1、1行列式的计算西北师范大学数学与统计学院,甘肃,兰州,730070摘要行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题本文介绍了几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法关键词范德蒙行列式降阶法升阶法递推法数学归纳法代数余子式的计算拉普拉斯定理展开符号说明IR表示第I行JC表示第J列IJM表示行列式元素IJA的余子式IJA表示行列式元素IJA的代数余子式IJKRR表示第I行的K倍加到第J行IJKCC表示第I列的K倍加到第J列THECALCULATIONOFTHEDETERMINANTCOLLEGEOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,NORTHWESTNORMA
2、LUNIVERSITY,LANZHOU730070,GANSU,CHINAABSTRACTTHEDETERMINANTISANIMPORTANTTOOLTOSTUDYMANYDISCIPLINES,SOTHECALCULATIONOFTHEDETERMINANTISACOMMONLYCONCERNEDPROBLEMSEVERALPARTICULARANDEFFECTIVEMETHODSOFCALCULATINGTHEDETERMINANTAREINTRODUCEDINTHISPAPER2KEYWORDSVANDERMONDEDETERMINANTREDUCINGORDERMETHODASCEN
3、DINGORDERMETHODRECURSIVEMETHODSMATHEMATICALINDUCTIONCALCULATIONOFALGEBRAICCOMPLEMENTMETHODOFLAPLACEEXPANSION引言使用行列式按行（列）展开,可以将行列式写成低一阶的行列式的代数和,从而将行列式降一阶但是,由于展开式是N项代数和,因此计算量任很大,可以考虑一些减少计算量的方法,并且选择最佳计算方法行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题课本中只介绍了几种计算方法,本文主要介绍几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法,具有针对性一、化行列式为三角行列式使用行列式的性质
4、将行列式化为三角行列式箭形行列式例11计算行列式111112001030100NDN解1212,3,1111102000030000JNJCCJNJNJDN211NJNJ可化为箭形的行列式例12计算N阶行列式123123123123,1,2,NNNNIINXAAAAXAADAAXAXAINAAAX3解112311222,1133110000,2,00INRRNINIINNXAAAAXXADAXXAXAINAXXA箭形行列式31211223311100,2,10101001NNNNIIIIIAAXAXAXAXAXAXAXAIN132122332,110100,2,00100001JNKNKKKN
5、NNCCJNIIIIIXAAAXAXAXAXAXAXAIN111NNKIIKIKKXXAXA行（列）和相等的行列式例13计算N阶行列式NXAAAXADAAX解12,1111111JCCNJNXNAAAAAXNAXAXADXNAXNAAXAX12,10100IRRINAAXAAXNAXA11NXNAXA相邻行（列）元素差1的行列式以数字1,2N为（大部分）元素,且相邻两行（列）元素相差1的N阶行列式可如下计4算自第一行（列）开始,前行（列）减去后行（列）,或自第N行（列）开始,后行（列）减去前行（列）,即可出现大量元素为1或1的行列式例141计算N阶行列式,NIJIJDAAIJ其中解由IJAIJ
6、得11,2,101221111111013211111210431111123401111111231012310IIRRNINNNNNNNDNNNNNNNNN12,3,10000120001220012220123241JCCJNNNNNN12121NNN例142计算N阶行列式123123413451211321221NNNNDNNNNNNN解1,1,2123111111111111111111111IIRRNINNNNNNDNN512,3,1231201111011110111101111JCCJNNNNNNNNN11111111111211111111CNNNNNNN按展开12,3,11
7、11111111211111111JCCJNNNNNNN12,3,1100100121001000JCCJNNNNNNN121221112NNNNNNN112112NNNNN二、利用范德蒙行列式结果计算当行列式各行（列）都是某元素的不同次幂的形式,使用行列式的性质将行列式整理成范德蒙行列式6例2计算行列式12222122221212111NNNNNNNNNNNXXXXXXDXXXXXX解考虑1N阶范德蒙行列式12222122221212122222121212222121111121211111111NNNNNNNNNNNNNNIJJINNNNNNNNNNNNNNNNNXXXXXXDXXXXX
8、XXXXXXXXXFXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX1,1NNNNDFXX显然,就是辅助行列式中元素的余子式M,即1,1,1,11NNNNNNNNNDMAA1,1121NNNNIJJINFXXXXXXX而由的表达式知,的系数为A121NNIJJINDXXXXX三、降阶法使用行列式的性质将行列式的某行（列）化为只有一个非零元素,然后按这一行（列）展开,这样就可以将行列式降一阶,每展开一次,行列式的次数可以降低一阶,如此继续进行直到将行列式降到二阶行列式并求其值这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用7例3计算N阶行列式00000000000000000NXYXYXDYXYYX解11000
9、000100000000NCNXYYXXYDXYYXXY按展开111NNNNNNXYXY四、升阶法升阶法（也称加边法或镶边法）,是在原行列式的基础上增加一行一列（即升一阶）且保持原行列式不变的情况下计算行列式的一种方法可用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点,且化简后常变成箭形行列式例41计算N阶行列式11212212120NNNNNNABAAAABADBBBAAAB解1121211211222,3,2121111010001000100RRINNNNNINNNNNNAAAAAAABAABDAABABAAABB加边1112111,2211000000000JJNJNJJCCBJ
10、NNNAAAABBBB1211NJNJJABBBB8例42计算N阶行列式2112122122212111NNNNNNNXXXXXXXXXXDXXXXX解2112122122212110101NNNNNNNNXXXXXXXXDXXXXXXXXXX加边111212,3,121100010001IINXRRINNXXXX1121212,3,11010000100001JJNINIXCCJNXXXX211NIIX五、递推法使用行列式的性质,将所求的N阶行列式ND用同样形式的1N阶行列式1ND表示出来,建立ND与1ND之间的递推关系,有时还可以将ND用同样形式的比1N阶更低阶的行列式表示,建立他们之间的
11、递推关系,从而找到递推公式,最终求出N阶行列式的值例51证明112211111NNINIINNNXXXDAXXAAAAA9证明11111111NNNNNNXDXDAXDAX按C展开121NNNNNNDXDAXXDAA221NNNXDAXA32321NNNNXDAXAXA12121NNNNAXAXAXA例52计算N阶行列式0000NAAABAADBBABBB解NDN将中第列元素表示成两数之和,然后拆成两个行列式相加,即000000NAAABAABBADBBBAA000000000AAAAABAABABBABBBBBABBBA1N将上式等号右边第一个行列式从第二行起,每一行的倍加到上一行,将第二个
12、行列式按第列展开,得,10000000NNBABADADBBBBA10N将上式等号右边第一个行列式按第列展开，得11NNNDABADAB由字母与的对称性显然有11NNNDBABD联立得,1111NNNNNNDADABDBDBA123321NNNNNNABABAABABB当时,可解得D,111NNNABNA当时,易算出D六、数学归纳法当已知一个N阶行列式的结果,要证明其等式对于任意的自然数都成立,常使用数学归纳法证明如果未知N阶行列式的结果,也可以先计算当1,2,3N时的行列式值,推导出N阶行列式的结果,然后使用数学归纳法证明结论的正确性这种方法通常用在证明N阶行列式的等于某个值的题目中例6证明
13、1212111111111111111111111NNNIINNAADAAAAAA证明1111111,NNDAAA当时，所以结论成立12111KKKIINKDAAAA假设时结论成立,即11KNKD那么当时,将按最后一列拆开,有11112211111011111110111111101111111111111KKKKAAAADAAA12112100000000011111KKKKKKAAADAAAADA12121111KKKKIIAAAAAAAA1121111KKIIAAAA1NK当时,结论亦成立综上可知,1212111111111111111111111NNNIINNAADAAAAAA七、代数
14、余子式的计算NIJNDA设阶行列式,则有结论1,0,NNIKJKKDIJAAIJ或1,0,NNKIKJKDIJAAIJ利用上述表达式有时可以简化代数余子式的有关计算问题12例7设N阶行列式12312001030100NNDN,求第一行各元素的代数余子式之和11121NAAA解显然第一行各元素的代数余子式之和可以表示成11121111112001030100NAAAN1212,3,2111110200110030000JNJNCCJJNJJNJN八、利用拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广为了灵活应用拉普拉斯展开定理,必须正确理解其含义该定理是说在N阶行列式ND中任
15、意选定K个行（列）（1,KN且这K个行（列）不一定相连）,位于这K行（列）中所有K阶子式IM（共KNC个）与其相应的代数余子式IA的乘积之和等于原行列式,即1KNCNIIIDMA需要提醒的是IA是IM的代数余子式,计算IA时不要遗漏其符号,即111KKIIJJIIAN11KKIIIIIJJMNM其中,和,是所在行和列的序号,是的余子式13在利用拉普拉斯定理进行计算时,为使计算简便,一般选含零多的K个行（列）展开例8利用拉普拉斯定理计算2N阶行列式22111324213NNNNNDNNNN解2NDNN因为的第1和2两行中不为0的2阶子式只有一个,因此按第1和2行展开,得1212211213113
16、242NNNNNNNDNNNN21221222222NNNNDDD九、一题多解例9计算N阶行列式123123123123NNNNNABAAAAABAADAAABAAAAAB解法1ND显然是一个各行和相同的行列式,故将各列都加到第一列上然后提取第一个公因子,可得,2323231231111NNNNININAAAABAADBAAABAAAAB1412,311000100100100IINACCINIIBBABB11NNIIBBA解法211232,3000000INRRNINABAAABBDBBBB箭形12312,3000000000ININICCINBAAAABBB11NNIIBBA解法3ND用加
17、边法构造以下与相等的N1阶行列式1121212122,3,1211010001000100INNNRRNNINNAAAAAAABAABDAABABAAABB0NBD若0,显然B不妨设0,112112,311000000000JNINICCBNJNAAAABBDBB15111NNIIBAB11NNIIBBA解法4123123123123000NNNNNABAAAAABAADAAABAAAAAB123123123123123123123123000NNNNABAAAABAAAABAAAABAAAABAAAABAAAAAAABNN将上式等号右边的第一个行列式的各行都减去第行，将第二个行列式按第列展开
18、,得111123000000000NNNNNNBBDBBDBABDAAAA1212NNNNNBABBABD11212NNNNNBABABD11121NNNNBAAABD121NNBAAABAB11NNIIBBA16参考文献【1】徐仲线性代数典型题分析解集2版西北工业大学出版社,1997【2】赵慧斌,高旅瑞线性代数专题分析与解题指导北京大学出版社,2007,8【3】张天德,蒋晓芸线性代数习题精选精解山东科学技术出版社,2009,12【4】上海交通大学数学系编线性代数习题与精解2版上海交通大学出版社,2004,6【5】刘书田,王中良编线性代数学习辅导与解题方法高等教育出版社,2003,7【6】徐仲,陆全等高等代数考研教案2版西北工业大学出版社,2009,6【7】北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编高等代数第3版高等教育出版社,2003,2【8】张禾瑞高等代数同步辅导及习题全解第5版中国矿业大学出版社,2009,2
