1、1 离散数学 课程学时： 48讲 授：杨绍禹一阶逻辑n 例： 苏格拉底论断q 前提n “所有的人都是要死的 ”n “苏格拉底是人 ”q 结论n “所以苏格拉底是要死的 ”n 命题逻辑限定原子命题是不能细分的整体q 命题逻辑的局限性PQRP QR不是命题演算的有效推理问题的提出： (为什么要对原子命题进一步细分 ?)？n 例q 1：小张是大学生q 2：小李是大学生q Q1： 2大于 3q Q2： 6大于 4n 不同原子命题之间是有 内在联系 的，但命题逻辑无法研究这种内在联系n 解决问题的方法q 分析原子命题， 分离其主语和谓语q 考虑 一般和个别，全称和存在刻划个体的性质刻划两个个体的关系原子
2、命题不能细分吗？ (能否 对原子命题进一步细分 ?)谓词 和量词n 4.1 谓词q 谓词的概念和表示 (如何 对原子命题进一步细分 ?)n 在原子命题中，用来刻划一个个体的性质或几个个体之间关系的成分称为 谓词 。n 刻划一个个体性质的词称为 一元谓词 ；刻划 n个个体之间关系的词称为 n元谓词。 谓词常用大写英文字母表示。n 谓词与个体词一起才能表示命题。用 A(a)表示 “a具有性质 A”(或 “a属于 A类 ”)，用 B(a1,a2,a n)表示 “a1,a2,a n关系满足 B”。q 个体n 能够独立存在的事物，思维的对象n 通常用小写英文字母 a、 b、 c、 .表示 个体常量n 用
3、小写英文字母 x、 y、 z.表示任何个体，则称这些字母为 个体变元三个要件以命题逻辑为基础谓词命名 式(谓词填式 )(a) 5是质数 (b) 张明生于北京 (c) 7=32 P(x)： x是质数G(x, y)： x生于 y ， a：张明， b：北京H(x, y, z) ： x=yzP(5)G(a,b)H(7,3,2)谓词 个体词 谓词命名式 (谓词填式 )N元谓词填式中变元的次序很重要例思考： xyz该怎么表示？练习1.小张不是工人2.张三和李四是表兄弟3.小莉是非常聪明和美丽的4.实数 x大于实数 y5.大灰狼偷吃了小羊羔 W(a)W(x):x是工人a: 小张 P(a,b)P(a) Q(a
4、)R(x):x是实数G(x,y): xy G(R(x),R(y)?R(x) R(y) G(x,y)否定命题P(x) Q(y) E(x,y)P1(x) P2(x) P3(x) Q1(y) Q2 (y) E(x,y)问题： R(x,y):x和 y是实数 ？分解到词n 谓词常元q 一个字母代表一特定谓词 , 则称此字母为 谓词常元 (量 )。例如 P(x)表示 “x是质数 ”这种模式的判断 ,P就是谓词常元。n 谓词变元q 若字母代表任意谓词 , 则称此字母为 谓词变元n 论域q 谓词命名式中个体变元的 取值范围q 个体域 与 全总域q 空集 不能作为论域谓词命题函数n 谓词命名式 不是 命题q 若
5、谓词是常元q 个体词是常元q 谓词命名式才成为一个命题n 命题函数q 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命题函数 ，表示为 P(x1,x2, xn)。由一个或若干个简单命题函数以及逻辑联结词组成的命题形式称为 复合命题函数q n=0时n 命题变元n 例q A(x)： x身体好B(x)： x学习好C(x)： x工作好q 表示 “如果 x身体不好，则 x的学习与工作都不会好 ”的复合命题函数q A(x)( B(x) C(x)n 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示 “x是质数 ”，则 P(1)为 F， P(2)为 T。n 除个体指派外，还常用 “量 ”作出判断，如： “所有的人 都是要死的 ”、 “有的数是质数 ”。这种表述在 数理逻辑目标语言中需要引入 量词，当然 量化与 个体指派之间是有联系的 ，数理逻辑中常用 量词有两个 全称量词 和 存在量词 。4.2 量词n 例q “所有的正整数都是素数 ” q “有些正整数是素数 ”n 假设q 只有两个正整数 a和 bq 个体域为 a,bq P(x)： x是素数P(a) P(b)P(a) P(b)
