1、九年级数学 第 1 页 共 10 页中国教育学会中学数学教学专业委员会2013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分 120分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分1. 从长度是 2cm，2cm，4cm，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A B C D14131212如图， M是 ABC的边 BC的中点， AN平分 BAC， AN BN于 N，且 AB=10， BC=15， MN
2、=3，则 ABC的周长为（ ）A38 B39 C40 D. 41 3已知 ，且有 ， ，则 的值等1xy09215x0521yyx于（ ）A B C D95559214已知直角三角形的一直角边长是 4，以这个直角三角形的三边九年级数学 第 2 页 共 10 页为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是 10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A6 B. 7 C8 D95设 ， ， 是 ABC的三边长，二次函数 在abc 2)2(bacxbay时取最小值 ，则 ABC是（ ）1xb58A等腰三角形 B锐角三角形 C钝角三角
3、形 D直角三角形 6计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的 2个连续存储单元已依次存入数据 ， ，取出数据的顺序是 ， ；堆baab栈（2）的 3个连续存储单元已依次存入数据 ， ， ，取出数据edc的顺序是 ， ， ，现在要从这两个堆栈中取出 5个数据（每次取cde出 1个数据） ，则不同顺序的取法的种数有（ ）A5 种 B6 种 C10 种 D12 种九年级数学 第 3 页 共 10 页二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分）7若 ，则满足该方程的所有根之和为 . 0412x8 （人教版考生做）如图 A
4、，在 平行四边形 ABCD中，过 A， B， C三点的圆交 AD于 E，且与 CD相切，若 AB=4， BE=5，则 DE的长为 8 （北师大版考生做）如图 B，等边三角形 ABC中， D， E分别为AB， BC边上的两个动点，且总使 AD=BE， AE与 CD交于点F， AG CD于点 G，则 FA9已知 ，且 ，则 012a32234axx10元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有 8元和 9元两种.若两人购买商品一共花费了 172元，则其中单价为 9元的商品有 件11如图，已知电线杆 AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD和地
5、面 BC上，如果 CD与地面成 ，o45九年级数学 第 4 页 共 10 页 A= ， CD=4m， BC= m，则电线杆 AB的长为 o60)264(m 12实数 与 ，使得 ， ， ， 四个数中的三个有相同的xyyxxy数值，则所有具有这样性质的数对 为 ),( 三、解答题（本大题共 3个小题，每小题 20分，共 60分）13.（本题满分 20分）已知： 是完全平方式)()()( axcxbxa求证： cb14.（本题满分 20分）如图，将 OA = 6， AB = 4的矩形 OABC放置在平面直角坐标系中，动点 M， N以每秒个单位的速度分别从点 A， C同时出发，其中点 M沿 AO向终
6、点 O运动，点 N沿 CB向终点 B运动，当两个动点运动了 t秒时，过点 N作 NP BC，交九年级数学 第 5 页 共 10 页OB于点 P，连接 MP（1）点 B的坐标为 ；用含 t的式子表示点 P的坐标为 ；（2）记 OMP的面积为 S，求 S与 t的函数关系式（0 t 6） ；并求 t为何值时， S有最大值？（3）试探究：当 S有最大值时，在 y轴上是否存在点 T，使直线MT把 ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是 ONC面积的 ？若存在，求出点 T的坐标；若不存在，31请说明理由 九年级数学 第 6 页 共 10 页15.（本题满分 20分）对于给定的抛物线 ，使实数
7、， 适合于baxy2pq.)(2qbap（1）证明：抛物线 通过定点；qp2（2）证明：下列两个二次方程， 与 中02bax02px至少有一个方程有实数根.九年级数学 第 7 页 共 10 页2013年九年级试卷参考答案一、 选择题（每小题 5分，共 30分）16 C D B A D C二、 填空题（每小题 5分，共 30分）：7. ； 8. A： ；B： ； 9. 4； 10. 12； 626211. ； 12. .)1,2(),三、解答题：（每题 20分，共 60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于 x的二次三项式，得原式3 x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式，
8、 0.即 4(a+b+c)212( ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22 ab2 bc2 ca=0,(a b)2+(b c)2+(c a)2=0.要使等式成立，必须且只需：九年级数学 第 8 页 共 10 页0acb解这个方程组，得 .cba14. 解：（1） （6，4） ；（ ）.（其中写对 B点得 1分） 3分2,3t（2） S OMP = OM ， 1t S = （ 6 -t） = +2t （0 22132(3)t t 6） 当 时， S有最大3t值8 分（3）存在由（2）得：当 S有最大值时，点 M、 N的坐标分别为：M（3，0） ， N（3，4） ，则直线 ON的函数关
9、系式为： 43yx设点 T的坐标为（0， b） ，则直线 MT的函数关系式为：，3byx解方程组 得43yxb4by直线 ON与 MT的交点 R的坐标为 34(,)b S OCN 436， S ORT S OCN 210 分121一、 当点 T在点 O、 C之间时，分割出的三角形是 OR1T1，二、如图，作 R1D1 y轴， D1为垂足，则 S OR1T1 RD1OT b2.2234 ， b = . b1 ， b2 （不23460b3九年级数学 第 9 页 共 10 页合题意，舍去）此时点 T1的坐标为（0， ）. 15分213 当点 T在 OC的延长线上时，分割出的三角形是 R2NE，如图，
10、设 MT交 CN于点 E，点 E的纵坐标为 4，由得点 E的横坐标为 ，31b作 R2D2 CN交 CN于点 D2，则S R2NE END2 = 2.113()b4()b96() ， b= .480b468213 b1 ， b2 （不合题意，舍去） 31此时点 T2的坐标为（0， ） 综上所述，在 y轴上存在点 T1（0， ） ， T2（0， ）符3132合条件20分15. 证明：（1） )(2qbap 代入抛物线 中，得qqpxy20)2(2xpby得 解得： ，axby42bayx故抛物线 通过定qpxy2九年级数学 第 10 页 共 10 页点 10分)4,2(ba（2） ，pq2 )2(242 bapqp= =4ba42= )()(2bap 0)()4()( 222 apbaqp 与 中至少有一个非负.4 与 中至少有一个方程有实数根.02x2qx20分
