有理数知识点及经典题型总结讲义全.doc

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1、一对一个性辅导 1 第 1 讲 有 理 数 教学目标 1、掌握有理数的分类 ,学会把有理数对应的点画在数轴上; 2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法 ,会比较有理数的大小; 3、掌握有理数的大小比较; 4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则,并会灵活解题。 正数和负数 正数和负数的概念 负数:比 0 小的数 正数:比 0 大的数 0 既不是正数,也不是负数 注意 : 字母 a可以表示任意数 ,当 a表示正数时, -a是负数;当 a表示负数时, -a是正数;当 a表示 0时, -a 仍是 0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号 的数是负数,这种说法 是错误的 ,例如 +a,-a就不能做出简单

2、判断) 正数有时也可以在前面加“ +”,有时“ +”省略不写。所以 省略“ +”的正数的符号是正号 。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 ,比如: 零上 8表示为: +8;零下 8表示为: -8 3.0 表示的意义 0表示“ 没有”,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人; 0是正数和负数的分界线, 0既不是正数,也不是负数 。 有理数 1.有理数的概念 正整数、 0、负整数统称为整数( 0 和正整数统称为自然数 ) 正分数 和负分数统称为分数 正整数, 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 理解 :只有能化

3、成分数的数才是有理数。是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。 注意 : 引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像 -2,-4,-6,-8也是偶数, -1,-3,-5也是奇数。 2.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分 一对一个性辅导 2 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 ( 0 不能忽视 ) 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结: 正整数、 0统称为非负整数(也叫自然数) 负整数、 0统称为非正整数 正有理数、 0 统称为非负有理数 负有理数、 0 统称为非正有理数 数轴

4、 数轴的概念 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。 注意 :数轴是一条向两端无限延伸的直线;原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;同一数轴上的单位长度要统一;数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示, 0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但 数轴上的点不都表示有理数 ,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。( 如,数轴上的点不是有理数 ) 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较,右边的 数总比左边的数大; 正数都

5、大于 0,负数都小于 0,正数大于负数; 两个负数比较, 距离原点远的数比距离原点近的数小 。 4.数轴上特殊的最大(小)数 最小的自然数是 0,无最大的自然数; 最小的正整数是 1,无最大的正整数; 最大的负整数是 -1,无最小的负整数 一对一个性辅导 3 5.a 可以表示什么数 a0 表示 a是正数;反之, a是正数,则 a0; a0 时, -a0( 负数的相反数是正数 ) 当 a=0 时, -a=0,( 0 的相反数是 0) 考试常考:已知 a,b 互为相反数,立马要想到 a+b=0. 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律 :“ +”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“ -”号的

6、个数决定最后化简结果;即: “ -”的个数是奇数时,结果为负,“ -”的个数是偶数时,结果为正 。 练习 1. )213( )514( )5( )2( 绝对值 绝对值的几何定义 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 叫做 a的绝对值,记作 |a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身; 一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是 0. 可用字母表示为: 如果 a0,那么 |a|=a; 如果 a |a|=a ( 非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。 ) a 0, |a|=-a ( 非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。 ) 3.绝对值的

7、性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有 非负性 。所以, a 取任何有理数,都有 |a| 0。即 : 0的绝对值是 0;绝对值是 0的数是 0.即: a=0 |a|=0; 一个数的绝对值是非负数, 绝对值最小的数是 0.即: |a| 0; 任何数的绝 对值都不小于原数。即: |a| a; 绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若 |x|=a( a0),则 x= a; 互为相反数的两数的绝对值相等。即: |-a|=|a|或若 a+b=0,则 |a|=|b|; 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即: |a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; 若几个数的绝对值的和等于

8、 0,则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0,则 a=0 且 b=0。 ( 非负数的常用性质:若几个非负数的和为 0,则有且只有这几个非负数同时为 0) 一对一个性辅导 5 4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小:数 轴上的两个数相比较, 左边的总比右边的小 ; 利用绝对值比较两个负数的大小: 两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。 5.绝对值的化简 当 a 0 时, |a|=a ; 当 a 0 时, |a|=-a 6.已知一个数的绝对值,求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个

9、,它们互为相反数,绝对值为 0的数是 0, 没有绝对值为负数的数 。 例 1.已知 a =5, b =8,且 a+b = -(a+b),试求 a+b 的值。 练 习 2.已知 a =5, b =8,且 ab = -ab,试求 a+b 的值。 有理数的加减法 1.有理数的 加法法则 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 互为相反数的两数相加,和为零; 一个数与零相加,仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律: a+b=b+a 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时,一定

10、要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: 互为相反数 的两个数先相加 “ 相反数结合法 ”; 符号相同的两个数先相加 “ 同号结合法 ”; 分母相同的数先相加 “ 同分母结合法 ”; 一对一个性辅导 6 几个数相加得到整数,先相加 “ 凑整法 ”; 整数与整数、小数与小数相加 “ 同形结合法 ”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加 0后的和等于原数 。即: 当 b0 时, a+ba 当 b0 时, a+ba 当 b=0 时, a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为: a-b=a+(-b)。 5.有理数加减

11、法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。 在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如: (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法:按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5的和” 按运算意义读作“负 8减 7 减 6 加 5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: .把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减

12、法转换成加法) =-33+18-15-1+23 (省略加号和括号) =(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算) .把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法) =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号) =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则

13、进行运算) =7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论) .把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) 一对一个性辅导 7 -53 -21 +43 -52 +21 -87 原式 =(-53 -52 )+(-21 +21 )+(+43 -87 ) =-1+0-81 =-181 .既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-343 )+(-381 )-(-1032 )-(+1.25) 原式 =(+81 )+(+343 )+(-381 )+(+1032 )+(-141 ) =81 +343 -381 +1032 -141 =(

14、343 -141 )+(81 -381 )+1032 =221 -3+1032 =-3+13 =1061 .把带分数拆分后再结合(先拆分后结合) -351 +10116 -12221 +4157 原式 =(-3+10-12+4)+(-51 +157 )+(116 -221 ) =-1+154 +2211 =-1+308 +3015 = -307 .分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69 原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+ +(66-67-68+69) =0 .先拆项后结合 ( 1+3+5+7 +99) -( 2+4+6+8 +100) 一对一个性辅导

15、8 有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) 法则二:任何数同 0相乘,都得 0; 法则三:几个不是 0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因 数的个数是奇数时,积是负数; 法则四:几个数相乘,如果其中有因数为 0,则积等于 0. 2.倒数 乘积是 1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为 a a1 =1( a0),就是说 a 和 a1 互为倒数,即 a是 a1 的倒数, a1 是 a 的倒数 。 注意 : 0 没有倒数; 求假分

16、数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置; 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); 倒数等于它本身的数是 1或 -1,不包括 0。 考试经常考:已知 a,b 互为倒数,立马要想到 ab=1. 例 2.已知 a, b互为相反数, c, d互为倒数, x 的绝对值为 5试求下式的值: 199919982 )()()( cdbacdbax 3.有理数的乘法运算律 乘法交换律: 一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。 即 ab=ba 乘法结合律 :三个数相乘,先把

17、前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc). 乘法分配律 :一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 一对一个性辅导 9 ( 1)除以一个不等 0 的数,等于乘以这个数的倒数。 ( 2)两数相除,同号得正,异号得负,并 把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 0 5.有理数的乘除混合运算 ( 1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。 ( 2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照先乘除,后加减的顺序进行。 练习 3.快

18、速计算 ( 1) 61533 -减法没有结合律 ! ( 2) )41()52()3( -除法没有结合律 ! ( 3) )4(860 -除法没有分配律 ! ( 4) )31()2(6 -同一级运算时一定要从左向右 ! 有理数的乘方 1.乘方的概念 一对一个性辅导 10 求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 na 中, a 叫做底数, n 叫做指数。 2.乘方的性质 ( 1)负数的奇次 幂是负数,负数的偶次幂的正数。 ( 2)正数的任何次幂都是正数, 0 的任何正整数次幂都是 0。 练习 4: 计算: 2)2( 23 2)32( 22 32 322 2008)1( 练习 5

19、 n 为正整数时, n)1( + 1)1( n 的值是( ) A 2 B -2 C 0 D不能确定 练习 6: 1.计算: 81441 22 2.已知 042 2 yx ,求 yx 的值。 练习 7: 观察下列算式发现规律: 771 , 4972 , 34373 , 24017 4 , 1680775 ,11764976 ,用你所发现的规律写出: 20117 的末位数字是 _。 练习 8: 某校初一年级共有 8 个班,以每班 65 人为标准,超过的人数记为正数,不足的人数记为负数,统计情况记录如下: -1, -6, +2, -3, +4, 0, -7, +3,求该校初一年级总人数。 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;

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