1、 1 自然指数和对数为背景的压轴题解法 注 : 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。 根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！ 源于课本 ： 1-1 课本 99 页 B组 1 题或课本 2-2第 32 页 B组 1题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证： xex 1 ； 【探究拓展】 探究 1：证明不等式 xex 1 * 变式 1： 设 axexf x )( ，其中 ,Ra 若对于任意 Rx ， 0)( xf 恒成立，则参数 a 的取值范围是 _ 1a 变式 2： 设 1)( axexf x
2、 ，其中 Ra ，若对于任意 Rx ， 0)( xf 恒成立，则参数 a 的取值范围是 _ 1a 变式 3： 设 1)( xaexf x ，其中 Ra ，若对于任意 Rx ， 0)( xf 恒成立，则参数 a 的取值范围是 _ 1a 点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦 . 探究 2：不等式 xex 1 *有哪些等价变形并在坐标系中画图？ 变形 1： xe x 1 变形 2： 1 11xexx 变形 3： )1()1ln( xxx 变形 4： )0(1ln xxx * 变形 5： )0(11ln xxx 变形 6： )0(11ln xxx 归一：我们只要通过画图并记住 xex 1 *,
3、 )0(1ln xxx *即可，考试出现了其它变形换元转化为这 2 个不等式即可。 2 探究 3：观察： “插中”不等式（当然是我编的名字） 变形 4： )0(1ln xxx * 变形 6： )0(11ln xxx * 两式相加除以 2， 的大小并证明：还是右边试比较：左边 )1(21ln xxx 结论：“插中”不等式 *:若 01x，则 11ln .2xxx；若 1,x 则 11ln ;2xxx请在坐标系中画出图像：这个图像很漂亮，容易记住。 点评：数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到，往后看 . 总结： xex 1 *, )0(1ln xxx *“插中”不等式 *
4、，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反 比例函数进行放缩处理。 题型一：化归为指数型 xex 1 放缩 例 1（ 2010 年全国）设函数 21xf x e x ax 。（ 1）若 0a ，求 fx的单调区间；（ 2）若 0x 时 0fx ，求 a 的取值范围。（提示： 1xex） 解：（ 1） 0a 时， ( ) 1xf x e x ， ( ) 1xf x e. 当 ( ,0)x 时， ( ) 0fx ；当 (0, )x 时， ( ) 0fx .故 ()fx在 ( ,0) 单调减少，在 (0, ) 单调增加 （ 2） ( ) 1 2xf x e ax 由（ I）知
5、1xex ，当且仅当 0x 时等号成立 .故 3 ( ) 2 (1 2 )f x x a x a x ， 从而当 1 2 0a，即 12a 时， ( ) 0 ( 0)f x x，而 (0) 0f ， 于是当 0x 时， ( ) 0fx . 由 1 ( 0)xe x x 可得 1 ( 0)xe x x .从而当 12a 时， ( ) 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )x x x x xf x e a e e e e a ， 故当 (0,ln2 )xa 时， ( ) 0fx ，而 (0) 0f ，于是当 (0,ln2 )xa 时， ( ) 0fx . 综合得 a 的取值范围为 1( , 2
6、 . 练习 1： （ 2012 年全国）已知函数 121 1 0 2xf x f e f x x ，（ 1）求 fx的解析式 及单调区间；（ 2）若 21 ,2f x x ax b 求 1ab的最大值。（很简单，省略） 练习 2：（ 2013 年全国）已知函数 ln .xf x e x m 当 2m 时，证明 0.fx （很简单，省略） 练习 3：（ 2016 年广一模）已知函数 3 , l n 1 2xmf x e x g x x 。 1）若曲线 y f x 在点 0, 0f 处的切线斜率为 1，求实数 m 的值。 2）当 1m 时，证明： 3f x g x x。（ 2016 年广二模也有用
7、到） 练习 4：已知函数( ) 1 ( 0 , )xf x e a x a e 为 自 然 对 数 的 底 数. 4 求函数()fx的最小值； 若 0对任意的xR恒成立，求实数 a的值； 在的条件下，证明：1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( * )1n n n nn n e nn n n n e N其 中. 解：（ 1）由题意0, ( ) xa f x e a ，由( ) 0xf x e a 得lnxa. 当( ,ln ) 时 , ( )fx ；当(ln , ) 时，) 0fx . ()fx在( ,ln )a单调递减，在(ln , )a单调 递增 . 即 在ln处取得极小值，且为最小
8、值， 其最小值为ln( l n ) l n 1 l n 1 .af a e a a a a a （ 2）( ) 0对任意的xR恒成立，即在xR上，min( ) 0fx. 由（ 1），设( ) ln 1.g a a a a ，所以( ) 0ga. 由( ) 1 ln 1 ln 0a a a 得1a. ()ga在区间(0,1)上单调递增，在区间(, )上单调递减， 在a处取得极大值(1) 0g . 因此( ) 0的解为1，a. （ 3）由（ 2）知，因为a，所以对任意实数x均有1xex 0，即1 xxe . 令kx n( * , 0 , 1 , 2 , 3 , 1 )n k n N ,，则01 k
9、nk en .(1 ) ( )kn n knee . ( 1 ) ( 2 ) 2 11 2 1) ( ) ( ) ( ) 1n n n n n nnn e e e en n n n 11111 1 1neee e e . 5 练习 5：已知函数 ()fx= axex，其中 a 0. （ 1）若对一切 x R， ()fx 1 恒成立，求 a 的取值集合 . （ 2）在函数 ()fx的图像上取定两点 11( , ( )A x f x ， 22( , ( )B x f x 12()xx ，记直线 AB的斜率为 K， 问：是否存在 x0（ x1， x2），使 0()f x k 成立？若存在，求 0x
10、的取值范围；若不存在，请说明理由 . 【答案】（ 1）若 0a ，则对一切 0x ， ()fx 1axex ，这与题设矛盾，又 0a ， 故 0a . 而 ( ) 1,axf x ae 令 11( ) 0 , ln .f x x aa 得 当 11lnx aa 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递减；当 11lnx aa 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递增，故当 11lnx aa时， ()fx取最小值 1 1 1 1 1( ln ) ln .f a a a a a 于是对一切 , ( ) 1x R f x恒成立，当且仅当 1 1 1ln 1a a a. 令 ( )
11、ln ,g t t t t 则 ( ) ln .g t t 当 01t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递增；当 1t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递减 . 故当 1t 时， ()gt 取最大值 (1) 1g .因此，当且仅当 1 1a 即 1a 时，式成立 . 综上所述， a 的取值集合为 1 . （ 2）由题意知， 21212 1 2 1( ) ( ) 1.a x a xf x f x eek x x x x 令 2121( ) ( ) ,a x a xax eex f x k aexx 则 1 21()1 2 121( ) ( ) 1 ,ax a x xe
12、x e a x xxx 2 12()2 1 221( ) ( ) 1 .ax a x xex e a x xxx 令 ( ) 1tF t e t ，则 ( ) 1tF t e . 6 当 0t 时， ( ) 0, ( )F t F t 单调递减；当 0t 时， ( ) 0, ( )F t F t 单调递增 . 故当 0t ， ( ) (0) 0,F t F即 1 0.tet 从而 21() 21( ) 1 0a x xe a x x ， 12() 12( ) 1 0 ,a x xe a x x 又 1210,axexx 2210,axexx所以 1( ) 0,x 2( ) 0.x 因为函数 (
13、)yx 在区间 12,xx 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 0 1 2( , )x x x 使0( ) 0,x 2( ) 0 , ( )axx a e x 单调递增，故这样的 c 是唯一的，且 21211 ln ()ax axeec a a x x .故当且仅当212211( ln , )()ax axeexxa a x x 时， 0()f x k . 综上所述，存在 0 1 2( , )x x x 使 0()f x k 成立 .且 0x 的取值范围为 212211( ln , )()ax axee xa a x x. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等
14、，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法 .第一问利 用导函数法求出 ()fx 取最小值1 1 1 1 1( ln ) ln .f a a a a a对一切 x R， f(x) 1 恒成立转化为 min( ) 1fx ，从而得出 a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断 . 练习 4：（ 2012 年山东）已知函数 lnxxkfx e，曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线与 x 轴平行。 1）求 k 的值； 2）求 fx的单调区间； 3）设 2 ,g x x x f x 其中 fx为
15、fx的导函数，证明：对任意 20, (x) 1 exg 。（答案略） 例 2、 (2011 年湖北）已知函数 l n 1 , 0 , .f x x x x 求函数的最大值； 2）设 , 1, 2,.,kka b k n均为正数，证明：若 1 1 2 2 1 2. . . . . .n n na b a b a b b b b ，则 12. 1nbbb na a a （提示： ln 1xx） 解：（ 1） ()fx的定义域为 (0, ) ，令 / 1( ) 1 0 1f x xx ， ()fx在 (0,1) 上递增，在 (1, ) 上递减，故函数 ()fx在 1x 处取得最大值 (1) 0f （
16、 2）由（）知当 (0, )x 时有 ( ) (1) 0f x f即 ln 1xx， 7 ,0kkab ，11l n ( 1 ) , ( 1 , 2 , ) l n ( 1 )knn bk k k k k k kkkb a b a k n a b a 11nnk k kkka b b1 ln 0kn bkk a 即1 2 1 21 2 1 2l n ( ) 0 1nnbbb b b ba a a a a a 练习 1:（ 2006 年全国）函数 1 ln 1f x x x ，若对所有的 1x 都有 f x ax 成立，求实数 a 的取值范围。（很简单，省略） 练习 2： 已知函数 ( ) (
17、1) ln 1f x x x x . （ 1）若 2( ) 1xf x x ax ，求 a 的取值范围； （ 2）证明： ( 1) ( ) 0x f x . 解：（） 11( ) l n 1 l nxf x x xx ， ( ) ln 1xf x x x , 题设 2( ) 1xf x x ax 等价于 lnx x a . 令 ( ) lng x x x，则 1( ) 1gx x 当 01x ， ( ) 0gx ；当 1x 时， ( ) 0gx ， 1x 是 ()gx的最大值点， ( ) (1) 1g x g 综上， a 的取值范围是 1, . ( )有（）知， ( ) (1) 1g x g
18、即 ln 1 0xx . 当 01x 时， ( ) ( 1 ) l n 1 l n ( l n 1 ) 0f x x x x x x x x ； 当 1x 时， ( ) ln ( ln 1 )f x x x x x 1ln (ln 1)x x x x 11ln (ln 1)xx xx 8 0 练习 3：（ 2014 年陕西）设函数 l n 1 , , 0 ,f x x g x x f x x 其中 fx是 fx的导函数。若 f x ag x 恒成立，求实数 a 的取值范围。（很简单，省略） 练习 4： （ 2011浙江理 22,替换构造） 已知函数( ) 2 ln( 1 ) ( 0)f x a
19、 x x a . 求()fx的单调区间和极值； 求证：( 1 )l g l g l g4 l g l g ( 1 )23nnnne e ee e nn *nN. 解：定义域为 1, ,2( ) 11 afx x. 令( ) 0 1 2 1f x x a ，令( ) 0 2 1f x a 故()fx的单调递增区间为 1,2 1a，()fx的单调递减区间为 2 1,a 的极大值为2 ln 2 2 1a a a证明：要证( 1 )l g l g l g4 l g l g ( 1 )nnnne e ee e nn 即证( 1 )1 1 1 l g ( 1 )4 2 3 l gnnnnenne ， 即证
20、( 1 )1 1 14 l n ( 1 )23nnnnn 即证1 1 11 3 l n( 1 ) ( 1 ) nnnn 令12a，由可知()fx在(0, )上递减，故( ) (0) 0f x f即ln(1 )xx，令*1 ()x n Nn，故1 1 1l n( 1 ) l n l n( 1 ) l nn nnn n n 累加得，1 1 1ln( 1 ) 1 23n n 1 1l n( 1 ) l n( 1 ) 1 ( 1 ) 3nn en n n n 9 故1 1 1 11 3 l n( 1 ) ( 1 )23 nnnn ，得证 法二：1(1 )nn=0 1 2 21 1 1nn n n n
21、nC C C Cn n n 1 1 12 2 ! 3! !n 21 12 2 2 2 1111(1 )1222 3 31 212nn ，其余相同证法练习 5： 已知函数.1)1()1ln()( xkxxf（ 1）求函数)(xf的极值点。 （ 2）若0)( xf恒成立，试确定实数k的取值范围。 （ 3）证明：)1,(6 )1)(4(1ln15 4ln8 3ln3 2ln 2 nNnnnn n. 解： (1)(xf的定义域为（ 1， +），kxxf 11)(/. 当0k时，0)(,1 / xfx，则)(xf在（ 1， +）上是增函数。 )(xf在（ 1， +）上无极值点 . 当0k时，令0)(/
22、xf，则k11. 所以当)11,1( kx 时，0111 111)(/ kkkxxf， )(xf在),1( k上是增函数， 当),11( kx时，0111 111)(/ kkkxxf， )(xf在),11 k上是减函数。 kx 1时，)(xf取得极大值。 综上可知，当0k时，)(f无极值点； 当k时，)(xf有唯一极值点k11. (2)由 (1)可知，当0k时，01)2( kf，0)xf不成立 .故只需考虑0k. 10 由 (1)知，kkfxf ln)11()( max ， 若0)( xf恒成立，只需0ln)11()( max kkfxf即可， 化简得：1k,所以 的取值范围是 1， +） .
23、 (3)由 (2)知，.11ln1 ，xxx：k 时理解得当2233 )1)(1()1)(1(1ln nnnnnnn. 3 11ln2 nn n )1,( nNn)1,(6 )1)(4()1(2 )13(1)1543(311ln15 4ln8 3ln3 2ln 2nNnnnnnnn n 练习 6： 已知函数( ) ln( 1 ) ( 1 ) 1.f x x k x 求函数()fx的单调区间； 若 0恒成立，试确定实数k的取值范围； 证明：当2x时，ln( 1) 2xx ；*1l n ( 1 ) ( , 1 )14nii n n n N ni . 解：函数的定义域为(1, )中，1() 1f x
24、 kx . 当k 0时，( 0fx ，则()在(1, )上是增函数 . 当0时， 在1,1 )k上是增函数，在1( , )k 上是减函数 . 由知，当k 0时， 在(1, )上是增函数 .而(2) 1 0fk ，()fx 0不成立 . 当0时，由知m a x 1(1 ) lny f kk ，要使()fx 0恒成立，则lnk 0，解得k 1. 由知当1k时，有()fx在(, )上恒成立，且 在(2, )是减函数 . 又2) 0f ，当2x时，( (2) 0f x f，即ln( 1) 2 . 令21,xn则22ln 1,nn即2 ln ( 1)( 1)n n n ，从而ln 112nnn . l n 2 l n 3 l n 4 l n 1 2 3 1 ( 1 )3 4 5 1 2 2 2 2 4n n n nn 成立 .
