1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 分块矩阵的初等变换及其应用 一、选题的背景、意义 1 选题的背景 在 数学 的 矩阵理论 中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将 矩阵 分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为 对角矩阵 或者是 三角矩阵 等特殊形式的矩阵。 2 选题的
2、意义 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得 阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用 1。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩
3、阵，每一块 低阶矩阵称为 A的子块。以子块为元素的矩阵 A称为分块矩阵。 我们将单位矩阵 E 分块： srrEEE0000001 ，其中 Er是 ri 阶单位矩阵 (10，从而 A正定 假设对于 n-1阶实对称矩阵命题为真。现在看 n阶实对称矩阵 A=（ ay）把 A写成分块矩阵： mAA n 1 其中 An-1是 n-1阶实对称矩阵。显然 An-1的所有顺序主子式是 A的 1阶至 n-1阶顺序主子式，由已知条件得，它们都大于零。于是据归纳假设得， An-1是正定的。因此有 n-1阶实可逆矩阵C1，使得 : C1An-1C1=In-1 由于 1 111 111 0 00 nnnnnnnnnnn
4、 AaAAaAaA记 b=ann- A-1n-1 ，因此 bAAIaAAI nnnnnnnn 0 0101 0 11 1111 11 （ 6） 由于 101 01111 11 nnnn AIAI因此从（ 6）式得 A与 bAn0 01合同，且 A = An-1 b ，从而 b0由于 ,0 00 010 00 010 0 111111 bIbCACCbAC nnn 因此 bAn0 01与 bIn0 01合同。由于 bIn0 01矩阵是正定的，于是 A是正定的。 根据数学归纳法原理，命题得证。 2.2.5 分块矩阵在相似问题中的应用 12 定理 3 如果方阵 AB，方阵 CD,则 , CA0 0
5、DB0 0 AB, 方阵 CD. CAYXYEEXCAEXYE 0 00 00 00 00 00 00 0 1111 DBY C YAXXYX 0 00 00 0 1而 YEEXYEEXEXYE 0 00 00 00 00 00 01111111 CA0 0 DB0 0三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1研究内容 （ 1） 分块矩阵及其初等变换 ； （ 2） 分块矩阵的相关应用 （ 3）针对课程内容选取若干举证进行证明 2研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，对 分块矩阵在计算方面的应用进行分析 。采取了从大量阅读已有的数据资料
6、然后对这些内容进行总结 最后运用相关知识来整理总结的技术路线 。 3.研究难点 （ 1）对于分块矩阵应用了解不够透彻； （ 2）由于论题比较深奥，很难有自己的见解，都是 参考前人的文献资料； （ 3） 对分块矩阵应用的论述上并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进。 4.预期达到的目标 通过这次论文的撰写了解分块矩阵的基本概念。会用矩阵的分块来处理一些 较高阶矩阵，尤其是了解其在矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中的应用。 四、论文详细工作进度和安排 第七学期 11 周（ 2010 年 11 月 18 号）至第七学期 18 周（ 2011年 1月 6号） 完成毕业论文文献检索、文献综述、文献翻译及开题报告。 第七学期 18 周 2011年 1月 7号）至第八学 期 3周（ 2011年 3月 11 号） 完成毕业论文的论文初稿。 第八学期 4周（ 2011年 3月 14号）至第八学期 11周（ 2011年 5月 3号） 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改；
