1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 行列式的计算方法和应用 一 前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对 许多人来说，掌握 行列式的 计算是重要的。 而对行列式进行计算不是唯一目的， 我们还需要 利用行列式去解决一些 实际 问题，使复杂问题简单化。 在了解行列式的概念、性质的基础上，讨论行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用 范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。通过对行列式的求解方法的研究，探讨
2、行列式在求解线性方程组中的应用。 二 主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） 我们知道 ,行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知， n 阶行列式的展开式有 !n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第 1 行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。 以下给出了行列式的概念及性质和行列式的计算方法包括： 化三角法，利用范德蒙行列式求解行列式以及利用拉普拉斯定理的解法 等等，涵盖了行列式解法的许多方面。从
3、这些解法中我们看到了计算行列式的巧妙之处。 2.1行列式的概念及性质 2.1.1 行列式的概念 9 n 级行列式 nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211 1 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积nnjjj aaa .21 21的代数和，这里 njjj .21 是1,2， .， n的一个排列， 每一项都按下列规则带有符号： 当 njjj .21 是偶排列时， 带有正号；当 njjj .21 是奇排列时， 带有 负 号 。这一定义可以写成 nnnnjjjjjjjjjrnnnnnnaaaaaaaaaaaa. . .1. . . . . . .2211212. . .1. . .2
4、12222111211 这里 njjj .21表示对所有 n 级排列的求和。 2.1.2行列式的性质 178 性质 1.行列互换，行列式的值不变，即 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa. . . . . . . . . . . . .212221212111212222111211 性质 2.行列式中某一行（列）元素有公因子 k ，则 k 可以提到行列式记号之外，即 nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列
5、式。 事实上， ininiiiinnnniniinAkaAkaAkaaaakakakaaaa . . .2211212111211 ininiiii AaAaAak . . .2211 2 nnnniniinaaaaaaaaak212111211令 0k ，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质 3.如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 nicba ijijij ,.,2,1 则这个行列式等于另两个行列式之和。 即 nnnjnnjjnnnjnnjjnnnjnjnnjjjjacaacaacaabaabaabaacbaacbaacba122211111112221111111
6、22221111111这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质 4.如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是说两行的对应元素都相等。 性质 5.如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质 6.如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数 k 后加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式不变。 性质 7.对换行列式中两行 （列）的位置，行列式反号。 2.2 行列式的计算方法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。接下来介绍计算行列式的几种最基本方法：化三角形法，降阶法， 范德
7、蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法 。 2.2.1化三角形法 李尚志 4指出 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为 三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例 1 浙江大学 2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2小题（重庆大学 2004年3 攻读硕士
8、研究生入学考试试题第三大题第 1小题）的解答中需要计算如下行列式的值， 12212154314321321nnnnnnD n分析：显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质 。注意到从第 1列开始，每一列与它一列中有 1n 个数是差 1的，根据行列式的性质，先从第 1n列开始乘以 1加到第 n 列，第 2n 列乘以 1加到第 1n 列，一直到第一列乘以 1加到第 2列。然后把第 1行乘以 1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 问题推广： 例 1中，显然是 n,.,2,1 ，这 n 个数字在循环，那么如果是 1210 ,., nn aaaa 这 n 个
9、无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？我们把这种行列式称为 “ 循环行列式 ” 。从而推广到一般，求下列行列式 0321143221011210aaaaaaaaaaaaaaaaDnnnn 1,.,1,0, nicai 。 与例 1的答案一致。 2.2.2按行列展开法（降阶法） 李书超 2， 裴礼文 5在书中介绍了降阶法的计算方法。 设 ijn aD 为 n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理 niAaAaAaD ininiiiin , . . . ,2,1. . .2211 或 njAaAaAaD njnjjjjjn , . . . ,2,1. . .2211 其中 ijA 为 nD 中
10、的元素 ija 的代数余子式。 按行（列）展开法可以将一个 n 阶行列式化为 n 个 1n 阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将 n 阶行列式降阶直至化为许多个 2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。 4 例 2 计算 20阶的行列式 12318192018171612319181721220191832120D分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）
11、展开法逐次降阶直至化许许多多个 2阶行列 式计算，需进行 120)!20( 次加减法和乘法运算，这是人根本无法完成的 ,更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算， 1111120111111911111311111211111119, . . . ,1123181920181716123191817212201918321120 iccD ii 1818120122121210000021200002022200422220311111120, . . . ,2 rrii 。 以上就
12、是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。 2.2.3利用范德蒙行列式 范德蒙行列式 jinijnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx 1113121122322213211111。 李尚志 4，在书中用以下例子说明了计算 范德蒙行列式的方法。 例 3 计算 n 阶行列式 5 111112112112122221111aananaaananaaananaDnnnnnnnnn显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质，把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第 n 行依次与第 1n 行， 2n 行， .,2行，
13、1行对换 对换，再将得到的新的行列式的第 n 行与第 1n 行， 2n 行， .,2行对换 ，继续仿此作法，直到最后将第 n 行与第 1n 行对换，这样，共经过 2 112. . .21 nnnn 次对换后，得到 111122222112112112111111nnnnnnnnnnnaananaaananaaananaD上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得 BAEABE mmnn ， 所以， jijnainaDnijnnnijnnn 121121 11 。 2.2.4利用拉普拉斯定理 梁保松 1， 李 书超 2， 马杰 3等人在书中指出了拉普拉斯的 4种特殊情形 1）m
14、mnnmmnmnn BABCA 02）mmnnmmnmnn BABCA 03） mmnnmnmnmm nn BACB A 103） mmnnmnmm nnnm BAB AC 10对于下面形式的 n 阶行列式 abababaaaaD n6 由分析可知：根据行列式的性质可以把它化为拉普拉斯的 4种特殊形式中的一种再进行计算。 先将行列式化为 aaanabaaaan00000000000021的形式， 再由拉普拉斯定理可以得到 222200000021 nnaaanaban 212 nanabna 。 2.3 行列式在求解线性方程组的应用 谢邦杰 10，李排昌 12等人都曾在书中提出，线性方程的解与
15、系数和常数有关。这本来就是一个纯代数问题，如果把这个纯代数问题与几何结合起来，在求解线性方程的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系，就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论。 2.3.1标准形式的 2元线性方程组 定义 1 如果 线性方程组的未知数的个数与方程的个数相等，则称其为标准形式的线性方程组。 已知标准形式的 2元线性方程组 22221211212111 bxaxa bxaxa （ 1） 用加减消元法削去（ 1）式中的一个未知数，若 021122211 aaaa 则得线性方程组（ 1）式的唯一解及求解公式 211222111222211 aaaa ababx ，2112221121
16、11121 aaaa ababx （ 2） 定义 2 结合几何概念，把（ 1）式中的 22 个系数按其相对位置构成的如下数学表达式 7 211222112221 1211 aaaaaa aaD （ 3） 称为由 22 个系数排定位置的 2阶行列式（也称为 (1)式的系数行列式）。 由 2阶行列式的定义，将（ 3）式中 D 的第 1、 2列的数分别换成（ 1）式中的常数项，则得 2个新的 2阶行列式 122221222 1211 ababab abD （ 4） 211112221 1111 ababba baD （ 5） 于是， 2元线性方程组（ 1）式的求解公式（ 2）式就可以写成容易记忆的公
17、式 22211211221111212221121122212111 ,aaaababaDDxaaaaababDDx （ 6） 2.3.2标准形式的 n 元线性方程组 已知标准形式的 n 元线性方程组 122111222212111212111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnn（ 7） 令 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnaabaabaabD2222211211 ，
18、.， nnnnbaabaabaaD212222111211 （ 8） 当 0D 时，用数学归纳法可以证明：线性方程组（ 7）式的唯一解求解公式为 DDx 11， DDx 22， .， DDx nn。 同济大学数学研究室 1114也曾在书中说，行列式是一个特殊的数学表达式，它是一个8 特殊的 nn 个变量的函数，正式因为其特殊性，它具有一系列特殊的性质，由此产生了行列式理论。对标准形式线性方程组其 系数行列式等于零以及非标准线性方程组的求解问题的研究，产生了矩阵理论。矩阵理论的基础仍是行列式理论。 三、总结部分 （将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测） 本文首先介绍
19、一下行列式的概念和性质。对于一些常见行列式的计算大多是按照行列式的性质按部就班地进行，计算过程较为繁琐，有时还会根据定义进行计算，计算量很大。 接下来介绍了行列式的一些计算方法。 其中一些是常见的最基本的方法，一些是特殊但很实用的方法。 计算行列式的方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求行列式的特点， 运用行列式的性质及常用方法，行列式的计算方法之间不是相互独立，而是相互联系的，有时一个行列式可能有好几种解法，有时综合运用多种方法可以更简便的求出行列式的值。我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，用简便的方法，使复杂的问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好。 行列式的计算及应用需要我
20、们掌握行列式中的基础知识，开拓思路。根据行列式的特点，灵活运用各种方法解行列式。 四、参考文献 （根据文中参阅和引用的先后次序按序编排） 1 梁保松，苏本堂线性代数及其应用北京：中国农业出版社， 2004. 2 李书 超等一类矩阵秩的恒等式及其推广武汉科技大学学报， 2004， 3（ 1）： 96-98. 3 马杰 ,邹本腾 ,漆毅 ,等 .线性代数辅导 .北京 :机械工业出版社 ,2003:321. 4 李尚志 .线性代数 M.北京 :高等教育出版社 ,2006:504. 5 裴礼文 .数学分析中的典型问题与方法（第二版）北京 :高等教育出版社 2006.69-97. 6 王萼芳 .线性代数
21、 M.北京 :清华大学 出版社 ,2000:90-94. 7 林升旭 .线性代数 教程 M.武汉 :华中科技大学 出版社 ,2004:1-6. 8 居余马 .线性代数 M.北京 :清华大学 出版社 ,2002:1-5. 9 王纪林 .线性代数 M.北京 :科技 出版社 ,2003:6-7. 10 谢邦杰 .线性代数 M.北京 :人民教育 出版社 ,1978. 11 同济大学数学研究室 .线性代数 M.北京 :高等教育 出版社 ,1999. 12 李排昌，左萍 .线性代数 M.北京 :中国人民公安大学 出版社 ,2005. 13 段向阳 .浅谈行列式的几种计算方法 J.湖南冶金职业技术学院学报
22、,2008（ 12）： 103-104. 14 同济大学数学研究室 .工程 数学 线性代数 M.第四版， 北京 :高等教育 出版社 ,2003. 15 杨闻起 .计算行列式的三种技巧 J.通化师范学院学报 ,2003（ 3）： 12-16. 16 A.GALANTAI. A note on the generalized rank reductionJ. Acta Math Hungar,2007,166(3):2399 246. 17Zhong-Peng Yang, Chong-Guang Gao and Xian Zhang. A Matrix Inequality on Schur ComplementsJ. J-Applmath & Computing, 2005,18(1): 321 328.
