1、 专题检测（二十 二 ） 临界知识问题 一、选择题 1对 2 2 数表定义平方运算，规则是： a bc d 2 a bc d a bc d a2 bc ab bdac cd bc d2 ，则 1 23 0 2的值是 ( ) A. 7 2 3 6 B. 2 7 3 6 C. 1 49 0 D. 1 23 0 解析： 选 A 1 23 0 2 1 23 0 1 23 0 12 2 3 1 2 2 0 1 3 3 0 3 2 02 7 2 3 6 . 2点 P( 3,1)在椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左准线上，过点 P 且方向为 a (2， 5)的光线，经直线 y 2 反射后通过椭圆的左焦
2、点，则这个椭圆的离心率为 ( ) A. 33 B.13 C. 22 D.12 解析： 选 A 作出示意图，如图所示 由题 意， kPA 52. lPA： 5x 2y 13 0， 则交点 A的坐标为 95， 2 ，据光的反射知识知 kAF kPA 52. lAF： 5x 2y 5 0. 直线 AF与 x轴交点即左焦点 F( 1,0)，即 c 1. 又左准线 x a2c a2 3， a 3. e ca 33 .故选 A. 3记实数 x1， x2， ， xn中的最大数为 maxx1， x2， ， xn，最小数为 minx1， x2， ，xn 已知 ABC 的三 边长为 a ， b ， c(a b c
3、) ，定 义它的 倾斜 度为 l max ab， bc， ca min ab， bc， ca ，则 “ l 1” 是 “ ABC为等边三角形 ” 的 ( ) A必要不充分条件 B 充分不 必要条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 选 A 若 ABC为等边三角形时，即 a b c， 则 max ab， bc， ca 1 min ab， bc， ca ，则 l 1； 若 ABC为等腰三角形，如 a 2， b 2， c 3 时， 则 max ab， bc， ca 32， min ab， bc， ca 23，此时 l 1 仍成立，但 ABC 不为等边三角形，故 “ l 1” 是 “ AB
4、C为等边三角形 ” 的必要不充分条件 4对于定义域为 R 的函数 f(x)，若 f(x)在区间 ( ， 0)和区间 (0， )上均有零点，则称函数 f(x)为 “ 含界点函数 ” ，则下列四个函数中，不是 “ 含界点函数 ” 的是 ( ) A f(x) x2 bx 1(b R) B f(x) 2 |x 1| C f(x) 2x x2 D f(x) x sin x 解析： 选 D 对于 A，因为 f(x) x2 bx 1(b R)的零点即为方程 x2 bx 1 0 的根，所以 b2 4 0，且方程 x2 bx 1 0 有一正根一负根，故函数 f(x) x2 bx 1(b R)是 “ 含界点函数
5、” ； 对于 B，令 f(x) 2 |x 1| 0，得 x 3 或 x 1，故 f(x) 2 |x 1|在区间 ( ， 0)和区间 (0， )上均有零点，即 f(x)为 “ 含界点函数 ” ； 对于 C，作出 y x2和 y 2x的图象 (图略 )，可知 f(x) 2x x2在区间 ( ， 0)和区间 (0， )上均有零点，故 f(x) 2x x2是 “ 含界点函数 ” ； 对于 D，因为 f(x) x sin x在 R 上是增函数，且 f(0) 0，故 f(x) x sin x不是 “ 含界点函数 ” 5定义方程 f(x) f (x)的实根 x0叫做函数的 “ 新驻点 ” ，若函数 g(x)
6、 x， h(x) ln(x 1)， (x) x3 1 的 “ 新驻点 ” 分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ( ) A B C D 解析： 选 D 依题中定义知： g (x) 1，由 g(x) g (x)，得 x 1， 1. h (x) 1x 1，令 f(x) ln(x 1) 1x 1，则 f(x)在 ( 1， )上递增，且 f(0)1， f(1) ln 2 120， 00， 3100 且该数列的前 N项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是 ( ) A 440 B 330 C 220 D 110 解析： 选 A 设第一项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第
7、3 组，依此类推，则第 n组的项数为 n，前 n组的项数和为 nn 12 . 由题意可知， N100，令 nn 12 100， 得 n 14， n N*，即 N出现在第 13 组之后 易得第 n 组的所有项的和为 1 2n1 2 2n 1，前 n 组的所有项的和为 21 2n1 2 n 2n 1 n 2. 设满足条件的 N在第 k 1(k N*， k 13)组，且第 N项为第 k 1 组的第 t(t N*)个数， 若要使前 N项和为 2 的整数幂，则第 k 1 组的前 t项的和 2t 1 应与 2 k互为相反数， 即 2t 1 k 2， 2t k 3， t log2(k 3)， 当 t 4，
8、k 13 时， N 13 13 12 4 955 时， N440，故选 A. 二、填空题 7已知 F1， F2 为椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的 两个焦点， M 是椭圆上与 F1， F2 不共线的任意一点， I是 MF1F2的内心，延长 MI交 F1F2于点 N，则 |MI|NI| _. 解析： 因为 I是 MF1F2的内心， 所以 MN是 F1MF2的角平分线， 所以 |MF1|MF2| |NF1|NF2|. 所以 |MF1| |MF2|MF2| |NF1| |NF2|NF2|， 所以 2a|MF2| 2c|NF2|，所以 |MF2|NF2| ac. 又因为 IF2为 NF2M的角平
9、分线， 所以 |MI|NI| |MF2|NF2| ac. 答案： ac 8设集合 A x| 12 017 8x 2 017 和 B x|log2(x2 x) 2，其中符号 x表示不大于x的最大整数，则 A B _. 解析： 因为 12 017 8x 2 017， x的值可取 3， 2， 1， 0,1,2,3. 当 x 3，则 x2 1，无解； 当 x 2，则 x2 2，解得 x 2； 当 x 1，则 x2 3，无解； 当 x 0，则 x2 4，无解 当 x 1，则 x2 5，无解； 当 x 2，则 x2 6，解得 x 6； 当 x 3，则 x2 7，无解 综上 A B 2， 6 答案： 2，
10、6 9对于函数 f(x)，若存在区间 A m， n，使得 y|y f(x)， x A A，则称函数 f(x)为 “ 可等域函数 ” ，区间 A为函数 f(x)的一个 “ 可等域区间 ” 给出下列 4 个函数： f(x) sin 2x ； f(x) 2x2 1； f(x) |1 2x|； f(x) log2(2x 2) 其中的 “ 可等域函数 ” 为 _(填序号 ) 解析： 根据题意， 中， 1,0与 0,1及 1,1都是 f(x)的 “ 可等域区间 ” ，满足； 中， f(x) 2x2 1 在 1， 1的值域为 1,1，满足； 中， f(x) |1 2x|与 y x的交点为 (0,0)，(1,
11、1)，其 “ 可等域区间 ” 为 0,1，满足； 中， f(x) log2(2x 2)与 y x无交点，不满足故“ 可等域函数 ” 为 . 答案： 三、解答题 10若函数 y sin x在 (0， )上是上凸函数，那么在 ABC中，求 sin A sin B sin C的最大值 解： 因为 y sin x在 (0， )上是上凸函数，则 13(sin A sin B sin C) sinA B C3 sin 6032 ，即 sin A sin B sin C3 32 ， 当且仅当 sin A sin B sin C时，即 A B C 3时，取等号 11.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC A1
12、B1C1的底面 ABC 位于平行四边形 ACDE中， AE 2， AC AA1 4， E 60，点 B在线段ED上 (1)当点 B在何处时，平面 A1BC 平面 A1ABB1； (2)点 B在线段 ED上运动的过程中，求三棱柱 ABC A1B1C1表面积的最小值 解： (1)由于三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱， 则 AA1 平面 ABC， 因为 BC 平面 ABC， 所以 AA1 BC. 而 AA1 AB A，只需 BC 平面 A1ABB1，即 AB BC，就有 “ 平面 A1BC 平面A1ABB1” 在平行四边形 ACDE中， 因为 AE 2， AC AA1 4， E 60. 过 B
13、作 BH AC于 H， 则 BH 3. 若 AB BC，有 BH2 AHCH. 由 AC 4，得 AH 1 或 3. 两种情况下， B为 ED的中点或与点 D重合 (2)三棱柱 ABC A1B1C1表面积等于侧面积与两个底面积之和 显然三棱柱 ABC A1B1C1其底面积和平面 A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面 A1ABB1和侧面 B1BCC1面积之和最小即可 过点 B作 BH AC于 H，则 BH 3. 令 AH x，则侧面 A1ABB1 和侧面 B1BCC1 面积之和等于 4(AB BC) 4 x2 33 4 x2 其中 x2 3 3 4 x2可以表示动点 (x,0)到定点 (0，
14、3)和 (4， 3)的距离之和，当且仅当 x 2 时取得最小值所以三棱柱的表面积的最小值为 2 4 32 42 4 2 74 3 8 7 16. 12已知 m R，直线 l： mx (m2 1)y 4m和圆 C： x2 y2 8x 4y 16 0. (1)求直线 l的 斜率的取值范围； (2)直线 l能否将圆 C分割成弧长的比值为 12的两段圆弧，为什么？ 解： (1)当 m 0 时，直线 l的斜率为 0； 当 m 0 时，直线 l的斜率 k mm2 1 1m 1m. 当 m0 时， m 1m 2，所以 0k 12； 当 m0 时， m 1m 2，所以 12 k0. 所以直线 l的斜率的取值范
15、围是 12， 12 . (2)法一： 因为圆心 C(4， 2)到直线 l的距离 d |4m 2m2 1 4m|m2 m2 12 2m2 1m4 3m2 1 . 若直线 l能将圆 C分割成弧长的比值为 12的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为 120. 所以 d r2 1，即 2(m2 1) m4 3m2 1，化简得 3m4 5m2 3 0. 而此方程无实数解， 所以直线 l不能将圆 C分割成弧长的比值为 12的两段圆弧 法二： 因为直线 l的方程可化为： (m 4)x (m2 1)y 0，所以直线 l恒过点 (4,0) 此点正好是圆 C 与 x 轴的切点，由几何知识可得要使直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为 12的两段圆弧，则直线 l 的倾斜角为 60或 120，所以直线 l 的斜率为 3，这与 k 12，12 矛盾， 所以，直线 l不能将圆 C分割 成弧长的比值为 12的两段圆弧
