1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 振荡函数积分的数值计算 一、前言部分 科学计算作为当今科学研究的三种手段之一，是数学将触角伸向其他科学的桥梁。在科学应用领域，如电磁学、非线性学、流体动力学、等离子体运输、天体动力学、地质勘探等，都常常要计算含有振荡函数的积分。振荡函数有时并非光滑，甚至并不连续，为了研究这一类特殊函数，我们必须考虑一些相应的 数值求解振荡函数积分的方法，比如可考虑转化为两零点间的积分， Filon 算法等 。 而这些方法的基础为 常用的数值积分公式，比如梯形公式及其复合公式，抛物线公式及其复合公式， Guass 求积公式等等 。 随着计算机的迅速发展，在科学、技术、工程、生产
2、、医学、经济和人文等领域中抽象出来的许多数学问题可以用计算机计算、求解 1 。 可 借用软件如 Matlab 或 C 对其中一些方法进行编程实现。 能够将理论与实践联系起来，形成一个由“实践 理论 实践”的良性循环。 二、主题部分 2.1 数值积分 2 积分运算是微积分学的一个重要的分支。在加速度已知的情况下，积分运算用来求它的速度；或者通过速度求出位移 ，计算图形面积，预测人口增长等其他许多重要的应用。在微积分课程中已经学过许多求函数 ()fx的不定积分的方法。（给定函数 ()fx，它的不定积分是满足条件 F x f x 的函数 Fx。） 在实际计算中常常遇到求定积分的问题，根据积分学的基本
3、定理，只要求出原函数便可求出定积分的值。 也学过定积分 的计算方法：牛顿 -莱布尼兹公式 F x f x ，可以利用不定积分计算定积分的值。然而有些被积函数的不定积分无法用普通的函数表示，求原函数往往是困难的，有时甚至是不可能的。当被积函数的不定积分未知时，我们就用到了数值积分方法。所以我们要讨论数值积分方法，即用数值方法求积分的近似值。 2.1.1 Newton-Cotes 求积公 式 34 设 ,ab 为有限或无穷区间，用被积函数 ()fx的以 0 1 2 . na x x x x b 为节点的 n 次 Lagrange 插值多项式及其余项代替被积函数 ()fx， 当求积节点为等距节点 n
4、 0n nkkkQ f w f ， （ 2.1） nQf称为数值积分公式，其中求积系数 bnkkaw l x dx ， 0,1,.,kn klx 为 n 次插值基函数， 12, ,. nx x x 称为求积积点。 非周期函数的积分，一般使用 Newton-Cotes 法或龙贝格法。 设 a,b为有限区间，步长 bah n ，则相应的公式（ 2.1）便称为 n 阶 Newton-Cotes 型求积公式。 梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数。即 当 Newton-Cotes 求积公 式中 n=1 时，得 1 2baQ f f a f b， 称为梯形公式。 我们可以使逼近函数的效果更好
5、如果用二次或三次插值多项式。辛普森公式建立的基础就是这种逼近。即 Newton-Cotes 求积公 式中 当 n=2 时，得 2 462b a a bQ f f a f f b ， 称为抛物线公式，也叫 Simpson 公式。 2.1.2 复合求积公式 5 应用高阶的 Newton-Cotes 型求积公式计算积分会出现数值不稳定，低阶公式 (如梯形和抛 物线公式 )又往往因积分区间步长过大使得离散误差大。然而，若积分区间愈小，则离散误差小。因此，为了提高求积公式的精确度，又使算法简单易行，往往使用复化方法。即把积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来，这种公式称为
6、复合求积公式。复合求积公式是一种典型的求积方法，通过低阶的求积公式构造出收敛性极好的求积方法，主要有复合梯形公式和复合 Simpson 公式。 记 /h b a m ， kx a kh ， 0,1,.,km 。在每个小区间 1,kkxx 上使用梯形求积公式，便得到 复合梯形求积公式： 110122mmmkkhQ f f f f 如将 a,b区间 2m 等分，记 /2h b a m ， kx a kh ， 0,1,.,2km ，在每个小区间 2 2 2,iixx 上使用抛物线求积公式，则得复合抛物线公 式： 1122 0 2 1 2 201423mmmi i miihQ f f f f f 2.
7、1.3 龙贝格积分公式 6 利用类似于理查德外推的技巧提高复化梯形求积公式的精度。这种方法就是众所周知的龙贝格积分。我们可以利用龙贝格法求一个结点均匀分布的表格函数的积分，但是现在我们不能使 h 变小。龙贝格方法可用于很多种类的函数。对光滑性和连续性没有要求。然而，当fx不连续时，我们应该把均匀分布的点落在间断点上。这个可以完成如果我们根据间断点把区 间分成几个子区间。利用步长折半的方法推导出梯形公式的递推式，外推加速技术是一种简单有效的方法，在复合梯形公式递推化的基础上，可以通过外推加速，得到较高精度Romberg 算法。 对于 fx不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时
8、可以直接使用复化辛普森公式计算 7 。 龙贝格积分法精度比 Newton-Cotes 法高，收敛速度快，编程容易实现，使用面向对象程序设计方法，回避了函数指针的使用，降低了编程调 试的难度。工程上一般首选龙贝格法。 2.1.4Gauss 型求积公式 8 若 ,ab 区间上一组节点使得相应求积公式（ 2.1）具有 2n+1 次代数精度，则称此点组为高斯点组，相应的求积公式（ 2.1）为高斯型求积公式。高斯点组可直接通过求解相应方程组得到，也可借助正交多项式的零点来确定。我们前面讨论的数值积分公式都是事先给定均匀分布 x 值的；这就意味着 x 值被事先确定了。对于一个三项的公式，存在三个自由参数，
9、即对应 函数值的系数 (加权因子 )。一个有三个参数的公式可以确定一个二次多项式，比参数的个数少一个。高斯发现如果我们改变求解函数值的任务没有事先确定 x 值的话，那么三项积分公式中将含有六个参数 (这三个 x 值现在是未知的，把三个权相加 )并且相当于一个五次插值多项式。以这个原则为基础的公式称作高斯积分公式。它们只能应用于 fx表达式已知的情况下，从而可以求出任意需要 x 点的函数值。高斯积分公式效率高的原因是它只需要两个函数值的加权和。 Gauss 型求积公式是具有最高代数精确度的插 值求积公式， 对于不同的权函数，便有不同的直交多项式，从而得到不同的具体 Gauss 型求积公式。 （一
10、） Guass-Legendre 公式 11 0n nkkkf x d x w f x 在物理和力学中常常遇到一些带有权函数的广义积分。对于这些积分使用其他求积公式会遇到困难，而针对权函数和积分区间，选择适当的节点构造代数精确度最高的 Gauss 型求积公式进行计算，通常是最有效的。 （二） Guass-Laguerre 公式 0 0n nxkkke f x d x w f x 2.2 振荡函数积 分的数值计算 在科学与工程计算中，经常要求计算积分 ,baI t f x K x t d x， ab （ 2.2） 其中 ,Kxt 是一个“振荡核”，即为关于 x 的振荡函数。而 f 为非振荡函数。
11、傅里叶积分 sinba f x nxdx ， cosba f x nxdx 为典型例子。当 n 较大时就是振荡函数积分。 振荡函数积分 ， 在应用数学、物理学、工程计算等方面有着广泛的应用。众所周知 ， n越大 ， 被积函数 sin nx f x ， cos nx f x 就振荡得越厉害 ， 也就是说 ， 函数与 x 轴的交点就越多。在对振荡函数积分进行数值计算时 ， 如何克服 振荡 所带来的误差 ， 成为解决这一问题的关键。 目前，对振荡函数数值积分公式进行的研究已取得一些成果。 对这一问题的解决最早要归功于 Fillon， 其后在此基础上出现了很多解决这一问题的方法。比如我国著名数学家徐利
12、治先生提出了渐进展开的徐氏公 式 。另外还有 Lobatto 法和 Price 法等 ，但它们都或多或少存在一些弊端，有的方法需要计算大量的一阶或高阶导数，这样会使得问题更加复杂化，而且高阶导数的计算会降低最终结果的精度；另外，有的需要大量复杂的计算，这就使得算法的时间效率和空间效率有所降低 8 。 因此在实际应用中，对于被积函数含有振荡的积分以及广义积分的计算中，需对被积函数作适当的处理再进行近似计算，才能提高计算结果的精度。 2.2.1 在零点之间积分 9 设被积函数振荡部分在 ,ab 上的零点为 12. pa x x x b ，那么将 ,ab 上的积分分解为子区间 1,kkxx 上积分之
13、和。在每个子区间上，因被积函数在端点之值为零，所以可以采用高斯 -洛巴托求积公式，这样可以不必增加计算量就可以得到较高的精度。 2.2.2 菲隆方法 设（ 2.2）中 f 可以表示为 1n kkkf x a x x ， ,x ab ， 其中 x 是 ,ab 上的小量 (当然为 x 的函数 )。令 ,bkkat x K x t d x 1,2,.kn 可以用初等积分显示表示出来。 Filon 方法就是用 fx的近似求出积分（ 2.2），通常是用fx的抛物线插值函数近似，也可用三次样条插值近似 10 。 2.2.3Hermite 数值积分公式 11 在工程技术问题中，常会遇到振荡函数的积分 11
14、sinf x x dx，通常的插值型求积公式往往是失效的。由于 sin x 在 -1,1上符号有正负，故不能作权函数处理。根据插值多项式的数值积分的一些结 论，导出 n+1 个节点的振荡函数的 Hermite 插值求积公式，它的权因子分成两部分，一部分依赖于节点，另一部分独立于节点的新型的求积公式，并利用正交多项式的性质，给出其递推关系式及误差分析。 2.2.4 几类特殊振荡函数的数值积分方法归纳 在物理学和工程学中，经常遇到型如 11 sinf x x dx（ 为正整数）振荡函数的数值积分问题。由于 sin x 在 ， 上的符号有正有负，同样一般不能简单地作为权函数，而用高斯法来计算这种类型
15、积分。目前，常用的方法已有多种，如 Filon 法 ， Lobatto等。但使用这种些方法想得到较精确的近似值需要较大的计算量 12 。 另外，还有一类计算振荡函数积分公式，优于新的对振荡函数的 Gauss 型积分，具有函数振荡越剧烈，求积结果越容易达到精确的特点。在有关函数充分光滑的情况下，可以有很高的求积精度与效率 1314 。 形如 21 0 c o s mI f f x xd x ，其中 fx是非振荡函数， m 越大， cosmx 的振荡函数频率越大， 20 cosmf x x与 x 轴的交点就越多。由于高次插值多项式的严重缺陷，使得积分精度得不到保证，而运用复化 Newton-Cot
16、es 公式效果也不是很理想，而运用样条函数处理此类积分则能大大提高代数精确度。 在工程物理问题中， c o s mba f x x a dx，其 中 fx是光滑函数，变化不厉害。常数 m 较大，从而使被积函数 cos mf x x a振荡很激烈。无论是 Guass 型求积法，还是 Romberg 方法，自适应方法，都需要计算大量的函数值才能使数值结果达到给定的误差要求。此时，利用 fx的三次插值样条函数逼近来建立有效的数值方法 15 。 三、总结部分 本文大致阐述了一些 数值积分的基本思想和原理 ，并深入 认识数值积分法的意义 ， 明确代数精度的概念 ， 以及数值积分精度与步长的关系 ；同时介
17、绍了 几种基本的常用积分公式 ，如牛顿 -科茨求积公式、复合求积公式、龙贝格积分方法、高斯求积方法等。列出 它们各自的优缺点及适 用范围，并能用来解决一些实际问题。 众所周知 ， 振荡函数的数值积分是数值积分的一个难点 。同时目前对求振荡函数数值积分的方法研究也有了一些成果，相比以前的方法具有简便易行、计算量小而求积精度高等特点。现代计算机的出现为大规模的数值计算提供了条件，集中而系统地研究适用于计算机的数值方法变得十分迫切和必要。 四、参 考文献 1林成森 .数值计算方法（上） M. 北京：科学出版社， 2004:173-179. 2黄明游，刘播，徐涛 . 数值计算方法 M. 北京：科学出版
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