1、五章习题解答5.1 真空中直线长电流 I的磁场中有一等边三角形回路，如题 5.1 图所示，求三角形回路内的磁通。解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流 I产生的磁场02rBe穿过三角形回路面积的磁通为 dSA32320 00dddbdbzIIzxx由题 5.1 图可知，()tan6zx，故得到320ddbI03ln(1)22Ibdb5.2 通过电流密度为 J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题 5.2 图所示。计算各部分的磁感应强度 B，并证明腔内的磁场是均匀的。解 将空腔中视为同时存在 和 的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为 、均匀
2、分布在半径为 b的圆柱内，另一个电流密度为J、均匀分布在半径为 a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。由安培环路定律0dCIlA，可得到电流密度为 J、均匀分布在半径为 b的圆柱内的电流产生的磁场为 20bbbrJB电流密度为 J、均匀分布在半径为 a的圆柱内的电流产生的磁场为02aarJB这里 ar和 b分别是点 ao和 b到场点 P的位置矢量。将 和 叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：20barBJ()br圆柱内的空腔外：20bar,badbIzx题 5.1 图SbraJo题 5.2 图d空腔内： 0022baBJrJd()ar
3、式中 d是点和 bo到点 a的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量 J。(1) 0,rHe （圆柱坐标）(2) 0(),xyxH(3) aB(4) 0,re（球坐标系）解 根据恒定磁场的基本性质，满足 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由 J求出源分布。（1）在圆柱坐标中 21()()0rBar该矢量不是磁场的场矢量。（2） ()()0ayxxB该矢量是磁场的矢量，其源分布为 20xyzaaeJHe（3） ()()0axyB该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 0xyzaeJH（4） 在球坐
4、标系中 11()sinsinBrrr该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 221ctag2sin0sinr rareeJHe5.4 由矢量位的表示式()()d4RJAr证明磁感应强度的积分公式03B并证明 0B解 : 0()()()d4RJrrAr0()d4RJr01()d4RJr3()03BAr5.5 有一电流分布 0()()zrJae，求矢量位 ()和磁感应强度 ()Br。解 由于电流只有 分量，且仅为 的函数，故 也只有 ze分量，且仅为 的函数，即 ()()zAre。在圆柱坐标系中，由 rz满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出r，然后由 ()r可求出 ()。记 a和 的矢量位分别为 1
5、A和 2。由于在 ar时电流为零，所以21 0()()zz Jrr（ ）22zzA（ a）由此可解得 31011()ln9zrJrCD222l)(1rAz和 z满足的边界条件为 时， )(1rAz为有限值 ar时， 2azz，arzarzA21由条件、，有 01C，3022ln9JCD，20113JCa由此可解得 2， 0(l)Ja故 3101()9zArJr（ ar）32 0ln(ln)zaJa（ ）式中常数 1D由参考点确定，若令 r时， )1rAz，则有 01D。空间的磁感应强度为 2110()3rJrBe（ ra） 022()()arrAx),(zyxPzabryI题 5.6 图（ r
6、a）5.6 如题 5.6 图所示，边长分别为 a和 b、载有电流 I的小矩形回路。（1）求远处的任一点 ),(zyxP的矢量位 ()Ar，并证明它可以写成 03()4mrpA。 其中 mzIabpe；（2）由 A求磁感应强度 B，并证明 可以写成0()4Id式中2zrabed场点对小电流回路所张的立体角。解 （1）电流回路的矢量位为 01()4CIRArl式中： 221()()Rxyz2 212sin(cosin)xyxy 根据矢量积分公式dCSlA，有 1d(CSRl而 ()()R所以 01d4SIr对于远区场， yx,，所以 r，故01()d()4SIrAr0()SI01()(4zIabr
7、e03)mp034mrp（2）由于 03()()4mzrprAe02sinmpre故 11sin()irABe03(cosin)4mre又由于 3322cocos()zrr ree 故 0002() (d)444mzrzrpIIabe 5.7 半径为 a磁介质球，具有磁化强度为 zABM其中 A和 B为常数，求磁化电流和等效磁荷。解 磁介质球内的磁化电流体密度为 2()20mz zABAJee等效磁荷体密度为 ()mBzM磁介质球表面的磁化电流面密度为 2(cos)mSrazrJne102Ixz题 5.8 图2(cos)inAaBe等效磁荷面密度为 2(s)mrarznM2(cos)sAaB5
8、.8 如题 5.8 所示图，无限长直线电流 I垂直于磁导率分别为 1和 的两种磁介质的分界面，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度 1B和 2；（2）磁化电流分布。解 （1）由安培环路定理，可得 rHe所以得到 0102IB2re（2）磁介质在的磁化强度 020()IrMe则磁化电流体密度 01d1d()()02mzzrrJe在 r处， 2B具有奇异性，所以在磁介质中 处存在磁化线电流 I。以 轴为中心、 r为半径作一个圆形回路 C，由安培环路定理，有 01dmCIlA0I故得到 I()I在磁介质的表面上，磁化电流面密度为 0mSz=JMe02r5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强
9、度为 0H，若此平面电流回路位于磁导率分别为 1和 2的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度 1和 2H。解 由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有 12B。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出 1、 2与 0的关系。在分界面两侧，作一个尺寸为 lh的小矩形回路，如题 5.9 图所示。根据安培环路定律，有 121122d()()()()CHPhHPhIA（1）因 H垂直于分界面，所以积分式中 0l。这里 I为与小矩形回路交链的电流。对平面电流回路两侧为真空的情况
10、，则有 0102d2()()ChhI（2）12hl)(1PH12)(题 5.9 图由于 1P和 2是分界面上任意两点，由式（1）和（2）可得到 120H即 0BH于是得到 12故有 10121202B5.10 证明：在不同介质分界面上矢量位 A的切向分量是连续的。解 由 B得 ddSSCAl（1）在媒质分界面上任取一点 P，围绕点 任作一个跨越分界面的狭小矩形回路 C，其长为 l、宽为 h，如题 5.10 图所示。将式（1）应用于回路 上，并令 趋于零，得到120dlimShdABAA由于 B为有限值，上式右端等于零，所以 12ll由于矢量 l平行于分界面，故有 tt5.11 一根极细的圆铁杆
11、和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场 0B中，并使它们的轴与 0B平行， （铁的磁导率为 ） 。求两样品内的 B和 H；若已知 01T、 05，求两样品内的磁化强度 M。解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件 12tt，有00H000149()BB对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件 12n，有0H000049()5BMB512 如题 5.12 图所示，一环形螺线管的平均半径 15rcm，其圆形截面的半径2acm，鉄芯的相对磁导率 14r，环上绕 N匝线圈，通过电流 AI7.0。（1）计算螺旋管的电感；（2）在鉄芯上开一个 cm.0l的空气隙，再计算电感。 （假设开口后鉄芯的 r不变）题 5.10 图
12、媒质 Cn1Alh媒质 2（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解 （1 ）由于 0ra，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 02NIH与螺线管铰链的磁链为 20aNISHr故螺线管的电感为 20aNLIr72214.1.346H5（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有 0B，但空气隙中的磁场强度 0H与铁芯中的磁场强度 不同。根据安培环路定律，有0(2)lrlNI又由于 00B、 0r及 B，于是可得 00(2)rrNIll所以螺线管得磁链为 20
13、0()raISll故螺线管得电感为 200()rrNLIll2722410.10.94H.5.（3）空气隙中的磁场能量为 20mWHSl鉄芯中的磁场能量为 201()mr故 004.48725mrWl5.13 证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为 01mLR， 为磁路的磁阻，故 NI激励下，电感量为 mLNR。磁路中单匝激励下的磁场储能20W，则 激励下的20m。解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为 I，有0mI。则在 I激励下，磁路的磁通为 220mIR故电感量为 NLI0r0lIao题 5.12 图在单匝线圈励磁下，220 01mmRIWL。在 NI激励下，磁路的磁能为220NI 20mW
14、5.14 如题 5.14 图所示，两个长的矩形线圈，放置在同一平面上，长度分别为 1l和 2，宽度分别为 1w和 2，两线圈最近的边相距为 S，两线圈中分别载有电流 I和 。设 1l 2，且两线圈都只有一匝，略去端部效应。证明：两线圈的互感是 0212()lnMSw解 由于 1l ，因此可近似认为线圈中的电流在线圈的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈中的电流 1I在线圈的回路中产生的磁场为012()Brw与线圈交链的磁通 为 2012 21()dSwIlr012212lnlISwS012()lnIwS故两线圈间的互感为 02112()lnSMIw5.15 长直导线附
15、近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题 5.15 图( a)所示。证明：直导线与矩形回路间的互感是 021221ln()aRbCb解 设长直导线中的电流为 I，则其产生的磁场为 02IBr由题 5.15 图( b)可知，与矩形回路交链的磁通 为2w1llSrI 题 5.14 图 ABCRba题 5.15 图( a)PQbQRP1CAB题 5.15 图( b)10001ddln222RSIaIaIRrB其中 21 21()RCbRbC故直导线与矩形回路间的互感为 01lnaMI210lR021221ln()aRbbmp-+5.16 如题 5.16 图所示的长螺旋管，单位长度密绕 n匝线圈，通过电流 I，鉄心的磁导率为 、截面积为 S，求作用在它上面的磁场力。解 由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为 HI设铁心在磁场力的作用下有一位移 dx，则螺旋管内改变的磁场能量为 220ddmWHSxx201()nIS则作用在鉄心上的磁场力为 mxIcF磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。Ix题 5.16 图
