1、 毕业论文 开题报告 信息与计算科学 浅析分块矩阵的应用 一、 选题的背景、意义 1、选题的背景 矩阵（ Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由 19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。 4 矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具 .矩阵
2、理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用 .计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展 . 为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运算会使许多问题化繁为简。 2 2、选题的意义 矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具 .矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用 .计算机的普及进一步促进了
3、矩阵理论的发展 . 为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运 算会使许多问题化繁为简。 2 分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每个小矩阵看成一个元素。 由矩阵 A的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为 A的一个 子矩阵 。把一个矩阵 A 的行分成若干组，列也分成若干组，从而 A 被分成若干个子矩阵，把 A 看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的 分块 ，这种由子矩阵组成的
4、矩阵称为 分块矩阵 。 4 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 分 块矩阵概念介绍 2.1.1 分块矩阵概况 把一个大型矩阵分成若干小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明。 首先通过例子说明矩阵分块的基本思想。 对于一个 mn 矩阵 A，在 A 的行之间加入 1s 条横线 (1 )sm ，在 A 的列之间加入 1t 条竖线 (1 )tn ，则 A 被 分 成 st 个 小 矩 阵 ， 一 次 记 为 ：( 1, 2 , , ; 1, 2 , , )ijA i s j t。此时 A 可写成 1 1 1 2 12
5、 1 2 2 212tns s stA A AA A AAA A A。 把 A 视作以 ijA 为元素的形式上的 st 矩阵，称之为分块矩阵，或称为对 A 的分块，每个小块 ijA 称为 A 的子块。 12 2.2 矩阵产生的历史背景 詹姆斯约瑟夫西尔维斯特（ J.J.Sylvester， 1814-1897）出生于英国伦敦的一个犹太人家庭。西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他在不同领域里孕育了丰富的矩阵思想。他引进了有关矩阵的许多数学名词，给出了举着你的一些重要概念与结论。 1850 年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”（
6、Martix）一词来表示“一项由 m 行 n 列元素组成的矩形阵列”，这是矩阵一词最早 使用。 1858 年，凯莱发表了重要文章矩阵论的研究报告（ A Memoir on the Theory of Matrices），系统的阐述了矩阵的基本理论。在该文中，他用单个的字母表示矩阵，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，定义了两个矩阵相等、相加以及数乘矩阵，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性，数与矩阵的数乘等运算和算律。在该文中，凯莱冲两个变换的复合给出两个矩阵乘积的定义，得出矩阵乘法满足结合律一般不满足交换率，推广了矩阵乘积的转置的一般性质。 凯莱的 矩阵论的研究报告的公开发表标志着矩阵理论作 为
7、一个独立数学分支的诞生。作为矩阵理论的创立者，凯莱的矩阵理论的创立与发展中做出了开创性的工作，他是第一个把矩阵作为独立的概念提出来，并作为独立的理论加以研究的数学家。从矩阵概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法到矩阵一些重要结论的建立，凯莱关于这个课题发表了一系列研究成果，使得矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系。 凯莱创立矩阵理论之后，数学家们并没有停止对矩阵的研究，在 19 世纪下半叶，许多数学家在不痛的数学领域进一步研究和发展着矩阵理论。 1884 年，西尔维斯特提出了对角矩阵（ Diagonal matrix）和数量矩阵（ Scalar matrix）的概念，并且由矩阵加法定
8、义和乘法定义得出对角矩阵和数量矩阵的加法与乘法运算规则。 在矩阵论的发展史上，弗洛玻纽斯的贡献是不可磨灭的。他在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面做了大量的工作。 1878 年，弗洛玻纽斯引进了西尔维斯特矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，给出了正交矩阵、相似矩阵、合同矩阵等概念，指出了各种不痛类型的矩阵的关系，讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要的性质。 20 世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展，现在 矩阵已由最初作为一种工具而发展成为一门独立的数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现
9、代科技的各个领域，在物理学控制论、机器人理论、生物学、经济学等学科有大量的应用。 2.3 分块矩阵发展现状及其基本功能 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由 西尔维斯特 首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经 发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪
10、的发展，现在已成为独立的一门数学分支 矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。分块矩阵可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如 VLSI 芯片设计等。 4 2.4 分块矩阵的运算规则 1分块矩阵的加法 设矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同（即为同型矩阵），采用相同的分块发有 1 1 1 2 12 1 2 2 212rrs s srA A AA A AAA A A，1 1 1 2 12 1 2 2 212rrs s srB B BB B BBB B B其中 ijA 与 ijB 是同型矩阵。那么 1
11、1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2rrrrs s s s s r s rA B A B A BA B A B A BABA B A B A B 。 2 分块矩阵的数量乘法 设分块矩阵ij stAA， k 是常数，则ij stkA kA 。这里 ijkA 是数 k 与 ijA 的数量乘法。由分块矩阵的加法与分块矩阵的数乘可得出分块矩阵的减法如下。 若分块矩阵ij stAA与分块矩阵ij stBB中对应的子块 ijA 与 ijB 都是同型矩阵，则有ij ij stA B A B ，这里 ij ijAB 就是矩阵 ijA 与 ijB 的减法运算。
12、3分块矩阵的乘法 设 A 是 mn 矩阵， B 是 np 矩阵。如果 A 分块为 rs 分块矩阵ij rsA ， B 分块为 st分块矩阵ij stB ，且 A 的列的分块法和 B 的行的分快法完全相同，则 121 1 1 2 11 1 1 2 1 12 1 2 2 22 1 2 2 2 11212( ) ( ) ( )()()()stst ijs rts s s tr r r s sj j jB B BA A A jA B B B B CA A A jB B BA A A j 列 列 列行行行这里， 1 1 2 2ij i j i j is sjC A B A B A B ， il ljAB
13、 是矩阵 ilA 与 ljB 的积。 4分块矩阵的转置 将 A 任意分块为 1 1 1 2 12 1 2 2 212tts s stA A AA A AAA A A， 则 1 1 1 2 11 2 2 2 212T T TsT T TT sT T Tt t stA A AA A AAA A A， 其中， TijA 是矩阵 ijA 的转置。 5.可逆分块矩阵的逆矩阵 利用矩阵分块，可给出某些矩阵的逆矩阵的求解方法。例如，准对角矩阵 12mAAAA的行列式为 1 mA A A 。因此，准对角矩阵 A 可逆等价于 0( 1, 2, )iA i m 。 若 A 可逆，根据准对角矩阵的乘法，容易求得它的
14、逆矩阵为 1111 21mAAAA。 3 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1研究内容 了解分块矩 阵的概念，掌握分块矩阵的运算。主要通过求逆矩阵和方阵行列式的计算问题，以及矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，深入探讨分块矩阵的诸多应用。 2研究方法及技术路线 通过阅读有关 分块矩阵 方面的论著及文献，了解分块矩阵研究的现状 .采取了从大量阅读已有的数据资料 然后对这些内容进行总结 最后运用相关知识进行分析 . 3.研究难点 （ 1）利用分块矩阵求解难题方法难深入； （ 2）由于论题比较广泛，很难有独创或新颖之处； （ 3）分块矩阵应用领域太广，很难研究到多方面 . 4.预
15、期达到的目标 矩阵是线性代数的重要研 究对象，也是高等数学的很多分支研究问题的工具，而分块矩阵则是矩阵的一种推广。在我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，为了研究问题的方便，经常把一个大型的矩阵分成若干个子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。分块矩阵与普通矩阵不同，它的元素可以是数，也可以是小矩阵，它的引入使得矩阵这一重要工具的使用更为广泛。论文主要通过求逆矩阵和对方阵行列式的计算等，实现分块矩阵的应用，另外结合矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，充分体现出分块矩阵在实际应用中的优越性。 四、论文 详细工作进度和安排 第 7 学期第 9 周（ 2
16、010 年 11 月 5 号）至第 7 学期第 19 周（ 2011 年 1 月 10 号） 完成毕业论文文献检索、文献综述、外文文献翻译及开题报告。 第 7 学期第 19 周（ 2011 年 1 月 10 号）至第 8 学期第 3 周（ 2011 年 3 月 11 号） 完成毕业论文的数据收集、论文初稿。 第 8 学期第 3 周（ 2011 年 3 月 11 号）至第 8 学期第 11 周（ 2011 年 5 月 3 号） 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改； 2、第 11 周（ 2011 年 5 月 3 日）前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告，进一步完善 毕业论文；
17、 第 8 学期第 14 周（ 2011 年 5 月 23 号 2011 年 5 月 28 号）完成第一轮毕业论文答辩； 第 8 学期第 15 周（ 2011 年 5 月 28 号 2011 年 6 月 3 号） 第一轮毕业论文答辩未通过的学生完成第二轮毕业论文答辩，并随机抽取部分完成较好地毕业论文进行校级答辩 五、主要参考文献： 1 卜长江 ,罗跃生 . 矩阵论 M.哈尔滨工程大学 ,2007（ 12） : 1-3. 2 王永茂 .矩阵分析 M.机械工业出版社 .2005(8):1-2. 3 凤良贵，戴清平，李超，谢端强 .线性代数与解析几何 M.科学 出版社 ,2008(1):45-52.
18、4 百度百科：“矩阵”，“分块矩阵” . 5 张禾瑞，郝炳 .高等代数 M.高等教育出版社 1983(9). 6 杨子青 .高等代数习题解 M. 山东科技出版社 ,1982(6). 7 周兴建 .分块矩阵及其应用 J. 科技资讯 .2007(12): 127. 8 P.K. Tam. Linear Algebra M.科学出版社 .2007（ 5）： 79-85， 92-99. 9郭聿琦，岑嘉评，徐贵桐 .线性代数导引 M.科技出版社 .2001(5):16-21,26-31 10王莲花，李念伟，梁志新 .分块矩阵行列式的计算中的应用 J.2005（ 3）： 12. 11董可荣，包芳勋 .矩阵思想的形成与发展 J.2009(1):56-61 12冯良贵，戴清平，李超，谢端强 .线性代数与解析几何 M。 2008(1):45-46. 13Bernard Kolman， David R.Hill.LINEAR ALGEBRA M.高等教育出版社 .2005(7). 14 王萼芳，石生明 .高等代数 .第 4 版 M.北京：高等教育出版社 .2003 15 张凯院 ,徐仲 .矩阵论 M.西北工业大学出版社 2004.3 指导教师审核意见： 签字： 年 月 日 系意见： 签字： 年 月 日 学院意见： 签字： 年 月 日
