1、 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理）答案及评分参考 2015.1 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C （2 ）D （3）B （4）C （5）B （6 ）A （7）C （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分） （9） （10） （11） 1233 （12） （13） ；4 （14）2311,ABD 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（） 的值是 . 2 分 的值是 . 5 分0x53 （）由题意可得： .11()cos()cos()sin362fx
2、xxx 7 分 所以 ()s()sin3fx 8 分co6xxx 1sinsi2 . 10 分3coi3co()xx 因为 ，1,2x 所以 .63 所以 当 ，即 时， 取得最大值 ；0x1x()gx3 当 ，即 时， 取得最小值 . 13 分2332 （16）（共 13 分） 解：（）抽取的 5 人中男同学的人数为 ，女同学的人数为 .530520 4 分 （）由题意可得： . 6 分 2351()0APX 因为 ， 310ab 所以 . 8 分5 所以 . 10 分3232101055EX （） . 13 分21s （17）（共 14 分） 证明：（）连接 .1BC 在正方形 中， .A
3、1B 因为 平面 平面 ，平面 平面111A11BC ， 平面 ，B 所以 平面 . 1 分A1C 因为 平面 ， 1B 所以 . 2 分 在菱形 中， .1C1C 因为 平面 ， 平面 ， ，BAB1ABC= 所以 平面 . 4 分11 因为 平面 ， C CBC1B1A1A 所以 . 5 分1BC1A （） 平面 ，理由如下： 6 分EF 取 的中点 ，连接 .G,E 因为 是 的中点，1BC 所以 ，且 .E12B= 因为 是 的中点，F1A 所以 .2 在正方形 中， ， .1B1B1A= 所以 ，且 .GEAF 所以 四边形 为平行四边形. 所以 . 8 分 因为 平面 ， 平面 ，
4、BCABC 所以 平面 . 9 分EFA （）在平面 内过点 作 .1 1z 由（）可知： 平面 . 以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，B1CB1,BA,xy 建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 .xyz(2,0)A1(,20) 在菱形 中， ，所以 ， . 1C1=60,3,3C 设平面 的一个法向量为 .A(,1)xyn 因为 即10, n(,)20, 所以 即 . 3,20xy(,1) 11 分 由（）可知： 是平面 的一个法向量. 1CB1A GFECBC1B1A 1A z yx FECBC1B1A1A 12 分 所以 . 11 3(,0)(,3)72cos, 94CB
5、n 所以 二面角 的余弦值为 . 14 分1A7 （18）（共 13 分） 解：（）由 得： . 2143xy2,3ab 所以 椭圆 的短轴长为 . 2 分M 因为 ，21cab 所以 ，即 的离心率为 . 4 分e12 （）由题意知： ，设 ，则 . 1(,0)(,)CF00(,)2)Bxyx 20143xy 7 分 因为 100(,)(2,)BFxyxy 9 分23 ， 11 分054x 所以 .(,)2B 所以 点 不在以 为直径的圆上，即：不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上. AClBAC 13 分 另解：由题意可设直线 的方程为 ， .l1xmy12(,)(,)Axy 由 可得
6、： . 21,43xym2(34)690ym 所以 ， . 7 分1264y1234 所以 12(,)(,)CABxy 212my 22296()34m . 9 分250m 因为 ， cos(1,)CAB 所以 . 11 分(,)2 所以 .(0,)B 所以 点 不在以 为直径的圆上，即：不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上. AClBAC 13 分 （19）（共 13 分） 解：（）函数 是偶函数，证明如下： 1 分()fx 对于 ，则 . 2 分,2,2x 因为 ，()cos()in()cosin()fxaaxfx 所以 是偶函数. 4 分 （）当 时，因为 ， 恒成立，0()csi0
7、fxx,2x 所以 集合 中元素的个数为 0. 5 分|()0Axf 当 时，令 ，由 ，0asinx,2 得 .x 所以 集合 中元素的个数为 1. 6 分|()0Af 当 时，因为 ，0a sincos(1)sincos0,()2xaxaxx 所以 函数 是 上的增函数. 8 分()f,2 因为 ，)0f 所以 在 上只有一个零点. ()fx0, 由 是偶函数可知，集合 中元素的个数为 2. 10 分|()Axf 综上所述，当 时，集合 中元素的个数为 0；当 时，集合a|0a 中元素的个数为 1；当 时，集合 中元素的个数为 2.|()0Axfa|()Axf （）函数 有 3 个极值点.
8、 13 分 （20）（共 14 分） 解：（）因为 ，12324(,),(,)aaT 所以 ， ， ，故 . 0Td0Td24(,)1da2()1Tla 1 分 因为 ，所以 . 24(,)42(,) 所以 .4143(,)(,)0TTTTlaa 所以 当 时， 取得最大值 . 3 分3,l2 （）由 的定义可知： . ()db(),1db 所以 12213311(,(,)(,) nTiTTTTil daa 11)(,)nnnnad . 6 分2(1)nC 设删去的两个数为 ，则 .,Tkmla()(1)2TkmlalnM 由题意可知： ，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()()kln 时
9、， ， .()1Tklan,1Tkd,0Tkd 所以 . 7 分()2Tmlan 所以 .123kTln 所以 ，即 .()()Tl M 1(5)32n 8 分 （）对于满足 （ ）的每一个集合 ，集合 中都存在三个不同)1Tilan,23,in TS 的元素 ，使得 恒成立，理由如下：,efg(,()()3TTdeffgde 任取集合 ，由 （ ）可知， 中存在最il,i 12(),()Tnlala 大数，不妨记为 （若最大数不唯一，任取一个）.)Tf 因为 ，(1ln 所以 存在 ，使得 ，即 .eS(,)0Tdfe(,)f 由 可设集合 .)Tlf|GxST 则 中一定存在元素 使得 . 否则， ，与 是最大数矛g,1()1Tlef()Tlf 盾. 所以 ， ，即 .(,)1Tdf(,)Tde(,),(,)3TTdffgde 14 分
