1、福建省泉州市惠安县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分） 1与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 2下列计算正确的是（ ） A B C2 +4 =6 D =2 3如图，ABCAED，ADE=80 ，A=60，则 B 等于（ ） A40 B60 C80 D100 4若 n（n0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根，则 m+n 的值为（ ） A1 B2 C 1 D2 5顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形一定是（ ） A菱形 B矩形 C正方形 D平行四边形 6一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除
2、颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球， 下列事件为必然事件的是（ ） A至少有 1 个球是黑球 B至少有 1 个球是白球 C至少有 2 个球是黑球 D至少有 2 个球是白球 7如图，ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 G，连接 DE，下列结论不正确的是（ ） A点 G 是ABC 的重心 BDEBC CABC 的面积=2ADE 的面积 DBG=2GE 二、填空题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 8当 x 时，二次根式 有意义 9方程 x2=2 的解是 10已知 ，则 = 11已知关于 x 的方程 mx2+x+1=0 没有实数根，则 m 的值是 12在一张比例尺为 1：500
3、00 的地图中，小明家到动车站的距离有 0.3 米，则小明家到动车站的 实际距离是 米 13如图，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的中点，若 DE=6，则 BC= 14如图，已知ABCACP，AB=5，AC=2，则ABC 与ACP 的周长之比为 15一个学习兴趣小组有 4 名女生，6 名男生，现要从这 10 名学生中选出一人担任组长，则女生 当选组长的概率是 16某坡面的坡度为 1：1，则它的坡角是 度 17如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACB 的角平分线分别交 AB、BD 于 M、N 两点若 AM=2，则CAB= 度； 线段 ON 的长为 三、解
4、答题（共 9 小题，满分 89 分） 18计算： 201602sin30+|1 | 19解方程：x（x1） 2（x1）=0 20先化简，再求值：（a+ ） （a ）+a（1a） ，其中 a= +1 21在“阳光体育” 活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中 选出两位同学打第一场比赛 （1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率； （2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率 22已知：ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3） 、B（3，4） 、C （2，2） （正方形网格中每
5、个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出ABC 向下平移 4 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，得到的 A1B1C1，点 C1 的坐 标是 ； （2）以点 B 为位似中心，在网格内画出 A2B2C2，使 A2B2C2 与ABC 位似，且位似比为 2：1， 点 C2 的坐标是 ； （3）A 2B2C2 的面积是 平方单位 23如图，为测量某建筑物 BC 上旗杆 AB 的高度，小明在距离建筑物 BC 底部 11.4 米的点 F 处， 测得视线与水平线夹角AED=60，BED=45小明的观测点与地面的距离 EF 为 1.6 米 （1）求建筑物 BC 的高度； （2）求旗杆 AB 的高度（结
6、果精确到 0.1 米） 参考数据： 1.41， 1.73 24现代互联网技术的广泛应用，促进了快递行业的高度发展据调查，某家小型“大学生自主创 业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该 公司每月投递的快递总件数的增长率相同求该快递公司投递总件数的月平均增长率及今年四月份 完成投递的快递总件数 25如图，在 RtABC 中， BAC=90，ABC=60，AB=4 ，M 是 BC 边的中点，MN BC 交 AC 于点 N直角PMQ 绕顶点 M 旋转，使得边 MP 于线段 BA 交于点 P，边 MQ 与线段 AC 交于 点 Q （1）判断P
7、BM 与QNM 是否相似，如果相似，请写出证明过程； （2）设 BP 的长为 x，RtAPQ 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）探求 BP2，PQ 2，CQ 2 三者数量关系，并说明理由 26如图，在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，直线 y=kx k+3 交 y 轴正半轴于点 B，交 x 轴 于点 A （1）试说明点 C（ ，3）一定在直线 AB 上； （2）试探索：当原点 O 到直线 AB 的距离取得最大值时， 求出此时直线 AB 的解析式； 在第一象限内的点 P，满足 POB 与 ABO 相似请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 （不 必
8、写出解答过程） 福建省泉州市惠安县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分） 1与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】利用开根号的知识分别将各选项进行化简，即可得出答案 【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，故本选项错误； B、 =3，与 不是同类二次根式，故本选项错误； C、 =3 ，与 不是同类二次根式，故本选项错误； D、 = ，与 ，是同类二次根式，故本选项正确； 故选 D 【点评】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，比较简单，注意细心将各选项分别化简后再 作答 2下
9、列计算正确的是（ ） A B C2 +4 =6 D =2 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】根据二次根式的除法法则对 A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 进行判断；根据 二次根式的加减法对 C 进行判断；根据二次根式的性质对 D 进行判断 【解答】解：A、原式= =3，所以 A 选项正确； B、原式= =2 ，所以 B 选项错误； C、2 与 4 不是同类二次根式，不能合并，所以 C 选项错误； D、原式=2，所以 D 选项错误 故选 A 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式 3如图，ABC
10、AED，ADE=80 ，A=60，则 B 等于（ ） A40 B60 C80 D100 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据三角形内角和定理可求得AED ，再根据相似三角形的性质可求得B=AED，可得 到答案 【解答】解：ADE+A+AED=180， AED=180ADEA=1808060=40， 又ABC AED， B=AED=40， 故选 A 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键 4若 n（n0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根，则 m+n 的值为（ ） A1 B2 C 1 D2 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】把
11、x=n 代入方程得出 n2+mn+2n=0，方程两边都除以 n 得出 m+n+2=0，求出即可 【解答】解：n（n0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根， 代入得：n 2+mn+2n=0， n0， 方程两边都除以 n 得：n+m+2=0 ， m+n=2 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出 m+n 的值是解此题的关键， 题型较好，难度适中 5顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形一定是（ ） A菱形 B矩形 C正方形 D平行四边形 【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理 【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对
12、角线的一半，那么 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形 【解答】解：根据三角形中位线定理可得：连接后的四边形的对边平行且相等，根据平行四边形的 判定，可知四边形为平行四边形 故选 D 【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题 目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础 6一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球， 下列事件为必然事件的是（ ） A至少有 1 个球是黑球 B至少有 1 个球是白球 C至少有 2 个球是黑球 D至少有 2 个球是白球 【
13、考点】随机事件 【分析】由于只有 2 个白球，则从中任意摸出 3 个球中至少有 1 个球是黑球，于是根据必然事件的 定义可判断 A 选项正确 【解答】解：一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸 出 3 个球，至少有 1 个球是黑球是必然事件；至少有 1 个球是白球、至少有 2 个球是黑球和至少有 2 个球是白球都是随机事件 故选 A 【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件事 件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定事件又分为必然事件和不可能事件， 7如图，ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 G，连接
14、 DE，下列结论不正确的是（ ） A点 G 是ABC 的重心 BDEBC CABC 的面积=2ADE 的面积 DBG=2GE 【考点】三角形中位线定理；三角形的重心 【专题】推理填空题 【分析】根据 DE 是ABC 的中位线可判断出选项 A、B、C 的正确与错误，利用相似三角形面积 的比等于相似比的平方可判定选项 B 【解答】解：ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 G， 点 G 是 ABC 的重心， DEBC 且 DE= BC，所以选项 A、B 正确； 点 G 是 ABC 的重心，根据重心性质或利用三角形相似可得 BG=2GE， 选项 D 正确； 由ADE ABC，可知ABC 的面积=4
15、ADE 的面积， 所以选项 C 错误 故选 C 【点评】此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形重心的理解和掌握，此题难度不大，属于 基础题，要求同学们应熟练掌握此题的知识点 二、填空题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 8当 x 1 时，二次根式 有意义 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解 【解答】解：根据题意得：x1 0，解得 x1 故填 x1 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次根式 中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 9方程 x2=2 的解是 【考点】解一元
16、二次方程-直接开平方法 【分析】利用直接开平方法求解即可 【解答】解：x 2=2， x= 故答案为 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a（a0） ；ax 2=b（a，b 同号且 a0） ； （x+a） 2=b（b0） ；a （x+b） 2=c（a，c 同号且 a0） 法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把 系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解” （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体 （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点 10已知 ，则 = 【考点】比例的性质 【分析】根据两內项之积等
17、于两外项之积用 a 表示出 b，然后代入比例式进行计算即可得解 【解答】解：由 得到：2a+2b=3b， 所以 b=2a， 所以 = = 故答案是： 【点评】本题考查了比例的性质，用 a 表示出 b 是解题的关键 11已知关于 x 的方程 mx2+x+1=0 没有实数根，则 m 的值是 m 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【专题】推理填空题 【分析】根据关于 x 的方程 mx2+x+1=0 没有实数根，可知0，从而可以得到 m 的值，本题得以 解决 【解答】解：关于 x 的方程 mx2+x+1=0 没有实数根， =124m10， 解得，m ， 故答案为：m 【点评】本题考查根的判别式和
18、一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程无实数根时， 0 12在一张比例尺为 1：50000 的地图中，小明家到动车站的距离有 0.3 米，则小明家到动车站的 实际距离是 15000 米 【考点】比例线段 【分析】要求小明家到动车站的实际距离多少千米，根据“图上距离 比例尺= 实际距离” ，代入数值， 计算即可 【解答】解：0.3 =15000（米） 答：小明家到动车站的实际距离是 15000 米 故答案为：15000； 【点评】考查了比例线段，此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系， 进行分析解答即可得出结论 13如图，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边
19、上的中点，若 DE=6，则 BC= 12 【考点】三角形中位线定理 【专题】计算题 【分析】由于 D、E 分别为 AB、AC 边上的中点，那么 DE 是 ABC 的中位线，根据三角形中位线 定理可求 BC 【解答】解：如图所示， D、 E 分别为 AB、AC 边上的中点， DE 是ABC 的中位线， DE= BC， BC=12 故答案是 12 【点评】本题考查了三角形中位线定理三角形的中位线等于第三边的一半 14如图，已知ABCACP，AB=5，AC=2，则ABC 与ACP 的周长之比为 5：2 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可 【解答】解：AB
20、：AC=5 ：2， ABCACP， ABC 和ACP 的相似比是 5：2， ABC 与ACP 的周长之比为 5：2， 故答案为：5：2 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键 15一个学习兴趣小组有 4 名女生，6 名男生，现要从这 10 名学生中选出一人担任组长，则女生 当选组长的概率是 【考点】概率公式 【分析】随机事件 A 的概率 P（A ）=事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用女 生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可 【解答】解：女生当选组长的概率是： 410= 故答案为： 【点评】此题主要
21、考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事 件 A 的概率 P（ A）= 事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 （2）P（必然事件） =1 （3）P（不可能事件）=0 16某坡面的坡度为 1：1，则它的坡角是 45 度 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据坡度可以求得该坡角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度 【解答】解：坡度为 1：1， tan=1， 为锐角， =45 故答案为：45 【点评】本题考查了坡度的定义、特殊角的三角函数值、三角函数值在直角三角形中的应用，正确 掌握坡度的定义是解题关键 17如图，正方形 ABCD 的对角线
22、AC 与 BD 相交于点 O，ACB 的角平分线分别交 AB、BD 于 M、N 两点若 AM=2，则CAB= 45 度； 线段 ON 的长为 1 【考点】正方形的性质 【分析】根据正方形对角线平分对角可得答案； 作 MHAC 于 H，如图，根据正方形的性质得 MAH=45，则AMH 为等腰直角三角形，所以 AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得 BM=MH= ，则 AB=2+ ，于是利用正方形的性 质得到 AC= AB=2 +2，OC= AC= +1，所以 CH=ACAH=2+ ，然后证明CONCHM， 再利用相似比可计算出 ON 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， CAB=
23、45， 故答案为：45； 作 MHAC 于 H，如图， 四边形 ABCD 为正方形， MAH=45， AMH 为等腰直角三角形， AH=MH= AM= 2= ， CM 平分ACB， BM=MH= ， AB=2+ ， AC= AB= （2+ ）=2 +2， OC= AC= +1，CH=ACAH=2 +2 =2+ ， BDAC， ONMH， CONCHM， = ，即 = ， ON=1 故答案为：1 【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应 注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形 的一般方法是通过作平行线构
24、造相似三角形正方形对角线互相垂直平分且平分每一组对角 三、解答题（共 9 小题，满分 89 分） 18计算： 201602sin30+|1 | 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质以及绝对值的性质化简， 进而求出答案 【解答】解：原式=4 12 + 1 = +1 【点评】此题主要考查了零指数幂以及特殊角的三角函数值和二次根式的乘法运算以及绝对值的性 质，正确化简化简各数是解题关键 19解方程：x（x1） 2（x1）=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】首先提取公因式（x1）进而分解因式解方程即可 【解答】
25、解：x（x1） 2（x1）=0 （x1） （ x2）=0， 解得：x 1=1，x 2=2 【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确提取公因式是解题关键 20先化简，再求值：（a+ ） （a ）+a（1a） ，其中 a= +1 【考点】整式的混合运算化简求值 【分析】首先利用平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则化简，进而将已知代入求出答案 【解答】解：原式=a 25+aa2 =a5， 当 a= +1 时， 原式= +15 = 4 【点评】此题主要考查了整式的化简求值，正确运用乘法公式进行计算是解题关键 21在“阳光体育” 活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从
26、中 选出两位同学打第一场比赛 （1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率； （2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）由题意可得共有小丽、小敏、小洁三位同学，恰好选中小英同学的只有一种情况，则 可利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中小敏、小洁两位 同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有 3 种情况， 而选中小丽的情况只有一种，所以
27、P（恰好选中小丽）= ； （2）列表如下： 小英 小丽 小敏 小洁 小英 （小英，小丽） （小英，小敏） （小英，小洁） 小丽 （小丽，小英） （小丽，小敏） （小丽，小洁） 小敏 （小敏，小英） （小敏，小丽） （小敏，小洁） 小洁 （小洁，小英） （小洁，小丽） （小洁，小敏） 所有可能出现的情况有 12 种，其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种，所以 P（小 敏，小洁）= = 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出 所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意 概率=所求情况数与总情况数之比
28、 22已知：ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3） 、B（3，4） 、C （2，2） （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出ABC 向下平移 4 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，得到的 A1B1C1，点 C1 的坐 标是 （1，2 ） ； （2）以点 B 为位似中心，在网格内画出 A2B2C2，使 A2B2C2 与ABC 位似，且位似比为 2：1， 点 C2 的坐标是 （1，0） ； （3）A 2B2C2 的面积是 10 平方单位 【考点】作图-位似变换；作图 -平移变换 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2
29、）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用A 2B2C2 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：A 1B1C1，即为所求， C1（1，2） ； 故答案为：（1，2） ； （2）如图所示：A 2B2C2，即为所求， C2（1，0） ； 故答案为：（1，0） ； （3）A 2B2C2 的面积是：46 26 24 24=10 故答案为：10 【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换和三角形面积求法等知识，根据题意得出对应点位 置是解题关键 23如图，为测量某建筑物 BC 上旗杆 AB 的高度，小明在距离建筑物 BC 底部 11.4 米的点 F
30、 处， 测得视线与水平线夹角AED=60，BED=45小明的观测点与地面的距离 EF 为 1.6 米 （1）求建筑物 BC 的高度； （2）求旗杆 AB 的高度（结果精确到 0.1 米） 参考数据： 1.41， 1.73 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）先过点 E 作 EDBC 于 D，由已知底部 B 的仰角为 45得 BD=ED=FC=11.4，DC=EF=1.6，从而求出 BC； （2）由已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 60可求出 AD，则 AB=ADBD 【解答】解：（1）根据题意得：EF FC，EDFC， 四边形 CDEF 是矩形， BED=45，
31、 EBD=45， BD=ED=FC=11.4， BC=BD+DC=BD+EF=11.4+1.6=13， 答：建筑物 BC 的高度为 13m； （2）AED=60， AD=EDtan60 11.41.7319.7， AB=ADBD=19.711.4=8.3， 答：旗杆 AB 的高度约为 8.3m 【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形 问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解 24现代互联网技术的广泛应用，促进了快递行业的高度发展据调查，某家小型“大学生自主创 业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.
32、1 万件，现假定该 公司每月投递的快递总件数的增长率相同求该快递公司投递总件数的月平均增长率及今年四月份 完成投递的快递总件数 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】利用五月份完成投递的快递总件数为：三月份完成投递的快递总件数（1+x） 2，进而得 出等式求出答案 【解答】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得 10（1+x） 2=12.1， 解得：x 1=0.1，x 2=2.2（不合题意舍去） 该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%； 四月份投递总件数=10 （1+10%）=1.1（万件） ， 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%；今年
33、四月份完成投递的快递总件数是 1.1 万 件 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快 递总件数是解题关键 25如图，在 RtABC 中， BAC=90，ABC=60，AB=4 ，M 是 BC 边的中点，MN BC 交 AC 于点 N直角PMQ 绕顶点 M 旋转，使得边 MP 于线段 BA 交于点 P，边 MQ 与线段 AC 交于 点 Q （1）判断PBM 与QNM 是否相似，如果相似，请写出证明过程； （2）设 BP 的长为 x，RtAPQ 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）探求 BP2，PQ 2，CQ
34、2 三者数量关系，并说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）根据垂直的定义、同角的余角相等得到CNM= B， BMP=NMQ，根据相似三角形 的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形的性质、直角三角形的性质用 x 表示出 AQ、AP 的长，根据三角形的面积公 式计算即可； （3）根据（2）的结论、结合图形，运用函数思想进行计算即可 【解答】解：（1）PBM 与 QNM 相似， BAC=90， B+C=90， MNBC， CNM+C=90， CNM=B， PMQ=90，MN BC， BMP=NMQ， PBMQNM； （2）BAC=90，ABC=60，AB=4 ， BC=8 ，AC=12
35、， M 是 BC 边的中点， BM=MC=4 ，MN=4，NC=8， AN=4， PBMQNM， = ，即 = ， 解得，NQ= x， AQ=4+ x， S= AQAP= （4+ x）（4 x） = x2+8 ，0x4 ； （3）BP 2+CQ2=PQ2， 证明：由（2）得，AQ=4+ x，AP=4 x， 由勾股定理得，PQ 2=AQ2+AP2=（4+ x） 2+（4 x） 2 = x2 x+64， CQ2=（8 x） 2= x2 x+64，BP 2=x2， CQ2+BP2= x2 x+64， BP2+CQ2=PQ2 【点评】本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质
36、定理是解题 的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用 26如图，在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，直线 y=kx k+3 交 y 轴正半轴于点 B，交 x 轴 于点 A （1）试说明点 C（ ，3）一定在直线 AB 上； （2）试探索：当原点 O 到直线 AB 的距离取得最大值时， 求出此时直线 AB 的解析式； 在第一象限内的点 P，满足 POB 与 ABO 相似请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 （不 必写出解答过程） 【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）根据已知条件得到当 x= 时，y=k k+3=3，即可得到结论； （2）当 OCAB 时，点 O 到直线 AB 的距离最大
37、，如图 1，过点 C 任作一条异于直线 AB 的直 线 DE，并过点 O 作 OFDE 于点 F，则在 RtOCF 中，斜边 OCOF，于是得到当点 C 与 F 重 合，即 OCAB 时，点 O 到直线 AB 的距离最大，此时 OC= =2 ， 如图 2，过点 C 作 CDx 轴于点 D，由 C（ ，3） ，则COD=60 在 RtAOC 中， CAO=30， OC=2 ，求得 OA=4 ，得到 A（4 ，0） ，代入即可得到结论； 当 OBP=90时，如图 3， （）若 BOPBAO，则BOP= BAO=30，解直角三角形得到 BP= OB= ，求得 P2（ ，4） ， （）若 BPOBAO
38、，则 BPO=BAO=30，解直角三角 形得到 BP= OB=4 ，求得 P1（4 ，4） ；当OPB=90 时（）过点 P 作 OPBA 于点 P，如 图 4，此时PBOOBA，BOP= BAO=30过点 P 作 PMOA 于点 M在 RtPBO 中，根据直角 三角形的性质得到 BP= OB=2，OP= BP=2 ，在 RtPMO 中，OPM=30 ，根据直角三角形的 性质得到 OM= OP= ，PM= OM=3，求得 P3（ ，3） ， （）若POBOBA，如图 4，则 OBP=BAO=30， POM=30解直角三角形得到 PM= OM=1，求得 P4（ ，1） ，当 POB=90时，点
39、P 在 x 轴上，不符合要求 【解答】解：（1）依题意，得 当 x= 时，y=k k+3=3， 点 C（ ，3）一定在直线 AB 上； （2）当 OCAB 时，点 O 到直线 AB 的距离最大， 如图 1，过点 C 任作一条异于直线 AB 的直线 DE，并过点 O 作 OFDE 于点 F， 则在 RtOCF 中，斜边 OCOF， 当点 C 与 F 重合，即 OCAB 时，点 O 到直线 AB 的距离最大， 此时 OC= =2 ， 如图 2，过点 C 作 CDx 轴于点 D， C（ ，3） ，则 COD=60 在 RtAOC 中， CAO=30，OC=2 ， OA=4 ，图 1 A（ 4 ，0）
40、 ， 0=4 k k+3 解得 k= ， 直线 AB 的解析式为 y= x+4； 当 OBP=90时，如图 3， （）若BOPBAO， 则BOP=BAO=30 ，BP= OB= ， P2（ ，4） ， （）若BPOBAO， 则BPO=BAO=30 ，BP= OB=4 ， P1（ 4 ，4） ； 当OPB=90 时 （）过点 P 作 OPBA 于点 P，如图 4， 此时PBO OBA，BOP= BAO=30 过点 P 作 PMOA 于点 M 在 RtPBO 中，BP= OB=2， OP= BP=2 ， 在 RtPMO 中，OPM=30， OM= OP= ，PM= OM=3， P3（ ，3） ， （）若POBOBA，如图 4， 则OBP=BAO=30 ， POM=30 PM= OM=1， P4（ ，1） ， 当POB=90 时，点 P 在 x 轴上，不符合要求 综合得，符合条件的点有四个，分别是 p2（ ，4） ，p 1（4 ，4） ，p 3（ ，3） ， p4（ ，1） 【点评】本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和相似三角形的有关知识，解决这类问 题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法
