1、湖南省怀化市洪江市 2015 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 （3 分）一元二次方程 x22x3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A 1， 2，3 B 1，2，3 C 1，2，3 D 1，2，3 2 （3 分）反比例函数 y= 的图象经过第二、四象限，那么 k 的值可能是（） A 3 B 4 C 5 D 2 3 （3 分）反比例函数 y= 图象上有三个点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x 3，y 3） ，其中 x1x 20x 3，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（） A y1y 2y 3 B
2、y2y 1y 3 C y3y 1y 2 D y3y 2y 1 4 （3 分）两个相似多边形的面积比是 9：16，其中较小多边形的周长为 36cm，则较大多 边形的周长为（） A 48cm B 54cm C 56cm D 64cm 5 （3 分）从全市 5000 份数学试卷中随机抽取 400 份试卷，其中 360 份成绩合格，那么可 以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？（） A 4500 B 4000 C 3600 D 4800 6 （3 分）如图，D 为ABC 边 BC 上一点，要使ABD CBA，应该具备下列条件中的 （） A = B = C = D = 7 （3 分）如图，为估算某河
3、的宽度，在河岸边选定一个目标点 A，在对岸取点 B、C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A、E、D 在同一条直线上， 若测得 BE=20m，EC=10m ，CD=20m，则河的宽度 AB 等于（） A 60m B 40m C 30m D 20m 8 （3 分）关于 x 的方程 x2+2kx+k1=0 的根的情况描述正确的是（） A 无论 k 为任何实数，方程都没有实数根 B 无论 k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 C 无论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 D 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和两个相 等实数根
4、三种 9 （3 分）在 RtABC 中，C=90，当A=60，a=3 时，c 的值是（） A c=4 B c=5 C c=6 D c=7 10 （3 分）学校评选出 30 名优秀学生，要选 5 名代表参加全市优秀学生表彰会，已经确 定了 1 名代表，则剩余学生参加全市优秀学生表彰会的概率是（） A B C D 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11 （3 分）在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，以点 A 为位似中心，把ABC 放大 3 倍后得 到AEF，则E= 12 （3 分）反比例函数 y= 的图象经过点（2，1） ，则 m 的值是 13 （3 分）若 = ，则
5、 = 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD=3，AC=4，则 sinB 的值是 15 （3 分）2014 年 1 月， “教学点数字教育资源”进入某县农村中小学，2014 年该县投入该 项工程的经费为 3500 万元，预计 2016 年投入 4600 万元设这两年投入这项工程的经费的 年平均增长率为 x，则可列方程： 16 （3 分）河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ，则 AB 的 长为 17 （3 分）如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米 的 A 处，则小明的影子
6、 AM 长为米 18 （3 分）设 x1，x 2 为一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，则有如下关系：x 1+x2= ，x 1x2= ，根据材料，若 x1，x 2 是方程 x2+8x+4=0 的两根，则 + 的值 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19 （6 分）解方程：x 210x+9=0 20 （6 分）计算：2cos30tan45|1 tan60| 21 （8 分）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九（1） 、九（2）班根据初赛成绩各选 出 5 名选手参加复赛，两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩（满分为 100 分）如图所示 （1）根据如图，分别求出两班复赛
7、的平均成绩和方差； （2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？ 22 （8 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y= 的 图象交于 A（1，4） 、B（3，m ）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积 23 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x23xk=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围 （2）求 k 的负整数值，并选择一个 k 的负整数值，求出方程的根 24 （10 分）如图是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建 于明万历十二年（1584 它是洪江市现存最高大、最古老的宝
8、塔小明决定用自己所学习的 知识测量大观楼文峰塔的高度，如图，他利用测角仪站在 B 处测得文峰塔最高点 P 的仰 角为 45，又前进了 12 米到达 A 处，在 A 处测 得 P 的仰角为 60请你帮助小明算算文峰 塔的高度 （结果保留根号） 25 （10 分）如图，已知ABC 中，ABC=135，过 B 作 AB 的垂线交 AC 于点 P，若 ，PB=2，求 BC 的长 26 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=10，将MPN 的顶点 P 在矩形 ABCD 的边 AD 上滑动，在滑动过程中，始终保持MPN=90 ，射线 PN 经过点 C，射线 PM 交直 线 AB 于点 E
9、，交直线 BC 于点 F （1）求证：AEP DPC； （2）在点 P 的运动过程中，点 E 与点 B 能重合吗？如果能重合，求 DP 的长； （3）是否存在这样的点 P 使DPC 的面积等于AEP 面积的 4 倍？若存在，求出 AP 的长； 若不存在，请证明理由 湖南省怀化市洪江市 2015 届九年级上学期期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 （3 分）一元二次方程 x22x3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A 1， 2，3 B 1，2，3 C 1，2，3 D 1，2，3 考点： 一元二次方程的一般形式 分析：
10、 根据一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b，c 是常数且 a0）中，ax 2 叫 二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数 项，直接进行判断即可 解答： 解：一元二次方程 x22x3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 1，2， 3 故选：A 点评： 本题主要考查了一元二次方程的一般形式注意在说明二次项系数，一次项系数， 常数项时，一定要带上前面的符号 2 （3 分）反比例函数 y= 的图象经过第二、四象限，那么 k 的值可能是（） A 3 B 4 C 5 D 2 考点： 反比例函数的性质 分析： 由反比例函数的性质列
11、出不等式，解出 k 的范围，在这个范围写出 k 的整数解则 可 解答： 解：反比例函数的图象在二、四象限， k30 ，即 k3 D 符合， 故选 D 点评： 本题考查了反比例函数的性质：当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限 3 （3 分）反比例函数 y= 图象上有三个点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x 3，y 3） ，其中 x1x 20x 3，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（） A y1y 2y 3 B y2y 1y 3 C y3y 1y 2 D y3y 2y 1 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征 分析： 先根据反比例函
12、数 y= 判断出函数图象所在的象限，再根据 x1x 20x 3，判断 出三点所在的象限，再根据点在各象限坐标的特点及函数在每一象限的增减性解答 解答： 解：反比例函数 y= 中，k=6 0， 此反比例函数图象的两个分支在一、三象限； x3 0， 点（ x3，y 3）在第一象限，y 30； x1 x20， 点（ x1，y 1） ， （x 2，y 2）在第三象限，y 随 x 的增大而减小，故 y2y 1， 由于 x10x 3，则（x 3，y 3）在第一象限， （x 1，y 1）在第三象限，所以 y10，y 20，y 1y 2， 于是 y2y 1y 3 故选 B 点评： 本题考查了反比例函数图象上点
13、的坐标特征：当 k0 时，图象分别位于第一、三 象限，横纵坐标同号；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号 4 （3 分）两个相似多边形的面积比是 9：16，其中较小多边形的周长为 36cm，则较大多 边形的周长为（） A 48cm B 54cm C 56cm D 64cm 考点： 相似多边形的性质 分析： 根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平 方计算即可 解答： 解：两个相似多边形的面积比是 9：16，面积比是周长比的平方， 大多边形与小多边形的相似比是 4：3 相似多边形周长的比是 4：3 设大多边形的周长为 x， 则有 = ， 解得：x=4
14、8 即大多边形的周长为 48cm 故选 A 点评： 本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面 积之比等于相似比的平方 5 （3 分）从全市 5000 份数学试卷中随机抽取 400 份试卷，其中 360 份成绩合格，那么可 以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？（） A 4500 B 4000 C 3600 D 4800 考点： 用样本估计总体 分析： 由题意可知：抽取 400 份试卷中合格率为 100%=90%，则估计全市 5000 份 试卷成绩合格的人数约为 500090%=4500 份 解答： 解：5000 =4500（人） 故选：A 点评： 本题考查了用样
15、本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体 进行 估算是统计学中最常 用的估算方法 6 （3 分）如图，D 为ABC 边 BC 上一点，要使ABD CBA，应该具备下列条件中的 （） A = B = C = D = 考点： 相似三角形的判定 分析： 根据相似三角形的判定问题，题中已有一公共角，再添加对应边比值相等即可 解答： 解：当 = 时， 又B=B ， ABDCBA 故选：C 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键 7 （3 分）如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点 A，在对岸取点 B、C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在
16、 BC 上，并且点 A、E、D 在同一 条直线上， 若测得 BE=20m，EC=10m ，CD=20m，则河的宽度 AB 等于（） A 60m B 40m C 30m D 20m 考点： 相似三角形的应用 分析： 由两角对应相等可得 BAECDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB 解答： 解：AB BC，CD BC， BAECDE， = ， BE=20m，CE=10m ，CD=20m， ， 解得：AB=40， 故选 B 点评： 考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似 三角形的对应边成比例 8 （3 分）关于 x 的方程 x2+2kx+k1=0 的根的情
17、况描述正确的是（） A 无论 k 为任何实数，方程都没有实数根 B 无论 k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 C 无论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 D 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和两个相 等实数根三种 考点： 根的判别式 分析： 求出 b24ac 的值，根据求出的结果判断即可 解答： 解：x 2+2kx+k1=0， =（2k） 24（k1）=4k 24k+4=4（k ） 2+3， 不论 k 为何值，0， 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选 C 点评： 本题考查了根的判别式的应用，能运用知识点进行计算和推论是解此题的关键，
18、 注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 、b、c 为常数，a0） ，当 b24ac0 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，当 b24ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，当 b24ac0 时，一元二次方程没有实数根 9 （3 分）在 RtABC 中，C=90，当A=60，a=3 时，c 的值是（） A c=4 B c=5 C c=6 D c=7 考点： 解直角三角形 专题： 计算题 分析： 根据正弦的定义得到 sinA= ，则 c= ，然后根据特殊角的三角函数值进 行计算 解答： 解：在 RtABC 中， C=90， sinA= ， c= = =6 故选 C 点评： 本题考
19、查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是 解直角三角形 10 （3 分）学校评选出 30 名优秀学生，要选 5 名代表参加全市优秀学生表彰会，已经确 定了 1 名代表，则剩余学生参加全市优秀学生表彰会的概率是（） A B C D 考点： 概率公式 分析： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况的总数 二者的比值就是其发生的概率的大小 解答： 解：因为有 30 名优秀学生已经确定了 1 名代表，所以还有 29 名学生，再从中选 51=4 名有 29 种可能，符合条件的有 4 种，故其概率为： 故选 D 点评： 本题考查概率的求法与运用，一般
20、方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事 件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11 （3 分）在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，以点 A 为位似中心，把ABC 放大 3 倍后得 到AEF，则E=72 考点： 位似变换 分析： 在ABC 中，AB=AC，A=36，则 B=C=72，以点 A 为位似中心，把ABC 放大 3 倍后得AEF，则ABC 与AEF 相似，则对应角相等，因而E=B=72 解答： 解：AB=AC，A=36， B=C=72 ABCAEF E=B=72 故答案为：7
21、2 点评： 本题主要考查了位似的定义，位似的图形的对应边的比相等 12 （3 分）反比例函数 y= 的图象经过点（2，1） ，则 m 的值是 1 考点： 待定系数法求反比例函数解析式 专题： 函数思想 分析： 把已知点的坐标代入可求出 k 值，k=m+1，则 m 的值即可求出 解答： 解：将点（2，1）代入解析式 y= 可得： m+1=2，所以 m=1 故答案为：1 点评： 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的 重点内容 13 （3 分）若 = ，则 = 考点： 代数式求值 专题： 计算题 分析： 对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值
22、 解答： 解：根据 = 得 3a=5b，则 = 故答案为： 点评： 主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD=3，AC=4，则 sinB 的值是 考点： 直角三角形斜边上的中线；锐角三角函数 的定义 专题： 计算题 分析： 关键再见三角形斜边上的中线等于斜边的一半和 CD=3，求出 AB 的长，再根据 锐角三角函数的定义（sinB= ） ，即可求出答案 解答： 解：在 RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，CD=3 ， AB=2CD=6， AC=4， sinB= = = ， 故答案为： 点评： 本题考查
23、了对直角三角形斜边上的中线和锐角三角函数的理解和掌握，理解三角 形斜边上的中线等于斜边的一半，求出 AC 的长是解此题的关键 15 （3 分）2014 年 1 月， “教学点数字教育资源”进入某县农村中小学，2014 年该县投入该 项工程的经费为 3500 万元，预计 2016 年投入 4600 万元设这两年投入这项工程的经费的 年平均增长率为 x，则可列方程：3500（1+x） 2=4600 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题： 增长率问题 分析： 根据 2014 年教育经费额（1+平均年增长率） 2=2016 年教育经费支出额，列出方 程即可 解答： 解：设增长率为 x，根据题意得
24、 3500（1+x） 2=4600， 故答案为：3500 （1+x） 2=4600 点评： 本题考查一元二次方程的应用求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化 后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b （当增长时 中间的“”号选“ +”，当下降时中间的 “”号选“”） 16 （3 分）河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ，则 AB 的 长为 12 米 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析： 在 RtABC 中，根据坡面 AB 的坡比以及 BC 的值，求出 AC 的值，再通过解直 角三角形即可求出斜面 AB
25、的长 解答： 解：Rt ABC 中， BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ， BC：AC=1 ： ， AC= BC=6 （米） ， AB= = =12（米） 故答案为 12 米 点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理 是解答本题的关键 17 （3 分）如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米 的 A 处，则小明的影子 AM 长为 5 米 考点： 相似三角形的应用 专题： 压轴题 分析： 易得：ABM OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长 解答： 解：根据题意，易得MBA MCO， 根据相似三角
26、形的性质可知 = ，即 = ， 解得 AM=5m则小明的影长为 5 米 点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小 明的影长 18 （3 分）设 x1，x 2 为一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，则有如下 关系：x 1+x2= ，x 1x2= ，根据材料，若 x1，x 2 是方程 x2+8x+4=0 的两根，则 + 的值2 考点： 根与系数的关系 专题： 计算题 分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x2=8，x 1x2=4，再把 + 通分得 ，然 后利用整体代入的方法计算 解答： 解：根据题意得 x1+x2=8，x 1x2=4， 所以
27、+ = = =2 故答案为2 点评： 本题考查了根与系数的关系：设 x1，x 2 为一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两 根，则有如下关系：x 1+x2= ，x 1x2= 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19 （6 分）解方程：x 210x+9=0 考点： 解一元二次方程- 因式分解法 分析： 分解因式后得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解答： 解：x 210x+9=0， （x1） （ x9）=0， x1=0， x9=0， x1=1，x 2=9 点评： 本题啊扣除了解一元一次方程和解一元二 次方程的应用，关键是能把解一元二次 方程转化成解一元一次方程 20 （6
28、分）计算：2cos30tan45|1 tan60| 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 将特殊角的三角函数值代入求解 解答： 解：原式=2 1 +1 =0 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数 值 21 （8 分）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九（1） 、九（2）班根据初赛成绩各选 出 5 名选手参加复赛，两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩（满分为 100 分）如图所示 （1）根据如图，分别求出两班复赛的平均成绩和方差； （2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？ 考点： 方差；用样本估计总体；条形统计图；加权平均数 专题： 计算
29、题 分析： （1）从直方图中得到各个选手的得分，由平均数和方差的公式计算； （2）由方差的意义分析 解答： 解：（1）九（1）班的选手的得分分别为 85，75，80，85，100， 九（ 1）班成绩的平均数= （ 85+75+80+85+100） 5=85， 九（1）班的方差 S12=（8585） 2+（7585） 2+（8085） 2+（85 85） 2+（10085） 25=70； 九（2）班的选手的得分分别为 70，100，100，75，80， 九（2）班成绩的平均数=（70+100+100+75+80）5=85， 九（2）班的方差 S22=（7085） 2+（10085） 2+（100
30、85 ） 2+（75 85） 2+（8085） 2 5=160； （2）平均数一样的情况下，九（1）班方差小，成绩比较稳定 点评： 本题考查了方差及平均数的知识，解答本题的关键是掌握平均数及方差的计算方 法 22 （8 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y= 的 图象交于 A（1，4） 、B（3，m ）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积 考点： 反比例函数综合题 专题： 待定系数法 分析： （1）把 A 代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式，把点 B 代入反比 例函数解析式就能求得完整的点 B 的坐标，把 A，B 坐
31、标代入一次函数即可求得解析式； （2）把三角形整理为矩形减去若干直角三角形的面积的形式，比较简便 解答： 解：（1）点 A（1， 4）在反比例函数 y= 的图象上，所以 k2=xy=14=4，故有 y= 因为 B（3，m）也在 y= 的图象上， 所以 m= ，即点 B 的坐标为 B（3， ） ， 一次函数 y=k1x+b 过 A（1，4） 、B （3， ）两点，所以 解得 所以所求一次函数的解析式为 y= x+ （2）过点 A 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、A，过点 B 作 x 轴的 垂线，垂足为 B， 则 SAOB=S 矩形 OAAA+S 梯形 AABBSOAASOBB =1
32、4+ （4+ ）（31） 14 3 = ， AOB 的面积为 点评： 求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；求坐标系内三角形的面积， 通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式 23 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x23xk=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围 （2）求 k 的负整数值，并选择一个 k 的负整数值，求出方程的根 考点： 根的判别式 分析： （1）根据判别式的意义得到=（ 3） 2+4k0，然后解不等式即可； （2）选取一个 k 的负整数值，求出方程的根即可 解答： 解：（1）关于 x 的一元二次方程 x23xk=0 有两个不相等的实数根，
33、 =（3） 2+4k0， 解得：k ； （2）假设 k=2， 则 x23x+2=0， 解得：x 1=1，x 2=2， 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 24 （10 分）如图是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建 于明万历十二年（1584 它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔小明决定用自己所学习的 知识测量大观楼文峰塔的高度，如图，他利用测角仪站在 B 处测得文峰塔最高点 P 的仰 角为 45，又前进了 12 米到达 A 处，在
34、A 处测得 P 的仰角为 60请你帮助小明算算文峰 塔的高度 （结果保留根号） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 首先设塔高为 x 米，根据题意可知，PAO=60， B=45，在 RtAOP 和 Rt BOP 中，分别表示出 OB、OA 的长度，然后根据 OBOA=12 米，代入求解 解答： 解：由题意得，PAO=60， B=45， 设塔高为 x 米， 在 RtAOP 中， PAO=60， OA= x， 在 RtBOP 中， B=45， OB=x， 则 x x=12， 解得：x=18+6 答：文峰塔的高度为（18+6 ）米 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是
35、根据仰角构造直角三角形， 利用三角函数的知识求解 25 （10 分）如图，已知ABC 中，ABC=135，过 B 作 AB 的垂线交 AC 于点 P，若 ，PB=2，求 BC 的长 考点： 平行线分线段成比例 分析： 过 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于 D，求出 AP：AC=2：3，推出 BPCD，得出 比例式 = ，代入求出 CD，求出 CBD=45，求出 BD=CD=3，根据勾股定理求出 BC 即可 解答： 解：过 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于 D， PBAB，CDAB， PBCD， APBACD， = ， = ， = ， PB=2， CD=3， ABC=135， DBC
36、=45， CDBD， BD=CD=3， 由勾股定理得：BC= =3 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知 识点，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目 26 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=10，将MPN 的顶点 P 在矩形 ABCD 的边 AD 上滑动，在滑动过程中，始终保持MPN=90 ，射线 PN 经过点 C，射线 PM 交 直 线 AB 于点 E，交直线 BC 于点 F （1） 求证：AEP DPC； （2）在点 P 的运 动过程中，点 E 与点 B 能重合吗？如果能重合，求 DP 的长； （
37、3）是否存在这样的点 P 使DPC 的面积等于AEP 面积的 4 倍？若存在，求出 AP 的长； 若不存在，请证明理由 考点： 四边形综合题 分析： （1）根据矩形的性质，推出D= A=90，再由直角三角形的性质，得出 PCD+DPC=90，又因CPE=90，推出 EPA+DPC=90，PCD=EPA，从而证明 CDPPAE； （2）利用当 B，E 重合时，利用已知得出 ABPDPC，进而求出 DP 的长即可； （3）假设存在满足条件的点 P，设 DP=x，则 AP=10x，由CDPPAE 知，求出 DP 即 可 解答： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， D=A=90，CD=AB=6，
38、PCD+DPC=90， 又CPE=90， EPA+DPC=90， PCD=EPA， AEPDPC （2）假设在点 P 的运动过程中，点 E 能与点 B 重合， 当 B，E 重合时， BPC=90， APB+DPC=90， DPC+DCP=90， DCP=APB， A=D， ABPDPC， = ， 即： = ， 解得：DP=2 或 8， B，E 重合时 DP 的长为 2 或 8； （3）存在满足条件的点 P， CDPPAE， 根据使DPC 的面积等于AEP 面积的 4 倍，得到两三角形的相似比为 2， =2， 即 =2， 解得 AP=1.5； 点评： 题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假 设当 B，E 重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键
