1、毕业论文开题报告理论物理高阶拉格朗日密度的表面项和运算技巧的探索一、选题的背景与意义自然界中存在着许多不随时间演化，或称守恒的量，这是为大量实验所证实了的。因此，在以场为出发点构造描述物理体系的拉格朗日量时，要能正确地反映出体系的守恒律，和动力学方程。而在任意D维区间内应用最小作用量原理求解动力学方程时，区间边界上都会产生一个D1维曲面积分，而当区间的范围趋于无穷时，这一项往往是零，所得到的方程也就是该维度下的引力场方程，所谓动力学方程表面项（以后简称之为表面项）就是指在有限区间内，这项不为零的D1维曲面积分。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题我所研究的是处理场论中边界条件下的表面项问题在无
2、界空间中对此函数做变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间中对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。对于任意的拉格朗日函数密度求变分,AAAAAAALLLLLL0344XDLXDLLXDLIVAVAAV则式中AL将产生表面项，它使得拉格朗日方程在边界上不成立。为了能够在有界空间中得到拉格朗日方程，我们必须对作用量积分进行修改在拉格朗日函数密度体积分的基础上添加一个面积分，以抵消多余出来的边界积分，即令,ABB其中VVXBDXLDI34XDLXBDVAV33即VAAXDLLI4B即为表面项对于某些情况，表面项并不存在，因为它并不是某个二元函数的全微分的形式，但是选择一定的边界条件，却可以将二元拉
3、格朗日函数密度，在边界上变为一元的函数，这样就可以仅通过一重积分的手段求得。假设,AAGL很显然，不存在这样的函数,ABB，使得,AAAGBBB但是如果我们施加DIRICHLET边界条件,|4321XXXXFABOUNDARYA则在边界上，0A，于是有,AAAAFGDFDBGB这样便得到DFGBA,而边界条件由决定于边界上的动力学方程（EOM）随后我便研究了一个简单的实例来说明这个问题在量子场论中常用到的KLEINGORDON方程02MAA（EOM）它的拉格朗日密度为222121MLAAAAAGL,ABOUNDARYAF|则AAFDBVAVAAXDFXDMI34222121由EOM可知41XI
4、KXIKEEFKKIMKBOUNDARY|02241接下来我还要再继续研究，因为我们至少知道，DIRICHLET条件只是一种特殊的边界条件，它对应于ABOUNDARYAF|10，00的情况于是我下一步将去讨论更一般的情况在边界条件为ABOUNDARYAAAF|210时的表面项问题这项研究是有意义的，因为我们知道，在凝聚态物理中有时会用到高阶的拉格朗日函数,LL这也必将产生高阶的表面项问题例如对于含有场量二阶微分的拉格朗日函数,BAALL作用量变分4430AABMMAABBBAMAABABLLLILDXDXLLLD此时如果施加适当的边界条件，对于问题的解决时有帮助的。三、研究的方法与技术路线首先
5、，我们知道对于某些情况，表面项并不存在，因为它并不是某个二元函数的全微分的形式，但是选择一定的边界条件，却可以将二元拉格朗日函数密度，在边界上变为一元的函数，这样就可以仅通过一重积分的手段求得。假设,AAGL很显然，不存在这样的函数,ABB，使得,AAAGBBB但是如果我们施加DIRICHLET边界条件,|4321XXXXFABOUNDARYA则在边界上，0A，于是有,AAAAFGDFDBGB这样便得到DFGBA,沿着这样的思路我们将把二阶甚至高阶的边界项求出来。四、研究的总体安排与进度1阅读相关文献和书籍，并在数据库中搜索有关信息。保证一边学习相关的基础理论，一边与该领域的前沿保持联系并尽量
6、靠拢。2时常和导师进行沟通，积极思考，遇到新的问题不回避，要敢于解决，科学研究的结果往往是未定的，所以要做好随时调整科研方案的准备。3为论文答辩做好演示文稿。尽量在下学期开学之前完成论文初稿，在下学期开学时把论文拿给导师，之后对论文进行反复修改和补充，在期中之前完成论文，确保在答辩之前完成答辩的一切准备。五、主要参考文献1王正行简明量子场论北京大学出版社2008042MICHAELEPESKIN,DANIELVSCHROEDERANINTRODUCTIONTOQUANTUMFIELDTHEORYOCTOBER17,20053WALDRMSOMEPROPERTIESOFNOETHERCHARGE
7、ANDAPROPOSALFORDYNAMICALBLACKHOLEENTROPYARXIVGRQC/9403028V115MAR19944SKACHRU,XLIUANDMMULLIGAN,GRAVITYDUALSOFLIFSHITZLIKEFIXEDPOINTS,PHYSREVD782008106005,ARXIV080817255MTAYLOR,NONRELATIVISTICHOLOGRAPHY,ARXIV081205306RMANN,LIFSHITZTOPOLOGICALBLACKHOLES,ARXIV090511367GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,BLACK
8、HOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIMESWITHARBITRARYUDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV081250888GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,THERMODYNAMICSOFBLACKBRANESINASYMPTOTICALLY9周邦融量子场论高等教育出版社20070910李书民电动力学概论中国科学技术大学出版社11UDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV0812508812YLI,TMA,RBTAO,ARXIV0707147213GWGIBBONSANDSWHOWKING,PHYSREV,D15,27511977
