1、1原子物理学习题解答刘富义 编临沂师范学院物理系理论物理教研室2第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的 粒子是放射性物质镭 放射的，其动能为 电子伏C67.810特。散射物质是原子序数 的金箔。试问散射角 所对应的瞄准距离 多大？79Z150b解：根据卢瑟福散射公式： 20 02 244KMvctgbeZe得到：米2 192150 152619079(.6)3.704(48.50(7.8)Zet ctgbK 式中 是 粒子的功能。21Mv1.2 已知散射角为 的 粒子与散射核的最短距离为，试问上题 粒子与散射的金原子核20 21()()4sinmZerv之间的最短距离 多大？mr解：将
2、 1.1 题中各量代入 的表达式，得：mr2min0211()()4sinZerMv19967.01().81sin75米43.021.3 若用动能为 1 兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个 电荷而质量是质子e的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为 。当入射粒子的动能全部转化为两180粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。根据上面的分析可得：，故有：220min14pZeMvKr 2min04pZerK米1929 1367(.)0.4
3、013由上式看出： 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核minr代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为 米。13.401.4 钋放射的一种 粒子的速度为 米/秒，正面垂直入射于厚度为 米、71.59 710密度为 的金箔。试求所有散射在 的 粒子占全部入射粒子数41.93203/公 斤 米 9的百分比。已知金的原子量为 。7解：散射角在 之间的 粒子数 与入射到箔上的总粒子数 n 的比是：d:dndnNt其中单位体积中的金原子数： 0/AuAumN而散射角大于 的粒子数为：092dnntd所以有： 2dnNt 221800 930 cos12()()4inAuZet d
4、Mu 等式右边的积分： 1801809933cossi221inndId 故 22001()()4AuNdnZetMu6408.58.5即速度为 的 粒子在金箔上散射，散射角大于 以上的粒子数大约是7190/米 秒 90。48.51.5 粒子散射实验的数据在散射角很小 时与理论值差得较远，时什么原因？15（ ）答： 粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而 粒子通过金属箔，经4过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的 角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以， 粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远
5、。1.6 已知 粒子质量比电子质量大 7300 倍。试利用中性粒子碰撞来证明： 粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。证明：设碰撞前、后 粒子与电子的速度分别为： 。根据动量守恒定律，得：,0ev evmMv由此得： (1) 7301ev又根据能量守恒定律，得： 222emvM（2） ev将（1）式代入（2）式，得：整理，得： 0cos7302)1730()1730( 22 vvv) 2vv（上 式 可 写 为 ：即 粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细 粒子束射到单位面积上质量为的银箔上， 粒子与银箔表面成 角。在离 L=0.12 米处放一窗口22/1
6、05.米公 斤 60面积为 的计数器。测得散射进此窗口的 粒子是全部入射 粒子的百万分之5.6米 29。若已知银的原子量为 107.9。试求银的核电荷数 Z。解：设靶厚度为 。非垂直入射时引起 粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的t厚度 ，而是 ，如图 1-1 所示。t60sin/因为散射到 与 之间 立体d角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为：(1)dnNt而 为：60t,t2060图 1.1225（2）sin)()41(4220dMvzed把（2）式代入（1）式，得：（3）2sin)(41420dvzeNtnd式中立体角元 002 2,/6i/,/ ttLN 为原子密度。 为单
7、位面上的原子数， ，其中 是单位t 10 )/(NAmNgg面积式上的质量； 是银原子的质量； 是银原子的原子量； 是阿佛加德罗常数。AgmAg将各量代入（3）式，得： 2sin)()41(32420dMvzeNndAg由此，得：Z=471.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为米的球形原子内，如果有能量为 电子伏特的 粒子射向这样一个“原子”，试通过10 610计算论证这样的 粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于 的散射。这 09个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略） 。解：设 粒子和
8、铅原子对心碰撞，则 粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定： 电 子 伏 特焦 耳 316022 10.278.34/1 RZeMv由此可见，具有 电子伏特能量的 粒子能够很容易的穿过铅原子球。 粒子在到达原6 子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：。可见，原子表面处 粒子所受的斥力最大，302202 4/4/rZeFZeF和越靠近原子的中心 粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使 粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设 粒子擦原子表面而过。此时受力为 。可以认为 粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷202/Re的作用
9、，即作用距离为原子的直径 D。并且在作用范围 D 之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。6根据上述分析，力的作用时间为 t=D/v, 粒子的动能为 ，因此，KMv21，所以，MKv/2KDvt2/根据动量定理： 000 MpFdt而 220220 4/4/ RtZetRZet 所以有： v由此可得： tev202/粒子所受的平行于入射方向的合力近似为 0，入射方向上速度不变。据此，有：3 22202104.24/4/MvRDZevRtZvtg 这时 。弧 度 ， 大 约 是很 小 ， 因 此 .81.3t这就是说，按题中假设，能量为 1 兆电子伏特的 粒子被铅原子
10、散射，不可能产生散射角 的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当 粒子无限靠近原子核09时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生 的散射，甚至会产生09的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。0187第二章 原子的能级和辐射2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。解：电子在第一玻尔轨道上即年 n=1。根据量子化条件，2hnmvrp可得：频率 212112maa赫 兹508.6速度： 米/ 秒611 08.2/hv加速度： 2222 149秒米avrw2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。解：电离能为
11、，把氢原子的能级公式 代入，得：1Ei 2/nRhcEn=13.60 电子伏特。RhchcREHi)1(2电离电势： 伏特60.3eVii第一激发能： 电子伏特20.16.343)21( RhchcREHi第一激发电势： 伏特0.1eV2.3 用能量为 12.5 电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？解：把氢原子有基态激发到你 n=2,3,4等能级上去所需要的能量是：其中 电子伏特)1(2nhcREH6.13HhcR8电子伏特2.10)(6.13E电子伏特2电子伏特8.)4(.23其中 小于 12.5 电子伏特， 大于 12.5 电子伏特。可见
12、，具有 12.5 电子伏特能量21E和 3E的电子不足以把基态氢原子激发到 的能级上去，所以只能出现 的能级间的跃迁。4n3n跃迁时可能发出的光谱线的波长为： ARRARRHHHHHH102598)3(12543)(656/5)12(32212.4 试估算一次电离的氦离子 、二次电离的锂离子 的第一玻尔轨道半径、电离e iL电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。a) 氢原子和类氢离子的轨道半径： 31,21,1,05297.43,201212 LiHiHe ZrZrZHZmehanr
13、 e径 之 比 是因 此 ， 玻 尔 第 一 轨 道 半 ；，； 对 于； 对 于是 核 电 荷 数 ， 对 于 一 轨 道 半 径 ；米 ， 是 氢 原 子 的 玻 尔 第其 中 b) 氢和类氢离子的能量公式： 3,1,)4(22120nEhnZmeE其中 基 态 能 量 。电 子 伏 特 ， 是 氢 原 子 的6.3)(2019电离能之比： 90,4022HLiHLiHeHeZEc) 第一激发能之比： 9123412212212122 EEEHLiiHed) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：，)(221nRZv 3,211)2(),(nn其中 是里德伯常数。3204)(hme氢原子赖曼系
14、第一条谱线的波数为： HHRv1)21(1相应地，对类氢离子有： LiLi HeHeRv1221 1221 )1(3)(因此， 9,411HLiHe2.5 试问二次电离的锂离子 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能i使处于基态的一次电离的氦粒子 的电子电离掉？e10解： 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：iL的电离能量为：eHLiHeHeLiHeLiee MmRhvhcRc/162714)(4由于 ，ieLieM/, 所 以从而有 ，所以能将 的电子电离掉。Heiv2.6 氢与其同位素氘（质量数为 2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（ ）光
15、谱线之间的波长差 有多大？已知氢的里德伯常数，氘的里德伯常数 。1709658.1米HR 170942.1米DR解： ，)32(HH5/6，)1(12DRDR/AHH79.1)(5362.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素 ”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长 为多少 ？A解： RmRRe 8341)21(A23009738米2.8 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道，发射光子的频率 。当 n1n时光子频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。证明：在氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为：
