1、昌平区 2015-2016 学年第一学期初三年级期末质量抽测 数 学 试 卷 20161 学校 姓名 考试编号 考 生 须 知 1本试卷共 8 页，共五道大题，29 道小题，满分 120 分 考试时间 120 分钟 2在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号 3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 4考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1在平面直角坐标系中，将点 A（2，3）向右平移3个单位长度后得 到的对应点 A的坐标是 A（1，3） B（2，3） C（2，6
2、） D（2，1） 【考点】图形的平移 【试题解析】 向右平移 3 个单位长度，那么就是横坐标加 3，所以-2+3=1 所以 A的坐标为(1,3) 【答案】A 2下面四个几何体中，主视图是圆的是 A B C D 【考点】几何体的三视图 【试题解析】 主视图是指从正面看到的图形，从正面看到是圆的图形，是 B 【答案】B 3“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送 购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿 色，2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为 A B C D 101531025 【考点】概率及计算 【
3、试题解析】 根据概率的知识，3(5+3+2)= 0.3,选 C 【答案】C 4. 已知O 的半径长为 5，若点 P 在O 内，那么下列结论正确的是 A. OP5 B. OP=5 C. 0OP5 D. 0OP5 【考点】点与圆的位置关系 【试题解析】 因为点 P 在O 内，所以 OP 最大不超过 5，最小为 0，选 D 【答案】D 5如右图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC =3，则 的值等于sinB A B C D 43344535 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 AC=4，BC=3， AB=5 sinB= 【答案】C 6已知 是 y 关于 x 的二次函数，那么 m 的值为(2
4、)myx A-2 B. 2 C. D. 02 【考点】二次函数的概念及表示方法 【试题解析】 根据题意得： m=2 CBA 当 m=2 时，y=2，不是二次函数 选 A 【答案】A 7如右图，线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB，CAB=20，则AOD 等 于 A120 B 140 C150 D 160 【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB， 弧 BC=弧 BD BOD=2CAB=220=40 AOD=140 【答案】B 8二次函数 的最小值为23yx A. 5 B. 0 C. -3 D. -4 【考点】二次函数的概念及表示方法 【试
5、题解析】 =(x-1）-4-4 选 D 【答案】D 9如右图，将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50后得到 A1B1C若A=40， B 1=110， 则BCA 1 的度数是 A 90 B 80 C 50 D 30 【考点】图形的旋转 【试题解析】 根据旋转的性质， B1=110，B=110， B1BACA1 A BCDO A=40 ACB=30 ACA1=80 【答案】B 10. 如右图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于O ，EF 与 BC，CD 分别相 交于点 G，H，则 的值为EF A. B. C. D. 23232 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 如答图，连接 AC,E
6、C，AC 与 EF 交于点 . 则根据对称性质，AC 经过圆心 O， AC 垂直 平分 EF， . 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则 . AC 是O 的直径， . 在 中， ， . 在 中， ， . 易知 是等腰直角三角形， . 又 是等边三角形， . . 故选 C. 【答案】C ABCDEOFGH 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分） 11如果 ， 那么锐角 的度数为 . 3cos2AA 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 根据特殊值三角函数，A=30 【答案】A=30 12如右图，四边形 ABCD 内接于O ，E 是 BC 延长线上一点，若BAD=105， 则
7、DCE 的度数是 . 【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 BAD+BCD=180 BCD=180-105=75 DCE=105 【答案】105 13在一个不透明的口袋中装有 5 个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4， 5，从中随机摸出一个小球，其标号小于 4 的概率为 . 【考点】概率及计算 【试题解析】 小于 4 的可能有 1,2,3，小于 4 的概率=35=0.6 【答案】0.6 14如右图，AB 是O 的直径，弦 于点 E， ,CDAB3023CDB， 则阴影部分的面积为 . 【考点】概率及计算 OEDBA C BEDCAO 【试题解析】 小于 4
8、的可能有 1,2,3，小于 4 的概率=35=0.6 【答案】0.6 15如图 1，将一个量角 器与一张等边三角形（ ABC ）纸片放置成轴对称图形，CDAB,垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重合，此时，测得顶点 C 到量角器最高点的距离 CE2cm，将 量角器沿 DC 方向平移 1cm，半圆（量角器）恰与ABC 的边 AC，BC 相切，如图 2,则 AB 的长为 cm. 图1 CBA DE EDA B C 图2 【考点】切线的性质与判定 【试题解析】 设量角器的半径为 x，图 2 所示 CE=1cm x：AD=(1+x)：AC AC=2AD x=1 CD=3cm ABC 是等边三角
9、形 AB= cm 【答案】 16. 如右图，我们把抛物线 yx(x 3)（0x3）记为 C1， 它与 x 轴交于点 O，A 1；将 C1 绕点 A1 旋转 180得 C2， 交 x 轴于另一点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180得 C3，交 x 轴 于另一点 A3；如此进行下去，直至得 C2016C 1 的对 称轴方程是 ；若点 P（604 7，m ）在抛物线 C2016 上， 则 m = . C3A3C2A2y xOA1C1 【考点】二次函数的图像及其性质 【试题解析】 对称轴方程为 x=1.5 抛物线 C2016 的解析式和 x 轴的交点坐标为 6045 和 6048， 顶点坐标为(
10、6046.5,2.25); 抛物线解析式为 y=(x-6045)(x-6048)，把 x=6047 代入得： m=-2 【答案】y=(x-6045)(x-6048)；m=-2 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17计算： 2sin0co3(sin4)ta 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 解： 【答案】 18如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格 点， ABC 的顶点均在格点上. （1）画出将ABC 向右平移 2 个单位后得到的A 1B1C1，再画出将A 1B1C1 绕点 B1 按逆时针 方向旋转 90后所得到的A 2
11、B1C2； （2）求线段 B1C1 旋转到 B1C2 的过程中，点 C1 所经过的路径长 ACB 【考点】图形的旋转图形的平移 【试题解析】 解析：（1）如图所示. （2）点 C1 所经过的路径为一段弧， 点 C1 所经过的路径长为 【答案】(1)见解析；(2)2 19抛物线 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：2(0)yaxbc x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）直接写出当 y0 时 x 的取值范围 【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】 解析：（1）由表得，抛物线 过点(0，6), c = 6 抛物线 过点(-
12、1，4)和(1，6), 解得， 二次函数的表达式为 抛物线 过点(0，6)和(1，6), 抛物线的对称轴方程为 . 当 时， , 抛物线的顶点坐标为 . （2）当 y0 时 x 的取值范围是 x-2 或 x3. 【答案】(1) ； ；(2)x-2 或 x3. 20. 如下图，在ABC 中，A=3 0，B =45，AC = ，求 AB 的长. 32BCA 【考点】解直角三角形 【试题解析】 解析：过点 C 作 CDAB 于点 D. 在 RtADC 中， ， ， . 在 RtCDB 中，B=45， DCB=B=45. . . 【答案】3+ 21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余
13、、可回收和其他三类，分别记为 a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱， “厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记 为 A，B，C （1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的 概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 100 吨生活垃圾， 数据统计如下表（单位：吨）： 垃 圾 箱 垃 圾 A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少 【考点】概率及计算 【试题解析】 解析：（1）画树状图或列表为 P(垃圾投放正确)= . (2)
14、 ， 估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为 . 【答案】见解析 22. 如右图，二次函数 的顶点坐标为 M( 1，-4).2yxhk() （1）求出该二次函数的图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P（点 P 与点 M 不重合），使 ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 54PABMABS xyOABM 【考点】二次函数与几何综合 【试题解析】 解：（1）二次函数 的顶点坐标为 M(1，-4)， 抛物线的表达式为 . 令 y=0，得 . 抛物线与 轴的交点坐标为 A(-1，0)，B(3，0). （2）A(-1,0), B(3,0), M(
15、1，-4), AB=4. . AB=4, 点 P 到 AB 的距离为 5 时， . 即点 P 的纵坐标为 . 点 P 在二次函数的图象上，且顶点坐标为 M(1，-4)， 点 P 的纵坐标为 5. . x1=-2，x2=4. 点 P 的坐标为(4，5）或（-2，5）. 【答案】(1) A(-1，0)，B(3，0).(2)(4 ，5）或（-2，5） 四、解答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 23如右图，ABC 内接于O，B=60 ，CD 是 O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 ， ，求O 的半径43AB23C
16、P OD CBA 【考点】四边形综合题 【试题解析】 解析：（1）证明：连接 OA B=60， AOC=2B=120 又OA=OC， OAC=OCA=30 又AP=AC， P=ACP=30 OAP=AOC-P=90 OAPA 又点 A 在O 上， PA 是O 的切线 （2）解：过点 C 作 CEAB 于点 E 在 RtBCE 中，B=60， ， ，CE=3 ， 在 RtACE 中， AP=AC=5 在 RtPAO 中， O 的半径为 【答案】(1)见解析；(2) 24某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物 线的一部分，记作 G，绳子两端的距离 AB
17、约为 8 米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离 AC 和 BD 基本保持 1 米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线 G 关于直线 AB 对称. （1）求抛物线 G 的表达式并写出自变量的取值范围； （2）如果身高为 1.5 米的小华站在 CD 之间，且距点 C 的水平距离为 m 米，绳子甩过最高处时超 过她的头顶，直接写出 m 的取值范围 . 图GCA BD 【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】 解析：（1）如图所示建立平面直角坐标系. 由题意可知： ， ，顶点 . 设抛物线 G 的表达式为 . 在抛物线 G 上， ，求得 . . 自变量的取值范围为-4x4. （2） . 【答案
18、】(1) ；(2) 25如图，O 的半径为 20，A 是O 上一点，以 OA 为对角线作矩形 OBAC，且 OC=12. 直线 BC 与O 交于 D，E 两点，求 CE-BD 的值. OACBDE 【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 解析：过点 O 作 于点 F. 在矩形 ABOC 中，OA=20， ， . 在 RtBOC 中，OC=20 ， cos . 在 RtOCF 中，cos ， . . . . 【答案】 26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知 为锐角，且 sin= ，求 sin2 的13 值 小娟是这样给小芸讲解的： 如图 1，在O 中，AB 是直径，点
19、C 在O 上，所以ACB=90. 设BAC=， 则 sin= BCA = 易得BOC=2设 BC=x，则 AB=3x，则 AC= x作 CDAB 于 D，求出 CD= 3 2 （用含 x 的式子表示） ，可求得 sin2= = DC 【问题解决】已知，如图 2，点 M，N，P 为O 上的三点， 且P=，sin = ，求 sin2 的35 值. ONMP 图2OB CA D 图1 【考点】锐角三角函数 【试题解析】 解析：解： sin2= = 如图，连接 NO，并延长交O 于点 Q，连接 MQ，MO，过点 M 作 于点 R 在O 中，NMQ=90 Q=P=， MON=2Q=2 在 RtQMN 中
20、， sin = ， 设 MN=3k，则 NQ=5k，易得 OM= NQ= MQ= ， MR= 在 RtMRO 中，sin2=sinMON = 【答案】 ； 五、解答题（共 3 道小题，第 27，28 小题各 7 分，第 29 小题 8 分，共 22 分） 27阅读下列材料： 春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、 亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费 通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出 现了很多的租赁公司. 某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均
21、每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆. 根据以上材料解答下列问题： 设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益=日租金收入-平均每日各项支出） . （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为 元（用含x的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利? 【考点】函数的表示方法及其图像 【试题解析】 解析：（1）1500-50x（0x20, x 为整数）. （2）日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量， 日租金收入x(
22、1500-50x). 又日收益日租金收入-平均每日各项支出， yx(1500-50x)-6250 50x2+1500x-625050(x15)2+5000. 租赁公司拥有 20 辆小型汽车， 0x20. 当 x15 时,y 有最大值 5000. 当日租出 15 辆时, 租赁公司的日收益最大，最大值为 5000 元. （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即 y0. 50(x15) 2 + 50000，解得 x125，x25. 当 5x25 时，y0. 租赁公司拥有 20 辆小型汽车， 当每日租出 5x20（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利. 【答案】（1）1500-50x（0x20,
23、 x 为整数）；（2）当日租出 15 辆时, 租赁公司的日收益最 大，最大值为 5000 元；（3）当每日租出 5x20（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利。 28. 已知，点 O 是等边ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC. （1） 如图 1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC. DAO 的度数是 ； 用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明； （2） 设AOB= ，BOC= . 当 ， 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图 2 中画出符合条件的图形，并说明 理由； 若等边ABC 的边长为 1，
24、直接写出 OA+OB+OC 的最小值. AB CDAB CO 图1 图2 【考点】等边三角形 【试题解析】 解析：（1）90.线段 OA，OB，OC 之间的数量关系是 . 如图 1，连接 OD. BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， ADCBOC，OCD=60. CD = OC,ADC =BOC=120, AD= OB. OCD 是等边三角形. OC=OD=CD，COD=CDO=60. AOB=150，BOC=120， AOC=90. AOD=30，ADO=60. DAO=90. 在 RtADO 中，DAO=90， . . （2）如图 2，当 =120时，OA+OB+OC 有最小
25、值. 作图如图 2 的实线部分. 如图 2，将AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得AOC，连接 OO. AOCAOC，OCO=ACA=60. OC= OC, OA = OA，AC = BC, AOC =AOC. OC O是等边三角形. OC= OC = OO，COO=COO=60. AOB=BOC=120， AOC =AOC=120. BOO=OOA=180. 四点 B，O，O，A共线. OA+OB+OC= OA +OB+OO =BA 时值最小. 当等边ABC 的边长为 1 时，OA+OB+OC 的最小值 AB= . 【答案】见解析 29. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知两点 A(0
26、，3)，B(1 ， 0)，现将线段 AB 绕点 B 按顺时针方向旋 转 90得到线段 BC，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 C. （1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 . 14 求点 C 的坐标及该抛物线的表达式； 在抛物线上是否存在点 P，使得POB=BAO. 若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标， 若不存在，请说明理由； （2）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 D(2，1)，点 Q 在抛物线上，且满足 QOB =BAO . 若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围. CBAOy x1 2-14 432-1 图2图1-1
27、2 344-1 21 xyOAB C 【考点】二次函数与一次函数综合 【试题解析】 解析：（1）如图 1，过点 C 作 CDx 轴于点 D. . ABC=90， . 又 ， . AB=BC， AOBBDC. BD=OA，CD=OB. A(0，3)，B(1，0)， C(4，1). 抛物线 y=ax2+bx+c 经过原点 O，且 ， . 又抛物线经过点 C(4，1)， . 该抛物线的表达式为 . 当点 P 在第一象限时，过点 P 作 PGx 轴于点 G,连接 OP. POB=BAO， . 设 P(3m，m)，m0. 点 P 在 上， . 解得： ， (舍去). . 当点 P 在第四象限时，同理可求得 . 当点 P 在第二、三象限时，POB 为钝角，不符合题意. 综上所述，在抛物线上存在使得POB=BAO 的点 P，点 P 的坐标为 或 . （2） 的取值范围为 或 . 【答案】见解析
