1、1 本题得分 评卷人 第八届全国中学生数理化学科能力展示活动 八年级数学解题技能展示试题（A 卷）及解答 试卷说明：1、本试卷共计 15 题，满分为 120 分 2、考试时间为 120 分钟 3、请在密封线内填写所在地区 学校、姓名和准考证号 4、成绩查询：2016 年 1 月 5 日 起，考生可通过活动官方网站 www.xkslh 查询成绩及获奖情况 一、选择题（每题 6 分，共 48 分，每题只有一个选项是正确的） 1、2016 267234030+16240925=（ ）. A. 2015； B. 2016； C. 1； D. 0 解：2016 267234030+16240925=20
2、16 220164030+40340325= =20162102016403 + 25403 2 =（2016-5403） 2 =1 选 C 2、2015 年 10 月在福建举行的首届全国青年运动会，传递火炬时火炬 离主会场的距离 y 与传递时间 x 之间的函数关系如右图， 若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（ ） A B C D 解：由已图形可知，：开始一段时间离主会场越来越远，然后有一段时 间离主会场的距离不变，然后离主会场越来越近； A：行走路线是离家越来越远，不符合； B：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符； C：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符； 故选：D
3、 3、下列图案是用 四种基本图形四种基本图形按照一 定规律拼成的，第 10 个图案中的最下面一行从左至右的第 2 个基本图 形应是（ ） 总分 2 A B C D 解：每个图案中从上往下，从左往右四种基本图形一个循环， 第 10 个图案中的最下面一行从左至右的第 2 个基本图形是第 47 个图形， 474=113， 第 10 个图案中的最下面一行从左至右的第 2 个基本图形应是 故选 C 4、函数 y=|x-4|+|x-6| 的最小值是（ ）. A. 2 B. C. 4 D. 6 解：像这种|x-R| 的形式, 可以画一条横坐标 ,看作点 x 到点 R 的距离,像 Y=|x- 4|+|x-6|
4、就可看作动点 x 到 4 的距离与到 6 的距离的和, 当点位于 4 和 6 之 间时（包括 4 和 6）,距离之和最小,即函数 Y=|x-4|+|x-6|取得最小值 2,以上 通过草图能很容易看出，选 A 5、如图所示：ABC的面积为1平方厘米，AP垂直B的平分线BP于点P，则 PBC的面积是（ ）. A. 9/20 ； B. 1/2； C. 11/20； D. 3/5 解：延长 AP 交 BC 与点 D,则ABP 与BPD 全等,AP=PD 所以APC 与PCD 面积相等 所以PBC 的面积等于 1/2，选 B 6、Using max（a 1，a 2， ，a n） ，min（a 1，a 2
5、， an）rcprcsents the 3 maximum and minimum of a1，a 2，a n, rcspectively,there are the following conclusions ： max（ a，b ）+max（c，d）=max（a+b，c+d，a+c ，b+d） ； min（a，b）+min（c，d）=min（a+c，a+d，b+c ，b+d ） ； If max（a，b）max （c，d） ，then ac ，b d ； If min（a，b）min （c ，d） ，then ac，bd The number of correct conclusions
6、is （ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 译文:用 max（ a1，a 2， an） ，min（a 1，a 2，a n）分别表示 a1，a 2，a n 中的最大与最小者，有下列结论： max（ a，b ）+max（c，d ）=max（a+b，c+d，a+c ，b+d） ； min（a，b）+min（c，d ）=min（a+c，a+d，b+c ， b+d） ； 若 max（a ， b）max（c ，d ） ，则 ac ，b d； 若 min（a，b）min（c ，d ） ，则 ac ，b d 其中正确结论的个数是( ) 解答：max（a 1，a 2，a n） ，min（a 1，a
7、2，a n）分别表示 a1，a 2，a n 中的最 大与最小者， max（a， b）+max（c， d）=max（a+b，c+d，a+c，b+d） ，正确； min（a ，b）+min（c，d） =min（a+c ，a+d，b+c，b+d） ，正确； 若 max（a， b）max （c， d） ，则 ac，bd，错误； 若 min（a ，b）min（c ， d） ，则 ac，bd，错误 故选：C 7、为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种 密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文 （解密） 。现在加密匙为 y=kx3 ，
8、若“4”通过加密后得到的明文是“2” ，则接受方得到密 文“1/256”解密后得到的明文是（ ）. A. 1/2 ； B. 1/4； C. 2； D. 1/8 解：将 x=4,y=2 代人 y=kx3求得 k=1/32,y=1/256 时，求得 x=1/2 选 A。 8、在一个仓库里堆积着正方体货箱若干，若搬运这些箱子很困难，可是仓 库管理员要清点一下箱子的数量，于是想出一个办法：将这堆货箱的三视图（观 测者从正面、左面、上面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形）画了 出来你能根据如图所示的三视图，帮他清点出箱子的数量吗？这些正方体货箱的 个数为（ ） A. 6； B. 7； C. 8
9、； D. 9 4 本题得分 评卷人 答案：C 解析：根据正视图和侧视图，可以在俯视图中标出每个位置上小正方体的个数，即 这堆货箱每一列的箱子数，如下图所示，所以货箱共有 8 个 二、填空题：（每题 6 分，共 24 分） 9、有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入 x 的值是 7，可发现第 1 次输出的结果是 12，第 2 次输出的结果是 6，第 3 次输出的结果是_， 依次继续下去，第 2016 次输出的结果是_ 3; 2 解：试题分析：根据题意得：开始输入 x 的值是 7，可发现第 1 次输出的结果是 7+5=12； 第 2 次输出的结果是 12=6； 第 3 次输出的结果是 6=3；
10、第 4 次输出的结果为 3+5=8； 5 第 5 次输出的结果为 8=4； 第 6 次输出的结果为 4=2； 第 7 次输出的结果为 2=1； 第 8 次输出的结果为 1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第 2 次开始以 6，3，8，4 ，2，1 循环， （2016 1）6=3355 ， 第 2016 次输出的结果与第 6 次输出的结果相同，为 2。 10、如下图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图 中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所 需胶带长度至少为_cm （不计接缝，结果保留准确值） 答案： （120 +90）
11、解析 试题分析：根据题意，作出实际图形的上底，如图：AC，CD 是上底面的两 边作 CBAD 于点 B， 则 BC=10，AC=20，ACD=120 ， 那么 AB=ACsin60=10 ， 所以 AD=2AB=20 ， 6 胶带的长至少=20 6+156=120 +90（cm） 故答案是（120 +90） 11、如图，在矩形 ABCD 中，AB 的长度为 a，BC 的长度为 b，其中 bab 将此矩形 纸片按下列顺序折叠，则 CD的长度为_(含 a、b 的代数式表示） 答案：3a2b 解析：由轴对称可以得出 AB=AB=a，就有 AC=ba，从而就有 AC=ba，就可以得出 CD=a 2（b
12、a） ，化简就可以得出结论 解：由轴对称可以得出 AB=AB=a， BC=b， AC=ba 由轴对称可以得出 AC=ba， CD=a2（b a） ， CD=3a2b 故答案为：3a 2b 12、一动点沿着数轴向右平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，相当于向右平移 1 个单位， 用实数加法表示为 3+（-2）=1。 若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为 a（向右为正，向左为负，平移 |a|个单位），沿 y 轴方向平移的数量为 b（向上为正，向下为负，平移|b| 个单位），则把 有序数对a，b叫做这一平移的“平移量” ；“平移量”a，b与“ 平移量”c ，d 的加法运算法则
13、 为a，b+c，d=a+c，b+d。 （1）动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照 “平移量”3，1平移到 A，再按照“平移量”1，2 7 本题得分 评卷人 平移到 B；若先把动点 P 按照“ 平移量”1 ，2 平移到 C，再按照“平移量”3，1平移，最后 的位置还是点 B 吗?_ 在图 1 中画出四边形 OABC； （2）如图 2，一艘船从码头 O 出发，先航行到湖心岛码头 P（2，3） ，再从码头 P 航行到 码头 Q（5，5） ，最后回到出发点 O；请用“平移量”加法算式表示它的航行过程。 解： （1 ） 最后的位置仍是 B （2 ） 2，3)+3，2+ 5， 5=0，0 三、解答题（每
14、小题 16 分，共 48 分） 13、 “国庆”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检 票某一天在车站开始检票时，有 640 人排队检票检票开始后，仍有旅客继续前来排队 检票进站设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的检票时，每分钟候 车室新增排队检票进站 16 人，每分钟每个检票口检票 14 人若等候检票的人数 y(人)与检 票时间 x(分钟)的关系如图所示。已知检票的前 a 分钟只开放了两个检票口. (1)求 a 的值 (2)求检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数 (3)若要在开始检票后 15 分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来
15、到站的旅客随 到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 8 分 析 ： （ 1） 根 据 原 有 的 人 数 a 分 钟 检 票 额 人 数 +a 分 钟 增 加 的 人 数 =520 建 立 方 程 求 出 其 解 就 可 以 ； （ 2） 设 当 ax30 时 ， y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b， 由 待 定 系 数 法 求 出 函 数 的 解 析 式 ， 再 将 x=20 代 入 解 析 式 就 可 以 求 出 结 论 ； （ 3） 设 需 同 时 开 放 n 个 检 票 口 ， 根 据 原 来 的 人 数 +15 分 进 站 人 数 n 个 检 票
16、 口 15 分 钟 检 票 人 数 建 立 不 等 式 ， 求 出 其 解 即 可 解 ： （ 1） 由 图 象 知 ， 640+16a-214a=520， a=10 （ 2） 设 当 10x30 时 ， y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b， 由 题 意 ， 得 10k+b=520; 30k+b=0 解 得 ： k=-26,b=780， y=-26x+780， 当 x=20 时 ， y=260， 即 检 票 到 第 20 分 钟 时 ， 候 车 室 排 队 等 候 检 票 的 旅 客 有 260 人 （ 3） 设 需 同 时 开 放 n 个 检 票 口 ， 则 由 题
17、 意 知 14n15640+1615 解 得 ： n4.2 n 为 整 数 ， n 最 小 =5 答 ： 至 少 需 要 同 时 开 放 5 个 检 票 口 14、在ABC 中，BC=a，AC=b,AB=c，若C=90，如图 1，根据勾股定理，则 a+b=c。若ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 a+b与 c的关系，并证明你的结论。 9 解： 若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c 2 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b2c 2 当ABC 是锐角三角形时，证明： 过点 A 作 ADBC，垂足为 D，设 CD 为 x，则有 BD=ax 根据勾
18、股定理，得 b2x2=AD2=c2（a x） 2 即 b2x2=c2a2+2axx2 a 2+b2=c2+2ax a0，x0， 2ax0 a 2+b2c 2 当ABC 是钝角三角形时，证明： 过 B 作 BDAC，交 AC 的延长线于 D 设 CD 为 x，则有 BD2=a2x2 根据勾股定理，得（b+x） 2+a2x2=c2 即 a2+b2+2bx=c2 b0，x0， 2bx0， a 2+b2c 2 15.设 k 为正整数，证明： （1）如果 k 是两个连续正整数的乘积，则 25k+6 也是两个连续正整数的乘积。 （2）如果 25k+6 是两个连续正整数的乘积，则 k 也是两个连续正整数的乘
19、积。 10 证明：（1）由题意,可设 k=n(n+1),其中 n 为任意正整数 25k6=25n(n+1)+6=25n+25n+6=(5n+2)(5n+3) 25k6 也是两个连续的正整数的乘积（证毕） （2）证：由题意,可设 25K6=n(n+1),其中 n 为正整数 则 25k=(n+n-6)=(n-2)(n+3)=(n-2)(n-2)+5 如果 n-2 不是 5 的整数倍，则(n-2)+5 也不是 5 的整数倍，与 k 是正整数矛盾。 n-2 是 5 的整倍数,设 n-2=5p(p 为正整数)，则 n+3=5p+5=5(p+1) 25k=(n-2)(n+3)=5p5(p+1), k=p(p+1) k 也是两个连续的正整数的乘积（证毕）. 济宁高新区济东中学数学组供稿
