1、昌平区 2015-2016 学年第一学期初三年级期末质量抽测 数 学 试 卷 20161 学校 姓名 考试编号 考 生 须 知 1本试卷共 8 页,共五道大题,29 道小题,满分 120 分 考试时间 120 分钟 2在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号 3试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效 4考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题(共 10 道小题,每小题 3 分,共 30 分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的 1在平面直角坐标系中,将点 A(2,3)向右平移3个单位长度后得 到的对应点 A的坐标是 A(1,3) B(2,3) C(2,6
2、) D(2,1) 【考点】图形的平移 【试题解析】 向右平移 3 个单位长度,那么就是横坐标加 3,所以-2+3=1 所以 A的坐标为(1,3) 【答案】A 2下面四个几何体中,主视图是圆的是 A B C D 【考点】几何体的三视图 【试题解析】 主视图是指从正面看到的图形,从正面看到是圆的图形,是 B 【答案】B 3“双十二”期间,小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包,除了书包打八折外还随机赠送 购买者1支笔(除颜色外其它都相同且数量有限)小冉的妈妈购买成功时,还有5支黑色,3支绿 色,2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为 A B C D 101531025 【考点】概率及计算 【
3、试题解析】 根据概率的知识,3(5+3+2)= 0.3,选 C 【答案】C 4. 已知O 的半径长为 5,若点 P 在O 内,那么下列结论正确的是 A. OP5 B. OP=5 C. 0OP5 D. 0OP5 【考点】点与圆的位置关系 【试题解析】 因为点 P 在O 内,所以 OP 最大不超过 5,最小为 0,选 D 【答案】D 5如右图,在 RtABC 中,C=90,AC=4,BC =3,则 的值等于sinB A B C D 43344535 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 AC=4,BC=3, AB=5 sinB= 【答案】C 6已知 是 y 关于 x 的二次函数,那么 m 的值为(2
4、)myx A-2 B. 2 C. D. 02 【考点】二次函数的概念及表示方法 【试题解析】 根据题意得: m=2 CBA 当 m=2 时,y=2,不是二次函数 选 A 【答案】A 7如右图,线段 AB 是O 的直径,弦 CD 丄 AB,CAB=20,则AOD 等 于 A120 B 140 C150 D 160 【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 线段 AB 是O 的直径,弦 CD 丄 AB, 弧 BC=弧 BD BOD=2CAB=220=40 AOD=140 【答案】B 8二次函数 的最小值为23yx A. 5 B. 0 C. -3 D. -4 【考点】二次函数的概念及表示方法 【试
5、题解析】 =(x-1)-4-4 选 D 【答案】D 9如右图,将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50后得到 A1B1C若A=40, B 1=110, 则BCA 1 的度数是 A 90 B 80 C 50 D 30 【考点】图形的旋转 【试题解析】 根据旋转的性质, B1=110,B=110, B1BACA1 A BCDO A=40 ACB=30 ACA1=80 【答案】B 10. 如右图,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于O ,EF 与 BC,CD 分别相 交于点 G,H,则 的值为EF A. B. C. D. 23232 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 如答图,连接 AC,E
6、C,AC 与 EF 交于点 . 则根据对称性质,AC 经过圆心 O, AC 垂直 平分 EF, . 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2,则 . AC 是O 的直径, . 在 中, , . 在 中, , . 易知 是等腰直角三角形, . 又 是等边三角形, . . 故选 C. 【答案】C ABCDEOFGH 二、填空题(共 6 道小题,每小题 3 分,共 18 分) 11如果 , 那么锐角 的度数为 . 3cos2AA 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 根据特殊值三角函数,A=30 【答案】A=30 12如右图,四边形 ABCD 内接于O ,E 是 BC 延长线上一点,若BAD=105, 则
7、DCE 的度数是 . 【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 BAD+BCD=180 BCD=180-105=75 DCE=105 【答案】105 13在一个不透明的口袋中装有 5 个除了标号外其余都完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4, 5,从中随机摸出一个小球,其标号小于 4 的概率为 . 【考点】概率及计算 【试题解析】 小于 4 的可能有 1,2,3,小于 4 的概率=35=0.6 【答案】0.6 14如右图,AB 是O 的直径,弦 于点 E, ,CDAB3023CDB, 则阴影部分的面积为 . 【考点】概率及计算 OEDBA C BEDCAO 【试题解析】 小于 4
8、的可能有 1,2,3,小于 4 的概率=35=0.6 【答案】0.6 15如图 1,将一个量角 器与一张等边三角形( ABC )纸片放置成轴对称图形,CDAB,垂足为 D,半圆(量角器)的圆心与点 D 重合,此时,测得顶点 C 到量角器最高点的距离 CE2cm,将 量角器沿 DC 方向平移 1cm,半圆(量角器)恰与ABC 的边 AC,BC 相切,如图 2,则 AB 的长为 cm. 图1 CBA DE EDA B C 图2 【考点】切线的性质与判定 【试题解析】 设量角器的半径为 x,图 2 所示 CE=1cm x:AD=(1+x):AC AC=2AD x=1 CD=3cm ABC 是等边三角
9、形 AB= cm 【答案】 16. 如右图,我们把抛物线 yx(x 3)(0x3)记为 C1, 它与 x 轴交于点 O,A 1;将 C1 绕点 A1 旋转 180得 C2, 交 x 轴于另一点 A2;将 C2 绕点 A2 旋转 180得 C3,交 x 轴 于另一点 A3;如此进行下去,直至得 C2016C 1 的对 称轴方程是 ;若点 P(604 7,m )在抛物线 C2016 上, 则 m = . C3A3C2A2y xOA1C1 【考点】二次函数的图像及其性质 【试题解析】 对称轴方程为 x=1.5 抛物线 C2016 的解析式和 x 轴的交点坐标为 6045 和 6048, 顶点坐标为(
10、6046.5,2.25); 抛物线解析式为 y=(x-6045)(x-6048),把 x=6047 代入得: m=-2 【答案】y=(x-6045)(x-6048);m=-2 三、解答题(共 6 道小题,每小题 5 分,共 30 分) 17计算: 2sin0co3(sin4)ta 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 解: 【答案】 18如下图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格 点, ABC 的顶点均在格点上. (1)画出将ABC 向右平移 2 个单位后得到的A 1B1C1,再画出将A 1B1C1 绕点 B1 按逆时针 方向旋转 90后所得到的A 2
11、B1C2; (2)求线段 B1C1 旋转到 B1C2 的过程中,点 C1 所经过的路径长 ACB 【考点】图形的旋转图形的平移 【试题解析】 解析:(1)如图所示. (2)点 C1 所经过的路径为一段弧, 点 C1 所经过的路径长为 【答案】(1)见解析;(2)2 19抛物线 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表:2(0)yaxbc x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 (1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标; (2)直接写出当 y0 时 x 的取值范围 【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】 解析:(1)由表得,抛物线 过点(0,6), c = 6 抛物线 过点(-
12、1,4)和(1,6), 解得, 二次函数的表达式为 抛物线 过点(0,6)和(1,6), 抛物线的对称轴方程为 . 当 时, , 抛物线的顶点坐标为 . (2)当 y0 时 x 的取值范围是 x-2 或 x3. 【答案】(1) ; ;(2)x-2 或 x3. 20. 如下图,在ABC 中,A=3 0,B =45,AC = ,求 AB 的长. 32BCA 【考点】解直角三角形 【试题解析】 解析:过点 C 作 CDAB 于点 D. 在 RtADC 中, , , . 在 RtCDB 中,B=45, DCB=B=45. . . 【答案】3+ 21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余
13、、可回收和其他三类,分别记为 a,b,c,并且设置了相应的垃圾箱, “厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记 为 A,B,C (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱,请画树状图或列表求垃圾投放正确的 概率; (2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 100 吨生活垃圾, 数据统计如下表(单位:吨): 垃 圾 箱 垃 圾 A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少 【考点】概率及计算 【试题解析】 解析:(1)画树状图或列表为 P(垃圾投放正确)= . (2)
14、 , 估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为 . 【答案】见解析 22. 如右图,二次函数 的顶点坐标为 M( 1,-4).2yxhk() (1)求出该二次函数的图象与 x 轴的交点 A,B 的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点 P(点 P 与点 M 不重合),使 ,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由 54PABMABS xyOABM 【考点】二次函数与几何综合 【试题解析】 解:(1)二次函数 的顶点坐标为 M(1,-4), 抛物线的表达式为 . 令 y=0,得 . 抛物线与 轴的交点坐标为 A(-1,0),B(3,0). (2)A(-1,0), B(3,0), M(
15、1,-4), AB=4. . AB=4, 点 P 到 AB 的距离为 5 时, . 即点 P 的纵坐标为 . 点 P 在二次函数的图象上,且顶点坐标为 M(1,-4), 点 P 的纵坐标为 5. . x1=-2,x2=4. 点 P 的坐标为(4,5)或(-2,5). 【答案】(1) A(-1,0),B(3,0).(2)(4 ,5)或(-2,5) 四、解答题(共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 23如右图,ABC 内接于O,B=60 ,CD 是 O 的直径,点 P 是 CD 延长线上的一点,且 AP=AC (1)求证:PA 是O 的切线; (2)若 , ,求O 的半径43AB23C
16、P OD CBA 【考点】四边形综合题 【试题解析】 解析:(1)证明:连接 OA B=60, AOC=2B=120 又OA=OC, OAC=OCA=30 又AP=AC, P=ACP=30 OAP=AOC-P=90 OAPA 又点 A 在O 上, PA 是O 的切线 (2)解:过点 C 作 CEAB 于点 E 在 RtBCE 中,B=60, , ,CE=3 , 在 RtACE 中, AP=AC=5 在 RtPAO 中, O 的半径为 【答案】(1)见解析;(2) 24某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示,跳绳时,绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物 线的一部分,记作 G,绳子两端的距离 AB
17、约为 8 米,两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离 AC 和 BD 基本保持 1 米,当绳甩过最低点时刚好擦过地面,且与抛物线 G 关于直线 AB 对称. (1)求抛物线 G 的表达式并写出自变量的取值范围; (2)如果身高为 1.5 米的小华站在 CD 之间,且距点 C 的水平距离为 m 米,绳子甩过最高处时超 过她的头顶,直接写出 m 的取值范围 . 图GCA BD 【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】 解析:(1)如图所示建立平面直角坐标系. 由题意可知: , ,顶点 . 设抛物线 G 的表达式为 . 在抛物线 G 上, ,求得 . . 自变量的取值范围为-4x4. (2) . 【答案
18、】(1) ;(2) 25如图,O 的半径为 20,A 是O 上一点,以 OA 为对角线作矩形 OBAC,且 OC=12. 直线 BC 与O 交于 D,E 两点,求 CE-BD 的值. OACBDE 【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 解析:过点 O 作 于点 F. 在矩形 ABOC 中,OA=20, , . 在 RtBOC 中,OC=20 , cos . 在 RtOCF 中,cos , . . . . 【答案】 26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知 为锐角,且 sin= ,求 sin2 的13 值 小娟是这样给小芸讲解的: 如图 1,在O 中,AB 是直径,点
19、C 在O 上,所以ACB=90. 设BAC=, 则 sin= BCA = 易得BOC=2设 BC=x,则 AB=3x,则 AC= x作 CDAB 于 D,求出 CD= 3 2 (用含 x 的式子表示) ,可求得 sin2= = DC 【问题解决】已知,如图 2,点 M,N,P 为O 上的三点, 且P=,sin = ,求 sin2 的35 值. ONMP 图2OB CA D 图1 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 解析:解: sin2= = 如图,连接 NO,并延长交O 于点 Q,连接 MQ,MO,过点 M 作 于点 R 在O 中,NMQ=90 Q=P=, MON=2Q=2 在 RtQMN 中
20、, sin = , 设 MN=3k,则 NQ=5k,易得 OM= NQ= MQ= , MR= 在 RtMRO 中,sin2=sinMON = 【答案】 ; 五、解答题(共 3 道小题,第 27,28 小题各 7 分,第 29 小题 8 分,共 22 分) 27阅读下列材料: 春节回家是中国人的一大情结,春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、 亲戚带点年货,坐车回去不好携带,加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费 通行等因素,所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用,出 现了很多的租赁公司. 某租赁公司拥有20辆小型汽车,公司平均
21、每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500 元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆. 根据以上材料解答下列问题: 设公司每日租出x辆车时,日收益为y元(日收益=日租金收入-平均每日各项支出) . (1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金收入为 元(用含x的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益才能盈利? 【考点】函数的表示方法及其图像 【试题解析】 解析:(1)1500-50x(0x20, x 为整数). (2)日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量, 日租金收入x(
22、1500-50x). 又日收益日租金收入-平均每日各项支出, yx(1500-50x)-6250 50x2+1500x-625050(x15)2+5000. 租赁公司拥有 20 辆小型汽车, 0x20. 当 x15 时,y 有最大值 5000. 当日租出 15 辆时, 租赁公司的日收益最大,最大值为 5000 元. (3)当租赁公司的日收益不盈也不亏时,即 y0. 50(x15) 2 + 50000,解得 x125,x25. 当 5x25 时,y0. 租赁公司拥有 20 辆小型汽车, 当每日租出 5x20(x 为整数)辆时,租赁公司的日收益才能盈利. 【答案】(1)1500-50x(0x20,
23、 x 为整数);(2)当日租出 15 辆时, 租赁公司的日收益最 大,最大值为 5000 元;(3)当每日租出 5x20(x 为整数)辆时,租赁公司的日收益才能盈利。 28. 已知,点 O 是等边ABC 内的任一点,连接 OA,OB,OC. (1) 如图 1,已知AOB=150,BOC=120,将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC. DAO 的度数是 ; 用等式表示线段 OA,OB,OC 之间的数量关系,并证明; (2) 设AOB= ,BOC= . 当 , 满足什么关系时,OA+OB+OC 有最小值?请在图 2 中画出符合条件的图形,并说明 理由; 若等边ABC 的边长为 1,
24、直接写出 OA+OB+OC 的最小值. AB CDAB CO 图1 图2 【考点】等边三角形 【试题解析】 解析:(1)90.线段 OA,OB,OC 之间的数量关系是 . 如图 1,连接 OD. BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC, ADCBOC,OCD=60. CD = OC,ADC =BOC=120, AD= OB. OCD 是等边三角形. OC=OD=CD,COD=CDO=60. AOB=150,BOC=120, AOC=90. AOD=30,ADO=60. DAO=90. 在 RtADO 中,DAO=90, . . (2)如图 2,当 =120时,OA+OB+OC 有最小
25、值. 作图如图 2 的实线部分. 如图 2,将AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得AOC,连接 OO. AOCAOC,OCO=ACA=60. OC= OC, OA = OA,AC = BC, AOC =AOC. OC O是等边三角形. OC= OC = OO,COO=COO=60. AOB=BOC=120, AOC =AOC=120. BOO=OOA=180. 四点 B,O,O,A共线. OA+OB+OC= OA +OB+OO =BA 时值最小. 当等边ABC 的边长为 1 时,OA+OB+OC 的最小值 AB= . 【答案】见解析 29. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知两点 A(0
26、,3),B(1 , 0),现将线段 AB 绕点 B 按顺时针方向旋 转 90得到线段 BC,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 C. (1)如图 1,若该抛物线经过原点 O,且 . 14 求点 C 的坐标及该抛物线的表达式; 在抛物线上是否存在点 P,使得POB=BAO. 若存在,请求出所有满足条件的点 P 的坐标, 若不存在,请说明理由; (2)如图 2,若该抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 D(2,1),点 Q 在抛物线上,且满足 QOB =BAO . 若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,请直接写出 a 的取值范围. CBAOy x1 2-14 432-1 图2图1-1
27、2 344-1 21 xyOAB C 【考点】二次函数与一次函数综合 【试题解析】 解析:(1)如图 1,过点 C 作 CDx 轴于点 D. . ABC=90, . 又 , . AB=BC, AOBBDC. BD=OA,CD=OB. A(0,3),B(1,0), C(4,1). 抛物线 y=ax2+bx+c 经过原点 O,且 , . 又抛物线经过点 C(4,1), . 该抛物线的表达式为 . 当点 P 在第一象限时,过点 P 作 PGx 轴于点 G,连接 OP. POB=BAO, . 设 P(3m,m),m0. 点 P 在 上, . 解得: , (舍去). . 当点 P 在第四象限时,同理可求得 . 当点 P 在第二、三象限时,POB 为钝角,不符合题意. 综上所述,在抛物线上存在使得POB=BAO 的点 P,点 P 的坐标为 或 . (2) 的取值范围为 或 . 【答案】见解析