1、 本科毕业论文 （ 20 届） 耗散 KdV 方程 Cauchy 问题的适定性 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 孤子是 20 世纪的重要发现之一 , 它 是非线性效应和色散效应平衡的结果 . 随着孤子理论研究的进一步深入 , 非线性色散方 程以及色散 -耗散型非线性发展方程被广泛地应用于流体力学、等离子体物理、非线性光学等许多科学领域 . 被广泛研究的非线性色散方程和色散-耗散型方程的典型代表主要有 Schrdinger 方程 , KdV方程 , 耗散 KdV方程 , Burgers 方程 等 . 本文研究一类耗散 KdV 方程
2、在低正则 Sobolev 空间 rH 上的局部适定性 . 利 用 Banach 不动点定理 , 我们证明了 : 当 34r时 , 对任意的初始值 rH , 耗散 KdV方程的 Cauchy 问题存在唯一的解 u , ,( 0 , , )r r su C T H X. 当 BO 项系数 趋向于 0, 且 rH 趋向于0 时 , 这类耗散 KdV 方程的解收敛到相应的 KdV 方程的解 . 关键词 : 孤立波 ; 耗散 KdV 方程 ; 局部适定性 ; 不动点定理 II The Wellposedness of Cauchy Problem for the Dissipative KdV Equa
3、tion Abstract Soliton is one of the most important scientific discoveries in the 20th century, which is the result of balance of nonlinear effect and dispersive effect. With the deepening of soliton theory, more and more nonlinear dispersive even dispersive-dissipative nonlinear evolution equations
4、are widely applied in fluid mechanics, plasma physics, nonlinear optics and many other fields. For example, Schrodinger equation, KdV equation, dissipative KdV equation and Burgers equation are typical nonlinear evolution equations. This paper deals with the local wellposedn- ess of a class of dissi
5、pative KdV equations in the low regular Sobolev space rH . By means of Banach fixed point theorem, we proved that for any 34r , Cauchy problem for the dissipative KdV equation has a unique solution u provided that rH . Furthermore, ,( 0 , , )r r su C T H X. When the coefficient of BO term tends to 0
6、, and the norm rHtends to 0, the solution of this dissipative KdV equations approaches to the corresponding solution of KdV equations. Keywords: Solitary wave; Dissipative KdV equations; Local wellposedness; Fixed point theorem III 目 录 摘 要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 1.1 耗散 KdV 方程的简介 . 1 1.2 耗散 KdV 方程
7、的适定性研究进展 . 1 2 预备知识 . 3 2.1 Banach 不动点定理 . 3 2.2 Fourier 变换 . 3 3 耗散 KdV 方程 Cauchy 问题的适定性 . 5 3.1 问题的提出 . 5 3.2 预备估计 . 6 3.3 主要定理的证明 . 9 4 小结 . 12 参考文献 . 13 致 谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 1.1 耗散 KdV 方程的简介 孤子理论是 20 世纪最伟大的科学发现之一 , KdV 方程的建立与孤子理论的发现密不可分 . 1834 年英国科学家 J. S. Russell 在从爱 丁堡到格拉斯哥的运河上观察到了一种奇特的水波 ,
8、并且称之为孤立波 . 后来 , 他通过实验模拟这一现象 , 认为孤立波是流体力学方程的一个稳定解 , 但未能从流体力学理论出发给孤立波以合理的解释 . 直到 1895年 , 两位荷兰科学家科特维格（ Kortweg）与德弗雷斯（ de Vries）在后者的博士论文中 , 建立了后来被称为 KdV方程的偏微分方程模型 : 0t xxx xu u uu , 并对其进行理论分析 , 最终从理论上得到孤立波现象的较合理的解释 . 在后来更为深入的研究中发现孤立波现象是 “非线性效应与色散效应互相平衡 ”1的结果 , 基于这种认识 , 许多新的孤子方程被相继提出来并得到应用 . 耗散 KdV 方程是 K
9、dV方程的重要修正形式 , 在应用方面成为了许多 孤立波现象的物理模型 , 如在长波小振幅近似下 , 可描述等离子体的磁流体波的运动 , 等离子体与声波两种混合态的压力波 , 管底下部流体的运动 , 低温下非线性晶格的声子波包的热激现象等 . 本文研究耗散 KdV (Korteweg-deVries) 方程 Cauchy 问题 : 33 0,( 0 , ) ( )axu u uD u ut x xu x x ，（其中 axD 表示象征是 |a 的 算子 , a 阶导数 , 当 a 为分数时 , 为分数次导数 , 02a ） 的适定性 , 即解的存在、唯一性 , 解对初始值的连续依赖性 . 1.
10、2 耗散 KdV 方程的适定性研究进展 色散方程 Cauchy 问题的低正则性是由 Kato 在上世纪 80 年代开创的 2,3, 基本研究思想是应用 Banach 不动点定理结合各类先验估计去证明局部适定性 . Strichartz 估计在早期的研究中发挥重要的作用 ; 后来 , J. Bourgain 引进了 Fourier 变换限制范数方法（ Bourgain 方法） , 双线性估计成为了关键 4; Fourier 变换限制范数方法被进一步推广用于色散 -耗散方程 , 例如M. Otani 对耗散 KdV 方程的研究 5. 解的整体适定性问题研究的基本方法是在局部适定性2 的基础上 ,
11、借助于先验估计、方程的守恒律等性质对解做延拓而得到 . 八十年代以来 , 对KdV 方程的解的整体存在性的研究提出了一些新的处理方法 , 例如 J. Bourgain 提出了高低频方法 6, T. Tao 提出了几乎能量守恒法 7, 这些方法适用于解决当初值的正则性不太高时的解的存在性 , 学术贡献是突破性的 . 在早期的研究中耗散 KdV 方程被当成耗散方程进行研究 , 这方面的成果很多 , Bourgain方法引进后 , L. Molinet, F. Ribaud8将其当成色散方程进行研究 , 获得如下结果： 当 34r 时 , 则 耗散具有耗散项的 KdV 方程 在 rH 中局部适定性
12、, 以及当 1a 时在rH 中解的局部适定性 . 本论文将借鉴 文献 9的方法 , 将耗散项当成非线性项 , 将其看成色散方程利用 Bougain方法证明适定性 . 这样做的好处是 , 与 L. Molinet, F. Ribaud 相比较大大简化了证明过程 , 得到了同样的结果 . 3 2 预备知识 本 论文涉及到两个重要的分析工具 , 即 Banach 不动点定理和 Fourier 变换 , 现加以回顾 : 2.1 Banach 不动点定理 定义 2.110设 ( , )Xd是度量空间 , f 是集合 X 到集合 X 的映射 , 对 ,x y X, 如果 (0, 1) , 使得 ( ( )
13、 , ( ) ) ( , )d f x f y d x y, 则称 f 是集合 X 上的一个 压缩映射 . 引理 2.110（ Banach 不动点定理） 设 ( , )Xd是完备的度量空间 , BX 是闭子空间 . 如果 f 是 B 到 B 的压缩映射 , 则存在唯一的不动点 0xB , 即 00()f x x . 不动点定理（ fixed-point theorem）是拓扑空间的重要研究内容 , 1991年是 L. E. J. Brouwer证明了著名的 Brouwer不动点定理 . 不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分 , 不动点问题实际上是各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积
14、分方程等）的求解问题 , 已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用 . 本文应用了 Banach 不动点定理证明 Cauchy 问题的局部适定性 . Banach 不动点定理是方程的解的存在性、唯一性及迭代解法的理论基础 . 由于分析学的需要 , 这个定理已经被推广到非扩展映射 、 概率度量空间 、 集值映射等许多方面 . 2.2 Fourier 变换 定义 2.211 设 f 是 R 上的可积函数 , 则 ( ) ( ) ig f e d , 称为 f 的 傅立叶 （ Fourier） 变换 , 记作 Ff . 称 1( ) ( )2 ixf x g e d
15、 , 为 ()g 的 逆 傅立叶变换 , 记作 1Fg . 4 Fourier 变换和 Fourier 逆变换具有许多性质 , 例如线性性、平移性、相似性、微分性、多项式性、卷积性 , 以下给出与本论文密切相关的几个重要性质 : 性质 112,13 (微分性质 ) 如果 ()fx , ()fx 都是可以进行 Fourier 变换的 , 而且当|x 时 , ( ) 0fx , 则 ( ) ( )F f x i F f x 性质 1 的推论 12,13 对任意正整数 m , 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnF f x i F f x 性质 212,13（多项式性质） 如果 ()fx及
16、 ()xf x 都可以进行 Fourier 变换 , 那么 ( ) dF ix f x F fd 5 1 3 耗散 KdV 方程 Cauchy 问题的适定性 3.1 问题的提出 本文研究耗散 KdV (Korteweg-deVries) 方程的初值问题 (IVP): 33 0axu u uD u ut x x , xR , 0t , (3.1) (0, ) ( )u x x , xR . (3.2) 其中 , 02a . 特别地 , 当 2a 时 , 耗散 KdV 方程变为 著名的 KdV-Burgers 方程： 0t x x x x x xu u u u u . 注意到在方程（ 3.1）中
17、, 三次色散项 xxxu 占主导地位 , 起关键的作用 , 而低阶耗散|axDu从属于它 , 因此 , 将 |axDu放到非线性项上去考虑是合理的 . 基于这样的观察 , 我们发现 IVP（ 3.1） （ 3.2）将具有 KdV 方程的初值问题 : 0t xxx xv v vv , xR , 0t , （ 3.3） (0, ) ( )v x x , xR . （ 3.4） 类似的局部适定性 . KdV方程的初值问题在 Sobolev 空间 H r 中的局部适定性的研究目前已经取得了很好的进展 . 例如 Kenig, Ponce 和 Vega14 证明当 34r 时 IVP（ 3.3） -（ 3
18、.4）在 rH 中局部适定 . 首先回顾几个定义及定理 : 定义 3.1 设 rR , sR , Bourgain 空间 ,rsX 定义为 Schwartz 函数空间 2()SR 按照下面定义的范数完备化后得到的函数空间 : , 21222 23| | ( , ) d drssrX Ruu . 其中符号表示对时间和空间两个变量的 Fourier变 换 , 有时也 以 F表 示 , 相应 地 , Fourier逆变换 以符号 1F 表示 ; 12 21 | . 从定义容易看出 , 6 , 1222 2| | ( , ) d drs rsXu F U u . 当 1 2 1 2,r r s s时有
19、 1 1 2 2,| | | |r s r sXXuu. 根据经典的 Sobolev 嵌入 , 还可以推出当 12s 时有 , ( , )r s rX C R H . 定义 3.2 定义线性 KdV 方程的基本解算子为 : 3()1 ( ) ( )d2 i x tU t e . 等式右边在分布意义下成立 . ()Ut 是酉算子 . 符号 表示对时间或空间中一个变量的Fourier 变换 . 根据 Duhamal 原则 , KdV 方程的初值问题可以等价转换为积分方程形式 : 0, ( ) ( ) | | ( )dt axxu t x U t U t u u D u . （ 3.5） 本文主要的
20、结果如下 : 定理 3.1 设 34r , 12s , 对 rH , (| | ) 0rHTT , 使得 IVP（ 3.1） -（ 3.2） 存在唯一的解 ,0 , , r r su C T H X , 而且对 (0, )tT , 映射（初值 解） : u 是从 rH 到 ,0 , , r r sC T H X的 Lipschitz 映射 . 定理 3.2 设 34r , 12s , 设 rH , rH , 则 (| | ) 0rHTT , 使得 0, tT 当 | | 0 , | | 0rH时 , 有 IVP(3.1)(3.2)的局部解收敛到 IVP（ 3.3） （ 3.4） 的局部解 . 3.2 预备估计 本节我们将集中对耗散项 |axDu进行估计 . 我们有 定理 3.3 设 1,2r R s s 且 13ss . 则有 ,| | | |rsr s aax XXD u C u .
