1、毕业论文 文客久久 本科 毕业设计 (论文 ) 题 目： 自适应数值积分算法及其程序设计 学 院： 学生姓名： 专 业： 信息与计算科学 班 级： 指导教师： 起 止 日期： 毕业论文 文客久久 摘要 复化求积公式采用等距节点，其积分近似值的误差在积分区间内是均匀分布的，而自适应积分算法是一种通过变步长来提高精度的算法 . 它 将被积函数在数值变化大的子区间上分的细些 , 函数值变化小的子区间上分的粗些 , 根据各子区间不同的函数波动程度分别给予处理 , 以提高计算效率 . 本文介绍了三种自适应积分算法 : 自适应 Simpson, 梯形及高斯求积公式 , 并给出 Matlab 程序和 数值结
2、果 , 通过比较来说明自适应算法的有效性 . 结果表明当近似值精度要求相同时 , 复合积分算法的计算量比自适应算法更大 ; 自适应 Simpson公式 , 高斯公式的计算量比自适应梯形公式更小 . 关键词 : 数值积分 ; 自适应积分 ; Simpson 公式 ; 梯形公式 ; 高斯公式 毕业论文 文客久久 Adaptive Methods for Integral and Its Programming Abstract The composite formulas require the use of equally spaced nodes and then the approximat
3、e error is to be evenly distributed in the whole interval of integration, while adaptive algorithm adapt the variable step size so as to increase the accuracy of the approximation. For adaptive algorithm, a smaller step size is needed for the large-variation regions than for those with less variatio
4、n. It deals with different subintervals of functional variation to improve computing precision. In this thesis, three adaptive algorithms, programming language for the algorithms and numerical examples are presented. Numerical results show that the adaptive methods are more effective than the compos
5、ite formulas and as the approximation accuracy is same, the composite formulas require more number of function evaluations than adaptive methods, and those of adaptive Simpson rule and adaptive Gauss-Legendre rule are less than adaptive trapezoidal rule. Keywords: Numerical integration; Adaptive int
6、egral; Simpson rule; Trapezoidal rule; Gauss-Legendre rule 毕业论文 文客久久 目录 摘要 . Abstract . 1 引言 . 1 2 数值积分的基本知识 . 2 2.1 数值积分的基本知识 . 3 2.2 代数精 度 . 4 2.3 复合数值积分公式 . 4 2.4 求积 Gauss 公式 . 5 3 自适应积分算法 . 7 3.1 自适应 Simpson积分算法 . 7 3.2 自适应梯形公式 . 10 3.3 自适应 Gauss-Legendre 积分算法 . 12 4 数值例子及 Matlab 程序实现 . 16 5 小结
7、. 19 参考文献 . 20 致谢 . 21 毕业论文 文客久久 1 引言 在科学和工程问题中 , 经常用到定积分的计 算 , 通常 在 计算定积分时 , 人们首先考虑的计算方法是应用牛顿 -莱布尼茨公式 , 若被积函数简单时可以用它解决 . 可是当我们遇到 ()fx很复杂或是测量或数值计算给出的数据表时又或者找不到用初等函数表示其原函数时 , 只能借助数值积分方法求满足精度要求的近似值 . 而数值积分方法好坏的标准是精度高 , 计算量小 , 这里的计算量主要依赖于计算函数值的个数多少 . 目前已有 各种 Newton-Cotes 求积公式以及复合的 Newton-Cotes 求积公式 . 复
8、合的求积方法比一般的求 积方法得到的效果更精确 . 复合求积公式采用等距节点，其逼近误差在积分区间是均匀分布的 . 当积分区间既包含大的函数值变化子区间又包含小的函数值变化子区间时，用复合求积公式是不合适的 . 为了提高算法的计算效率 , 将被积函数在数值变化大的子区间上分的细些 , 函数值变化小的子区间分的粗些 , 这就是自适应积分算法的思想 . 自适应 Simpson数值求积公式是由 G. F. Kuncir首先于 1962年在数值积分方法中提出的 . 2000年 , Walter Gander 和 Walter Gautschi 发表了自适 应积分再谈 , 文章介绍了一种基于四点 Gau
9、ss-Lobatto求积和两个连续型 Kronrod公式对 Gauss-Lobatto求积的扩展的新的求积方法 . 2006年 , 胡海良在 基于正交有理函数的求积公式 中提出了 基于正交有理函数的有理 Gauss型求积公式 . 2009年 , 许小勇和金建华 在 Newton Cotes求积系数与复合 Gauss求积算法的程序设计一文中提出了利用 Newton Cotes公式进行数值计算时 Cotes系数的程序设计方法和复合高斯求积算法的程序设计方法 . 2011年 , 杨录峰与赵双锁等 在一种变步长和变阶计算的自适应数值积分算法中介绍了一种将自适应 Simpson算法和 Romberg外推
10、算法相结合的新型自适应算法 . 本文主要学习现有的自适应算法 , 研究拓展新方法 , 并设计自适应求积的程序 . 文章共分五个部分 , 第一部分是引言 , 介绍了自适应积分算法目前的研究成果及本文的主要内容 ; 第二部分介绍了数值积分的基本知识 ; 第三部分主要研究自适应的三种算法 ; 自适应的Simpson法 , 梯形法及自适应高斯积分算法 ; 第四部分则是对自适应算法的 Matlab程序实现 , 并给出相应的数值例子 ; 最后通 过数据的比较 , 得出结论 . 毕业论文 文客久久 2 数值积分的基本知识 2.1 数值积分的基本求积公式 在科学研究与技术开发中经常用到有限区间的定积分 , 如
11、果被积函数复杂 , 牛顿 -莱布尼茨公式不能被直接利用 . 为解决这个问题 , 我们将用简单的函数 , 如插值多项式 , 近似代替 被积函数 , 用简单函数的定积分作为原定积分的近似值 . 常用的简单函数是插值多项式 . 要计算积分 ()ba f xdx常用的方法是用 n 次插值多项式 ()nLx来近似代替被积函数()fx. 设插值节点 01,x a x b, 则 线性插值多项式为 1 ( ) ( ) ( ) ,x b x aL x f a f ba b b a 1( ) ( ) ( ) ( ) .2bbaa baf x d x L x d x f a f b (2.1) 公式 (2.1)称作
12、 梯形求积公式 . 设插值节点 0 1 2, ( ) 2 , ,x a x a b x b 则 二次插值多项式为 0 2 0 1122 0 1 20 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x xx x x xL x f x f x f xx x x x x x x x x x x x 2( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) .62bbaa b a a bf x d x L x d x f a f f b (2.2) 公式 (2.2)称作 Si
13、mpson 求积 公式 . 推广到 一般化 , 设在积分区 间 ,ab 上有节点01 na x x x b L , 则 0 0( ) ( ) nn jnkk j kjjkxxL x f xxx 0 0( ) ( ) ( ) nnb b b jnka a ak j kjjkxxf x d x L x d x f x d xxx 记 0()nb jk aj kjjkxxA dxxx, 则称 毕业论文 文客久久 0( ) ( )nbkka kf x dx A f x 为 插 值型求积公式 . 特殊地 , 将积分区间 ,ab 作 n 等分 , 且令步长为 ()h b a n , 那么节点, 0 , 1
14、 , , .kx a k h k n L可构造插值型求积公式 ()0( ) ( ) ( ) ,nb nkka kf x d x b a C f x (2.3) 称为 Newton-Cotes 求积公式 , ()0 0( 1 ) ()! ( ) !jknk nnnk jC t j d tn k n k 称为 Cotes 系数 . 特别地 , 当 1n 时 , (2.3)式可得梯形公式 (2.1). 当 2n 时 , (2.3)式可得梯形公式 (2.2). 2.2 代数精度 如果数值求积公式满足：对于所有次数不大于 n 的多项式是精确成立的 , 而对于次数大于或等于 1n 的多项式是不精确成立的
15、, 则称此求积公式的代数精度为 n . 特别地 , 梯形公式代数精度为 1, Simpson 公式代数精度为 3. 2.3 复合数值积分公式 为了提高数值积分的精度 , 经常把整个积分区间等分成若干个子区间 . 在每个小区间上使用低阶 Newton-Cotes 求积公式 , 如梯形求积公式 , Simpson 公式 , 然后将子区间上的求积公式加起来便得到整个区间上的求积公式 , 这种方法成为 复合求积法 . 把积分区间 ,ab 分成 n 等分 , ()h b a n , , 0 ,1, , .kx a kh k n L每个子区间 1,kkxx 上使用梯形公式 , 可得复合梯形公式及其误差项
16、11( ) ( )kknbxaxkf x d x f x d x = 1 211( ) 2 ( ) ( ) ( ) , , .2 1 2nk k kkh b af a f x f b h f x x 记 毕业论文 文客久久 11( ) ( ) 2 ( ) ( )2nnkkhT f f a f x f b 为 复合梯形公式 把积分区间 ,ab 分 成 2n 等分 , ( ) 2h b a n , , 0 ,1, , .kx a kh k n L 每个子区间 2 2 2,kkxx 上使用 Simpson 公式 , 可得复合 Simpson 公式及误差项 . 11( ) ( )kknbxaxkf x
17、 d x f x d x = / 2 1 / 2 4 ( 4 )2 2 1 2 2 111( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) , .3 1 8 0nnk k k kkkh b af a f x f x f b h f x x 记 / 2 1 / 22 2 111( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )3nnn k kkkhS f f a f x f x f b 为 复合 Simpson 公式 2.4 Gauss 求积公式 Newton-Cotes 求积公式中节点的选取是等分的 , 这样的选择方法虽然方便但是大大减小了逼近的代数精度 . 如果合理安排求积的节点 , 可能会 得到
18、 更好的逼近精度 , 甚至能达到最高精度 . 而 Gauss 求积就是以最优的方式而不是等分的方式来选取节点 . 在区间 ,ab 上选取节点 12, , , nx x xL 和系数 12, , , nc c cL 使得求积公式 1( ) ( )nbkka kf x dx c f x 具有尽可能高的代数精度 . 特别地 , 当 2n 且在积分区间 1,1 上时 , 要确定 1 2 1 2, , ,c c x x , 只要该积分公式的代数精度为 3 次 , 则可设该积分公式对于任意的次数不大于 3 的多项式230 1 2 3()f x a a x a x a x 准确成立的 , 这就等价于当 ()
19、fx是 231, , ,xx x 时公式给出的精确解 , 即 111 2 1 1 2 21 1 1 2 , 0 ,c c d x c x c x x d x 1 2 1 2112 2 2 3 3 31 2 1 22 , 0 .3c x c x x d x c x c x x d x 可求得 1 2 1 21 , 1 , 3 3 , 3 3c c x x , 则原积分可近似表示为 毕业论文 文客久久 1133( ) ( ) ( ) ,f x d x f f 上式称为两点的 Gauss 求积公式 . 同理可得三点的 Gauss 求积公式为 115 1 5 8 5 1 5( ) ( ) ( 0 )
20、( ) .9 5 9 9 5f x d x f f f 以上提到的积分区间要求是 1,1 , 在任意区 间 ,ab 上的积分则要转化为在区间 1,1 上的积分 . 通过变量变化 (2 )t x a b b a 可得 ( ) 2x b a t a b 那么Gauss 求积公式可应用于任何区间上 . 11( ) ( ) ( )() 22bab a t b a b af x d x f d t 毕业论文 文客久久 3 自适应积分算法 复化求积公式采用等距节点， 没有对被积函数在积分区间的不同位置上其性质的差异加以区分对待 . 因此被积函数在一子区间函数值变化剧烈时 , 就会影响整个积分区间上数值积分
21、达到精度要求 . 传统求积方法 , 只要积分近似值未达到要求 , 将整个区间再细分增加积分 节 点 , 这将大大增加计算量，该计算量主要体现在求函数的函数值上 . 为了提高算法的计算效率 , 将被积函数在数值变化大的子区间上分的细些 , 函数值变化小的子区间分的粗些 . 自适应梯形算法 , 自适应的 Simpson 积分算法 , 自适应的 高斯积分算法正是体现这一思想的算法 . 3.1 自适应 Simpson 积分算法 为了计算积分 ()ba f x dx, 不妨设误差允许限为 0 , 先取步长为 ) / 2(bah , 使用 Simpson 求积公式得 5 4( ) ( , ) ( ) ,
22、( , ) ,90bahf x d x S a b f a b (3.1) 其中 ( , ) ( ) 4 ( ) ( ) 62b a a bS a b f a f f b . 再把区间 ,ab 对分 , 取步长为 2 ( ) 4h b a . 使用 Simpson 求积公 式得 3( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) 6 2 2ba hhhf x d x f a f a f a f a h f b 4 ( 4 ) ( ) , ( , ) .1 8 0 2b a h f a b (3.2) 令 ( , ) 4 ( ) ( ) ,2 6 2ha b hS a f a f a f a h 3( , ) ( ) 4 ( ) ( ) .2 6 2habS b f a h f a h f b 那么有 4 4( ) ( , ) ( , )2 2 1 8 0 ( ) .2baa b a b b af x d x S a S b h f (3.3) 若 4 xf 变化不大 , 则可假设 44ff , 比较 (3.1)和 (3.3)可得
