AG=1： ，DAC=HAG=45，DAH=CAG，（4 分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1： ，（5 分）DAB=HAE=90，10DAH=BAE，在DAH 和BAE 中，DAHBAE（SAS） ，HD=EB，HD：GC：EB=1： ：1；（6 分）（3）有变化，连接 AG、AC，矩形 AEGH 的顶点 E、H

21、 在矩形 ABCD 的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90，ADCAHG，AD：AC=AH：AG=m： ，DAC=HAG，DAH=CAG，（4 分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=m： ，（5 分）DAB=HAE=90，DAH=BAE，DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE，DH：BE=AD：AB=m：n，HD：GC：EB=m： ：n（8 分）6解: (1)(6 分)解法一：过 P 作 PEQC则 是等边三角形，AFPP、Q 同时出发、速度相同，即 BQ=APBQ=PF ,DBBD=DF = = = ,FPD03BD=DF=FA= AB= =2,316AP=2.