行列式的计算[文献综述].doc

1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 行列式的计算 一 前言部分 1.1 写作目的 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵 。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。 无论是在 线性代数 、 多项式 理论，还是在 微积分学 中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的 数学工具 ，都有着重要的应用。 1 行列式最

2、早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式理论的应用却远不如此，它在消元法 、 矩阵论 、 坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组 、 将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些应用最终都离不开行列式的计算，它是行列式理论中的一个重要问题 。它的 起源于 1757 年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的 ， 然而它的应用早已超出了代数的范围 ， 成为解析几何 、 数学分 析 、 微分方程 、 概率统计等数学分支的基本工具 。 行列式是代数学中线性代数的重要分支，是研究高等代数的一个重要工具。行列式的理论和方法，是研究现代科

3、学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。对行列式在高等数学中的应用作了总结 ,初步揭示工科数学两门重要的基础课线性代数与高等数学之间密切的联系。 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个很复杂的问题。阶数不超过 3 的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（如三角行列式）也可按照定义求值。对于一般 n阶行列式特别是当 n很大的时候，直接用定义求值是不 大可能的。所以，研究一般n 阶行列式的计算是非常必要的。 行列式概念最早出现在解 线性方程组 的过程中。十七世纪晚期， 关孝和 与 莱布尼茨 的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式

4、开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性 自同态 和向量组的行列式的定义 。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在 欧几里德空间 中可以成为描述 “体积 ”的函数。若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用 中括号 ，而行列式则用 线段 。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆

5、序数之和为奇数，则该项为负。 行列式是在解决实际问题中被创建的，它有着自身的特点和性质，对于行列式的计算是应用行列式解决其它问题的基础，而行列式的计算方法并不是唯一的，主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了 一些 计算行列式的常用方法，例如：根据性质直接计算行列式，化成三角形行列式法，按一行（列）展开以及利用公式法，归纳法 ，加边法，析因子法等 7种方法，但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好。在介绍了行列式的计算方法与技巧的同时，又介绍

6、了行列式的简单应用，其中包括应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应用的条件），雅可比行列式在隐函数组中的应用，非奇异矩阵的判别以及计算矩阵的秩。 行列式起源于 1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的 应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对行列式的学习应予以重视， 其中行列式的性质非常重要，在计算行列式的过程中起着关键的作用。 而对行列式进行计算不是唯一目的，主要是利用行列式去解决一些问题，使复杂问题简单化，在解决问题方面起到抛砖引玉的效果。 2 1.2 行列式的定义 3,4 行列式 在

7、 数学 中，是一个 函数 ，其 定义域 nn的 矩阵 A，取值为一个标量，写作 det(A)或 | A | 。行列式可以看做是 有向 面积 或 体积 的概念在一般的 欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维 欧几里得空间中，行列式描述的是一个 线性变换 对 “体积 ”所造成的影响。 由 2n 个数组成 n阶行列式等于所有取自不同行列的元素乘积的代数和 记作： 简记作 ()ijdet a D或 ，数 ija 称为行列式 D的元素。 其中 12npp p 是一个 n 阶排列， 12()np p p 为这个排列的逆序数。 n个元素的乘积的代数和 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知

8、量个数相同的一次方程组的需要而定义的； 2、 n 阶行列式由 n 项的代数 3、 n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积； 4、每项 1212 np p npa a a的符号为 121 np p p 5、 一阶行列式 aa 不要与绝对值记号相混淆 . 定理 n阶行列式 ()ijdet a 的一般项可记为 1 2 1 21 1 2 2( ) ( )( 1 ) nn nni i i j j j i j i j i ja a a 。 1 2 1 2nni i i j j j n其 中 与 均 是 阶 排 列 。 二 主题部分 2.1 行列式的历史背景 行列式的概念最早是由十七世纪日

9、本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的 方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer， 1704 1752) 在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730 1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了

10、如何判断一个齐次线性方 程组有非零解。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法 12121 1 1 2 12 1 2 2 21212( 1 ) nnnp p pnp p npn n nna a aa a aD a a aa a a () 12 12121 n np p p p p n pD a a a国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde， 1735 1796) 。范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出

11、的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第 一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士西尔维斯特 (J.Sylvester， 1814 1894)，他的重要成就之一是改进了从一个 n 次和一个m 次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一

12、结果，但没有给出证明。在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi， 1804 1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 1 2.2 行列式的性质 5,6,7 性性 质质 1 行列式与它的转置行列式

13、 相等 . 性性 质质 2 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 . 推推 论论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 . 性性 质质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式 . 推推 论论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推推 论论 行列式中如果有一行（列）元素等于零，则此行列式的值为零 性性 质质 4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零 . 性性 质质 5 行列式具有分列（行）相加性 . 注 :如果行列式的某一行 (列 )所有元素都是两个项的和 ,则此行列式等 于两个行列式的和， ,具体如下 :

14、即 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212()()()i i ni i nn n n i n i n na a a a aa a a a aDa a a a a则行列式等于下列两个行列式之和： 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 1 2 211i n i ni n i nn n i n n n n i n na a a a a aa a a a a aDa a a a a a性性 质质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变 ()i j i jc kc r kr 1 1 1 1 12 1 2 2 21i j

15、 ni j nn n i n j n na a a aa a a aa a a a1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 21()()()i j j ni j j jijn n i n j n j n ja a k a a aa a k a a ac k ca a k a a a1 1 1 1 12 1 2 2 21i j ni j nn n i n j n na a a aa a a aa a a a1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 21()()()i j j ni j j jijn n i n j n j n ja a k a a aa a k a a ac k ca a k a

16、 a a2.3 行列式的计算方法与运用 2.3.1 范德蒙行列式的应用 7 形如行列式122 2 2121 1 11 2 21 1 1 nnn n na a aD a a aa a a称为 n 阶的范德蒙行列式 。 用连乘号 ， 这个结果可以简写为 ： 122 2 2121 1 11 2 21 1 1nnn n na a aa a aa a a 1 ijj i n aa 由这个结果立即得出 ： 范德蒙行列式为零的充分必要条件是 12, , , ,na a a 这 n 个数中至少有两个相等 。 2.3.2 提取公因式法 若行列式满足 下列条件之一，则可应用此法：（ 1）有一行（列）元素相同，称为

17、“ a,a, ,a型 ” ；（ 2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型 ” ；（ 3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型 ” 。满足条件（ 1）的行列式可直接提取公因式 a，变为“ 1， 1， ,1型”，进而化为“ 1， 0， 0型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足条件（ 2）和（ 3）的行列式都可根据行列式的性质变为满足条件（ 1）的行列式，间接使用提取公因式法。 2.3.3 分块矩阵的初等变换在行列式中的应用 5 分块矩阵是在处理 基数较高的矩阵时所采用的一种方法，即把一个大矩阵看成是由一些小矩阵构成，就如矩阵由数构成的一样。特别在运算中把这些小矩阵当成数

18、来处理，这就是所谓的分块矩阵。 用广义初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换，是矩阵运算中极为重要的手段，它能够使一些困难的问题变得容易处理。下面分别给出它在矩阵的行列式、矩阵求逆、矩阵的秩和矩阵特征值等方面的应用。 公式 1 设 A为 n阶可逆矩阵， ,为两个 n维向量，则 11A A A 。 公式 2 设 A为 n阶可逆矩阵，其中 1B 为 2n 阶矩阵， 2B 为 2n 阶矩阵，则11 2 2 2 1A B B A E B A B 。 公式 3 设 A为 n阶可逆矩阵， U， V均为 n维向量， *A 为 A的伴随矩阵， TV 为 V的转置，则 *TTA U V A V A U 。 公式 4

19、换元公式1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x =11nnn ija x A = nD tx 。 2.3.4 高阶行列式的计算方法与技巧 3 行列式是数学中重要的计算工具之一 ， 而高阶行列式的计算 ， 其基本方法和技巧是 “ 化零 ” 和 “ 降阶 ”， 即先利用行列式的性质做恒等变形化简 ， 使行列式中出现较多的零元素 ， 然后套用特殊的行列式的值 来计算 （ 如上 （ 下 ） 三角行列式 ） 或利用按行 （ 列 ） 展开定理降低行列式的阶数 。 特征一 ： 待求行列式的零元素特别多 ， 可考虑直接用行

20、（ 列 ） 展开定理 特征二 ： 待求行列式的所有行 （ 列 ） 对应元素相加后相等 ， 可把所有行 （ 列 ） 加到第 1 行 （ 列 ），提取公因式后 ， 再把每一行都减去第一行 （ 列 ）， 即可使行列式中出现大量的零元素 。 特征三 ： 待求行列式的相邻行 （ 列 ） 的大部分元素相差 1 或相等 ， 可用前行 （ 列 ） 减去后行（ 列 ）， 或后行 （ 列 ） 减去前行 （ 列 ）， 即可出现大量元素为 1 或 -1 或 0， 进一步化简可出现大量零元素 。 特征四 ： 待求行列式是 “ 三 线 ” 型 ， 即除某一行 、 某一列和对角线或次对角线不为零外 ， 其余元素均为零的行列

21、式 ， 可先按行 （ 列 ） 展开得两项递推关系 12n n nD aD bD，将其变形为 1 1 2n n n nD p D q D p D 2）， 其 中 p q a， pq b， 即 ,pq是方程 2 0x ax b 的两个根 ， 确定 ,pq后再递推求出 nD 。 2.3.5 化成三角形行列式法 3,5,7 先把行列式的某一行 （ 列 ） 全部化为 1， 再利用该行 （ 列 ） 把行列式化为三角形行列式 ，从而求出它的值 ， 这是因为所求行列式有如下特点 ： 1） 各行元素之和相等 ； 2） 各列元素除一个以外也相等。 2.3.6 对角线法则 6， 7 此法则适用于计算低阶行列式的值（

22、如 2 阶 、 3 阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅（或次）对角线上的元素的乘积，其主要思想是根 据 2 阶 、 3 阶行列式的定义来计算行列式的值 。 2.3.7 定理 18 函数 22det : ( )M F F 是 22 的矩阵当一列固定不变时是另一行的线性函数。也就是，如果 , 都在 2F 中， 是一个数值，那么 de t de t de t 和 de t de t de t 。 定理 29 交换行列式中的第 r 行跟第 i 行将改变行列式符号。 d e t , d e tP r s A A。 类似的 交换行列式的第 r 列跟第 i 列也改变行列式的符号。那就是 d e t

23、 , d e t ,A P r s A r s 2.3.8 Laplace展开 10 所谓 Laplace展开定理就是指，如果在 n阶行列式中任意选定 k行（列）， 11 kn ，则出现在这 k行（列）中一切 k阶子式与它们相应的代数余子式的乘积之和等于原行列式。 2.3.9 降阶递推法 6， 11,12 利用已给的行列式的特点，建立起 n 阶行列式与 n- 1 阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值 。 2.3.10 行列式乘积法 13 在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和 1 1 2 2i j i j in n ja b a b a b 的形式，那么该行列

24、式就可转化为两个矩阵乘积的行列式，只要分解的这两个矩阵的行列式比较容易计算，则可由公式 AB A B计算出原行列式的值 。 2.3.11 加边法 14 一般计算行列式，是将其进行降阶，但对于某些行列式，我们可以反过来，在保持原行列式值不变的基础上再加上一行一列（增加的一行一列元素一般是由 1 和 0 构成），把 n 阶行列式转化为 n+1 阶行列式，只要巧妙地选取 12, , , nx x x ，结合行列式的性质，便可计算出行列式的值 。 2.3.12 待定系数法 15 此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征， 可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出

25、未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元 x，则行列式一定是关于 x 的一个多项式，且当取某些值，如 x=a 能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论 ,则行列一定可以被 x- a 这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值 。 三 总结部分 本文首先介绍了行列式的作用及其在计算其他线性代数中起到的重要位置。 行列式是代数学中线性代数的重要分支， 是研究高等代数的一个重要工具。行列式的理论和方法，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。在解决 解析几何、

26、数学分析、微分方程、概率统计等数学 问题中 起到抛砖引玉的效果。 然后介绍了详细的行列式的历史背景，让我们进一步的了解行列式的来历，接下去就是通过行列式的一些性质更形象的突出解决行列式的一些技巧与方法，使复杂的问题简单化。 四 参考文献 1 罗定职业技术学院高等代数精品课程 .行列式的发展史 OL .网址：http:/58.253.247.130/xnjpkc/gdds/kewyd_3.htm.2008,9. 2 数学论文论坛（行列式的计算与应用 ） OL.网址：http:/ 2007.10. 3 陈宝谦 , 张源 .线性代数（经济数学基础 2） M.天津 :天津大学出版社 .P155. 4

27、同济大学数学教研室编 . 线性代数 M . 北京 :高等教育出版 .1989,6. 5 刘剑平 ,施劲松 ,曹宵临 .线性代数 M.上海：华东理工大学出版社 .2004,8.P4176. 6 李启文 ,谢季坚 .线性代数内容、方法与技巧 M.武汉：华中科技大学出版社 .2003,9.P157. 7 陈志杰 .高等代数与解析几何（上） M.北京：高等教育出版社 .2000,4.P106145. 8 彭国华 ,李德琅 . Linear AlgebraM . 北京：高等教育出版社 .2006,5. 9 王殿军改编 ， Stephen H.Friedberg Arnold J.Insel Lawren

28、ce E.Spence原著 .Linear Algebra（线性代数第四版） M.北京： 高等教育出版社 .2000,6. 10 王耕禄 .线性代数 M.北京 :北京理工大学出版社 . 1992,10. P2076. 11 游兆永编著 .高等数学的解题方法和技巧（ 1） .西安：陕西科学技术出版社 .1982,3. 12 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 . 高等代数 M .北京 :高等教育出版社 ,2001,3. 13 杨子胥 . 高等代数习题解 (修订版 )M . 济南 :山东科学技术出版社 .2002， 1. 14 刘仲奎 ,杨永葆等 .高等代数 M.北京：高等教育出版社 .2003,5. 15 王开帅 .用待定系数法计算行列式 J . 唐山 ： 唐山高等专科学校学报 .2001,12.14(4).