1、 本科毕业论文 （ 20 届） 糙集近似算子的拓扑性质 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 II 摘 要 Pawlak 粗糙集有各种形式的扩展 , 基于二元关系的粗糙集和基于覆盖的粗糙集是Pawlak粗糙集的两种扩展形式 . 通过回顾近几年来 粗糙集与拓扑性质研究 , 在基于二元关系的粗糙集和基于覆盖的粗糙集的基础上 , 研究二元关系的后继邻域系统的拓扑特征 , 以及拓扑特征的基于二元关系的粗糙近似算子刻画 . 并行地研究论域上拓扑的覆盖粗糙近似算子刻画 . 阐述了一些基于一般二元关系的粗糙近似算子的拓扑性质和基于覆盖的粗糙近似算子的拓扑性质
2、. 关键词 : 粗糙集 ; 近似算子 ; 二元关系 ; 覆盖 ; 拓扑性质 III Topological properties of rough approximation operators Abstract Pawlak rough sets have been extended with various forms. Rough sets based on binary relations and rough sets based on covering are two extensions of Pawlak rough set. By reviewing the study for
3、 the topological properties of rough sets in the past few years, according to binary relation based rough sets and covering based rough sets, The topological properties and features of successor neighborhoods of binary relation are characterized by rough approximation operators based on binary relat
4、ion. Meanwhile, the same issues are studied by covering based rough approximation operators. Finally, the topological properties of rough approximation operators based on binary relations and coverings are examined respectively. Keywords: Rough set; Approximation operators; Topological properties IV
5、 目 录 中文摘要 .I 英文摘要 . III 1 引言 . 1 2 基础知识 . 3 2.1 基于二元关系的粗糙集 . 3 2.2 基于覆盖的粗糙集 . 5 3 基于一般二元关系的粗糙集近似算子的拓扑性 质 . 8 4 基于覆盖的粗糙集近似算子的拓扑性质 . 13 5 小结 . 16 参考文献 . 17 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 引言 波兰数学家 Pawlak于 1982年提出的粗糙集理论 1,2是经典集合理论的推广 , 是处理模糊和不确定知识的有用数学工具 . 经过 20 多年的研究与发展 , 已经在理论和实际应用上取得了长足的进展 , 特别是由于 20 世纪 80 年代末 9
6、0 年代初在知识发现等领域的成功应用而受到了国际上广泛关注 . 目前 , 粗 糙集理论已经在人工智能、知识与数据发现、模式识别与分类、故障检测等方面得到了广泛的应用 . Pawlak 粗糙集模型是基于完备信息系统上的不可分辨关系 , 对无法用已知知识描述的对象集给出上、下近似 . 但 Pawlak 粗糙集模型是基于等价关系形成的 , 而在很多实际问题中 , 对象之间的等价关系很难构造 , 或者对象之间本质上没有等价关系 . 为了推广粗糙集理论的应用范围 , 人们对 Pawlak 粗糙集模型进行了多种形式的推广 . 在粗糙集拓扑性质理论研究方面 , Yao3证明了集合 ( )A A P U 在
7、R 是自反传递关系时构成一拓扑空间 ; Michiro Kondo 证明了集合 ( ) A P U RA A在 R 是自反关系时构成一拓扑空间 . 秦克云等 4,6通过在 Pawlak 近似空间意义下研究粗糙集构成的拓扑空间 , 讨论了粗糙集的表示问题 , 借助粗糙集的表示构造了粗糙拓扑空间 M , 其中的开集为粗糙相等关系下的等价类 , 因而既可以刻画精确集 , 也可以刻画近似集 . 同时给出了拓扑空间 M 中内部与闭包算子的解析表达式 , 并给出了它的拓扑基 . 又针对无穷论域 , 研究了自反、对称关系下近似算子的基本性质 ,以及由近似算子构成的拓扑空间 . 裴峥等 5通过研究模糊粗糙集的
8、拓扑结构 , 以及一般关系下的近似空间与模糊拓扑空间的关系 , 证明了 自反、传递关系下的近似空间中模糊集的上、下近似算子分别为一个模糊拓扑的闭包、内部算子 , 且相应的模糊拓扑满足)(TC 条件 ; 反之 , 满足 )(TC 条件的模糊拓扑的闭包与内部算子也恰为一自反、传递关系下的近似空间中的上、下近似算子 , 即论域上的自反、传递关系与满足 )(TC 条件的模糊拓扑是 一一对应 的 . 陈子春 7 等 通过 研究 模糊粗 糙近 似算 子的 拓扑 性质 , 证明 了集合)( AARUFA 在 R 是自反关系时构成一模糊拓扑空间 , 并且 , 当二元关系自反对称时 , 该模糊拓扑中的元既是开集
9、又是闭集 ; 当二元关系自反传递时 , 该模糊拓扑的闭包与内部算子恰为模糊粗糙上 , 下近似算 . 陈子春 8等又通过研究基于覆盖理论的模糊粗糙集的拓扑结构 , 以及覆盖近似空间与模糊 拓扑空间的关系 , 证明了覆盖近似空间中模糊粗糙集的上、下近似算子分别为模糊拓扑空间的闭包、内部算子 ; 反之 ,满足一定条件的模糊拓扑空间的闭包与2 内部算子也恰为覆盖近似空间中模糊粗糙集的上、下近似算子 , 即覆盖近似空间与满足一定条件的模糊拓扑空间是一一对应的 . Pawlak 粗糙集有各种形式的扩展 , 基于二元关系的粗糙集和基于覆盖的粗糙集是 Pawlak粗糙集的两种扩展形式 . 本文将研究二元关系的
10、后继邻域系统的拓扑特征 , 以及基于二元关系的粗糙近似算子的拓扑刻画 . 并行地研究论域上拓扑的覆盖粗糙近似算子刻画 . 3 2 基础知识 2.1 基于二元关系的粗糙集 设 X 是非空有限的集合称 为论域 . X 的所属类的全部子集（分别为模糊子集）表示为)(XP (分别为 )(XF ). 对任意的 )(XFA , A 的 -水平和高于 -水平分别表示为 A 和A , 也就是 )(: xAXxA 和 )(: xAXxA , 其中单位区间 1,0I , XA0 , 1A+=? . 我们记 A 为 A 的补集 . 定义 2.1. 设 U 和 W 是两个非空有限的论域 . 一个子集 )( WUPR
11、被称为一个从 U到 W 的二元关系 . 如果对所有的 Ux 其中存在 Wy 使得 Ryx ),( , 则称 R 是串行的 ; 如果 WU , 则 R 是被称为 U 上的二元关系 . 如果对所有的 Ux , Rxx ),( , 则称 R 是 自反的 ; 如果对所有的 Uyx , , Ryx ),( 且 Rxy ),( , 则称 R 是 对称的 ; 如果对所有的Uzyx , , Ryx ),( , Rzy ),( 蕴含 Rxz ),( , 则称 R 是 传递的 ; 如果对所有的Uzyx , , Ryx ),( , Rzx ),( 蕴含 Rzy ),( , 则称 R 是 欧几里得 的 . 定义 2.
12、2 一个模糊的子集 )( WUFR 称为 是 一个从 U 到 W 的模糊二元关系 , ),( yxR 是 x 和 y 之间的 相关 程度 , 其中 WUyx ),( . 如果对于每个 Ux , 都 存在Wy , 使得 1),( yxR , 则 称 R 是从 U 到 W 上的一个 串行 模糊关系 . 如果 WU , 则 称 R是 U 上的一个模糊关系 . 如果对所有的 Ux , 有 1),( xxR , 则 称 R 是一个自反的模糊关系 ; 如果对所有的 Ux 有 ),(),( xyRyxR , 则 称 R 是一个对称的模糊关系 ; 如果对所有的Uzx , 有 ),(),(),( zyRyxRz
13、xR Uy , 则 称 R 是一个传递的模糊关系 . 容易发现 , R 是一个 串行的 模糊关系当且仅当对所有的 I , R 是一个 串行的经典 二元关系 ; R 是一个自反的模糊关系当且仅当对所有的 I , R 是一个自反的 经典 二元关系 ; R 是一个对称模糊关系当且仅当对所有的 I , R 是一个对称的 经典 二元关系 ; R 是一个传递的模糊关系当且仅当对所有的 I , R 是一个传递的 经典 二元关系 . 4 定义 2.3. 设 U 和 W 是两个有限的论域 , R 是一个从 U 到 W 上的 经典 关系 . 我们可以定义一个集值函数 )(: WPURS .,),(:)( UxRy
14、xWyxR S )(xRS 被称为是 x 关于 R 的 后 继 邻域 . 显然 , 任意的从 U 到 W 集值函数 F 定义为一个从 U到 W 上的二元关系 , 即 ( , ) : ( ) FR x y U W y F x= 未 ?. 三元组 ),( RWU 被称为一个广义 经典 近似空间 . 对任意的集合 WA , 一对上、下近似 )(AR 和 )(AR 被定义为 ,)(:)( AxRUxAR S ( ) : ( ) .SA x U R x A= 喂 ? 称 )(),( ARAR 为一个广义 经典 粗糙集 , 称 )(AR 和 )(AR 为广义上 , 下 经典 的近似算子 . 上 , 下 经
15、典 的近似算子 满足下列性质 : 定理 2.1. 对所有的 )(, WPBA ,有 (L1) )()( ARAR , (U1) )()( ARAR ; (L2) UWR )( , (U2) ()R?; (L3) )()()( BRARBAR , (U3) )()()( BRARBAR ; (L4) ( ) ( )A B R A R B娃 ?, (U4) ( ) ( )A B R A R B娃 ?; (L5) )()()( BRARBAR , (U5) )()()( BRARBAR . 性质 (L1)和 (U1)显示 , 近似算子 R 和 R 是相互对偶的 . 具有相同编号的 性质可以被视为对偶
16、性质 . 对于某些论域 U 上的特殊类型 的二元关系 , 例如 , 串行的、 自反 的 、 对称 的 、 传递 的 、欧几里得的 二元关系 , 近似算子有 如下 性质 . 定理 2.2 设 R 是 U 上的任意一个 经典 的二元关系 , R 和 R 是 的上 、 下广义 经典 的近似算子由定义 1, 则有 (1) R 是序列的 (L0) ( ) ,R? (U0) ( ) ,RU U= (LU0) ( ) ( ), ( ),R A R A A P U? (2) R 是自反的 (L6) ( ) , ( ),R A A A P U? 5 (U6) ( ), ( ),A R A A P U? (3)
17、R 是对称的 (L7) ( ( ) , ( ),R R A A A P U? (U7) ( ( ), ( ),A R R A A P U? (4) R 是传递的 (L8) ( ) ( ( ) ) , ( ) ,R A R R A A P U? (U8) ( ( ) ) ( ) , ( ) ,R R A R A A P U? (5) R 是欧氏的 (L9) ( ( ) ) ( ) , ( ) ,R R A R A A P U? (U9) ( ) ( ( ) ) , ( ) ,R A R R A A P U? 如果 R 是 U 上的等价关系 , 那么 ),( RU 是 Pawlak 近似空间 ,
18、还可以推到出更多上下近似算子的有意义的性质 . 2.2 基于覆盖的粗糙集 设 U 是一个非空的集合称为论域 . 一个在 U 上的集系统 或粒度结构是 U 的一个子集族 . U 上 的集 系统 S 的 对 偶集 系统 , 记为 CS , 包 含在 S 中 所 有集 合的 补 , 即 SAUAS C , 其中 A 是指 A 的补 集 . 尤其是一个集系统 C 满足 UACA 称为U 的覆盖 . U 上的一个集算子 表示从 )(UP 到 )(UP 的映射 . 其中 )(UP 表示为 U 的所有子集的集合 . 在 U 上的两个 集 算子 和 称为对偶的 , 如果它们满足 )()( AA , 或者UAA
19、A ),()( . 在论域 U 上的一个闭系统 C 是一个在 U 上的集系统 , 其中包含的 U , 且对集合的交 封闭 ,即 CU 和 CXCX . 应该指出 的是 , U 上的闭系统 在 集合 的 包含关系 “ 下 是完备格 . 对任意的 SAA 21, 它们的 和与交分别是 : , 2121 AAAASAAA , 2121 AAAA . 一个闭系统的对偶 集 系统称为知识空间 、 对偶闭系统或拓扑结构 . 所有闭系统的集合 CL和所有知识空间的集合 KS 都是 U 上 的 闭系统 . 对 任意 的 集 系 统 )(UPD , ,)(,)( KEEDEDKSCLEEDEDCS 分别 是 包
20、含 D 的最小的闭系统和知识空间 . )(DCS 和 )(DKS 被称为是由 D 产生的闭系统和6 知识空间 , D 可称为是 )(DCS 和 )(DKS 的基础 . 设 U 是一个非空有限的集合 , 又称论域 . C 是 U 上 非空有限子集 构成的一个集族 , 如果满足 UACA , 则 称 C 为 U 上的一个 覆盖 , 称 序对 ),( CU 为 覆盖近似空间 . 如果覆盖 C 中的子集 两两互不相交 , 则称 C 为 U 的一个划分，且称 ),( CU 为 一个 Pawlak 近似空间 . 覆盖近似算子是一个 Pawlak 近似算子的 拓展 . 它 是 在 Pawlak 近似算子的粒
21、化定义 中，用覆盖的元素取代等价类 而 获得 的 . 为了确保拓展上下近似算子是对偶算子 , 可以扩展定义 上近似 算子 或下近似算子 , 再按对偶性 定义 另一算子 . 因此 , 可以得到的两对对偶近似算子 . (I) :)( XACAXa p rC ) ,(: XAAxCAUx )()( XaprXaprCC : ( ) .x U A C x A A X (II) )()( XaprXaprCC ) ,(: XAAxCAUx ( ) : Cap r X C C C X : ( , ) .x U A C x A A X 近似算子Capr和 Capr 满足以下性质 ; (L0) ),()( XaprXapr CC (U0) );()( XaprXaprCC (L1) ,)( UUaprC (U1) ( ) ;Capr (L1) ( ) ,Capr (U1) ;)( UUaprC (L2) ),()( YaprXaprYXCC (U2) );()( YaprXaprYX CC (L3) ),()( Ya p rXa p rYXCC (U3) );()( Ya p rXa p rYX CC (L4) ),()()( YaprXaprYXaprCCC (U4) );()()( YaprXaprYXapr CCC (L5) ,)( XXaprC (U5) );(XaprX C
