1、 本科毕业论文 （ 20 届） 关于集合基数的研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 现代数学是建立在集合论的基础上 . 集合论是现代数学中重要的基础理论 , 它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学 和质点力学等一些自然科学部门 , 为这些学科提供了奠基的方法 . 集合最重要的特征就是基数 . 本文以 非空有限集合为 研究对象 , 首先回顾了集合基数 的 基本 概念 , 其次给出了有关集合基数的一些重要性质 , 接着讲述了 Mobius 变换 , 最后讨论了证据理论中的贝叶斯密度函数 d 、贝叶斯函数 ba
2、y 、 mass函数 m 、信任函数 bel 以及它们之间的转换关系 . 关键词 : 基数 ; 贝叶斯密度函数 ; 贝叶斯函数 ; 信任函数 ; mass 函数 II The Research of the Cardinality of A Set Abstract Modern mathematics is based on the set theory. Set theory is the basic theory of modern mathematics, its concepts and approaches have been to the algebra, topology an
3、d analysis branches of mathematics and physics, to provide some laying disciplines for some science departments. Cardinality is the most important feature of a set. This thesis is based on the non-empty finite set. In this thesis, the relevant concepts and some properties of the cardinality of a set
4、 are first reviewed. Mobius inversions are then introduced. The inversions among bayesian function, bayesian density function, mass function and belief function are discussed in the last. Keywords:Cardinality; Bayesian density function; Bayesian function; Belief function; Mass function III 目录 摘要 .I
5、Abstract . II 1 前言 . 1 1.1 集合基数的由来与发展 . 1 1.2 论文组织结构 . 2 2 集合理论基础 . 3 2.1 集合的基本概念和定理 . 3 2.2 关于集合基本性质的概述 . 5 3 Mobius 变换 . 6 4 证据函数 . 9 4.1 贝叶斯统计 . 9 4.2 Mass 函数和信任函数 . 13 4.3 四种证据函数之间的相互转换关系 . 14 5 小结 . 21 参考文献 . 22 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 1.1 集合基数的由来与发展 集合是人们直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起 , 使之成为一个整体 , 即指
6、具有某种特定性质的事物的总体 . 模糊集合是用来表达模糊性概念的集合 . 又可以叫为模糊集、模糊子集 . 1965 年 , 美国加利福尼亚大学控制论专家扎德 1 (L.A.Zadeh)教授在 信息与控制杂志上发表论文模糊集合 . 不同于普通的集合中的每个元素都具有清晰的、界限分明的性质 , 每个元素对于集合具有明确的隶 属关系 . 模糊集合是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体 . 集合论是专门研究集合的理论 . 集合论是现代数学的基础 . 康托 2 (Cantor, 1845 年 1918 年 , 德国 )于 19 世纪创立了集合论 , 为数学的发展奠定了坚实的基础 . 目前集合论的基
7、本思想已经渗透到现代数学的所有领域 . 它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门 , 为这些学科提供了奠基的方法 , 改变了这些学科的面貌 . 集合最重要的特征就是基数 (或 势 ). 模糊集合中的每个元素对于集合的隶属关系是不明确的、非此即彼的 . 这一概念是由美国加利福尼亚州大学控制论专家 L. A. 扎德 1 于 1965年首先提出的 . 模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象 , 从而构成了模糊集合论 (我国通常称为模糊性数学 )的基础 . 1874年 , 康托 2 在数学杂志上发表了关于集合论的第一篇论文
8、, 提出了 “无穷集合 ”这个数学概念且引进了无穷点集的一些概念 , 比如基数、势 、序数等 , 建立了实数连续性公理 , 被称为 “康托公理 ”. 集合的基数是指集合的元素个数的多少 , 对有限集合来说 , 基数就是集合所包含元素的个数 , 两个有限集的 “大小 ”相等是指它们包含的元素个数相同 . 对于无限集合 , 用等势来表示两个无限集的 “大小 ”相等 . 康托 2 于 1895年和 1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文 . 在该文中 , 他改变了早期用公理定义 (序 )数的方法 , 采用集合作为基本概念 . 他给出了超限基数和超限序数的定义 , 引进了它们的符号 ;
9、 依势的大小把它们排成一个 “序列 ”; 规定了它们的加法 、 乘法和乘方 到此为止 , 康托所能做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成 . 但是集合论的内在矛盾开始暴露出来 . 康托自己首先发现了集合论的内在矛盾 . 他在 1895 年2 的文章中遗留下两个悬而未决的问题 : 一个是连续统假说 ; 另一个是所有超穷基数的可比较性 . 1994 年 , 陈图云 3 在模糊系统和数学中发表了文章 Fuzzy 集的势与可数 Fuzzy 集的基数 , 在自然数集上定义了可数 Fuzzy 基数 , 并给出了在不确定 可数论域上求 Fuzzy 集的 Fuzzy 基数的方法 . 1995 年 , 王绍智
10、和乐加模 4 发表了一篇文章可列论域 Fuzzy 集合的基数 , 将有限论域上的 Fuzzy 集合的拟基数推广到可列域中 , 并给出了相应的概念和性质 . 2000 年 , 李信巧和周生明 5 发表了集合的基数与元素个数 , 在文章中讨论了不同的集合之间元素个数的比较 . 戌健军 6 在 2001 年的数学通报中发表了集合基数公式在中学 数学中的应用 , 在文章中应用基数公式 )()1()()()()( 111 imimkjijiimi i AnAAAnAAnAnAn 解决某些计数问题、排列组合中的有关问题和某些具有重叠图形的面积或体积计算等 . 1.2 论文组织结构 本文主要分为四部分 ,
11、在第一部分主要回顾了集合基数的相关背景 , 以及集合基数的应用 . 第二部分介绍了集合论中的一些基本概念、性质和有限集合中的一些基本定理 . 第三部分中主要说明了 Mobius 变换 . 第四部分讲述了证据理论 , 并论述了证据理论中的贝叶斯密度函数 d 、贝叶斯函数 bay 、 mass 函数 m 、信任函数 bel 以及它们之间的转换关系 . 3 2 集合理论基础 2.1 集合的基本概念和定理 集合是把人们的直观的或者思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起 , 使之成为一个整体 . 当一个集合中的元素个数是有限个的时候 , 这个集合叫作有限集 . 有限集 A 中的元素个数叫作集合 A
12、的基数 , 用 A 表示 . 对给定的一个集合 A , A 的幂集 A2 就是 A 的所有子集的集合 , 即 AXXA 2 . 对于给定的两个集合 A 和 B , 从 A 到 B 的映射 是指对每一个元素 Ax , 有 Bx )( 7 . 定义 2.1 8 设 A 是一个非空的集合 , 如果 A2 的一个子集 YX , ; AYX , 满足以下条件 (1) 中的任何元素 X 都是非空集合 , 即 X ; (2) 中的任何元素 X 和 Y 都是不交的 , 即 YX ; (3) AXX ; 那 么 , 叫作集合 A 的一个划分 . 从集合的基本概念 , 显然可以得出以下定理 . 定理 2.1 对有
13、限集 A , 有 1)1( A (当 A 为偶数 ), 1)1( A (当 A 为奇数 ). 定理 2.2 如果 A 是一个非空的有限集 , 是集合 A 的一个划分 , 那么 A2 . 定理 2.3 如果 ,AB 那么 BABA , 且 BABA )1()1()1( . 定理 2.4 对任意的集合 A 和 B , 有 (1) BABABA ; (2)当且仅当 BA 时 , BABA . 定理 2.5 设 niAi ,2,1, , 则有 4 Ii iIInIn AAAA 1,2,121 )1(. 证明 当 2k 时 , BABABA BABA 121111 )1()1()1( Ii iIII A
14、 1,2,1 )1(. 当 nk 时 , 若该定理为真命题 . 即 Ii iIInIn AAAA 1,2,121 )1(. 当 1nk 时 , 11121 )( nnn AAAAAA 1111 )( nnnn AAAAAA 11,2,111,2,1 )1()1( nIi iIInInIi iIInI AAAA Ii iIInI A 1,1,2,1 )1(. 综合以上 , 由数学归纳法得证 . 定理 2.6 对有限集 A , 有 AA 22 , AA 22 22 ; 规定 22 , 422 . 证明 AXXA 2 nAaaa ji jii i 2,1 ),()2,()1,()0,( nnCnCn
15、CnC n)11( n2 A2 ; 反复利用 AA 22 , 有 AAA 22 222 2 . 定理 2.7 对有限集 A , naaaA , 21 , 有 ;0)1( XAX1)1( XX. 5 证明 AaajiaiXAXjii )1()1()1()1()1( , ),()1()2,()1,()0,( nnCnCnCnC n n)11( 0 ; 1)1()1()1( 0 XX . 2.2 关于集合基本性质的概述 性质 2.1 对于有限集 A , 0,11XXA AA . 证明 由定理 2.7 直接可以得证 . 性质 2.2 对任意的有限集合 A 和 B , ( 1 ) ,10AXX B X
16、AABAB ，. 证明 BBXBABXBXXAXBX ， )1()1(BYBAYY ， )1(YBAYXB ， )1()1( 1 ) (1 ) ( 1 ) ,( 1 ) (0 ) 0BABABAB . 事实上 , 性质 2.1 就是性质 2.2 在 B 时的特殊情况 . 性质 2.3 对每个有限集合 S , 若 SA , A , 则有 0)1(, XSXAX. 证明 XAXXSXXSXAX )1()1()1(,( 1 ) ( 1 )XXX S X S 000 . 6 3 Mobius 变换 Mobius 变换在证据函数中起着重要的作用 . 定理 3.1 假设 是有限集 , f 和 g 是 2
17、上的函数 . 对任意的 A 有 AX XgAf )()( 成立 , 当且仅当对任意的 A 有 )()1()( XfAg XAAX . 证明 充分性 对所有的 X , 有 XY YgXf )()(, 那么 )()1()1()(1 XfXf XAAXAXAAX )()1()1( XYXAXA Yg )1()()1( , AXYX XXYA Yg )1()()1()1()()1( , AXYX XXYAAXYX XXYA YgYg )0()()1()1()()1( XYAXXYA YgYg AA Ag )1)()1( (Ag . 必要性 如果对所有的 X , 有 )()1()( YfXg YXXY , 那么 AX YXXYAX YfXg )()1()( )1()()1( , XAXYXYXY Yf )1()()1()1()()1( , XAXYXYXYAXYX XYXY YfYf )0)()1()1)()1( YfAf YXYAAXY )(Af . 得证 . 定理 3.2 假设 是有限集 , f 和 g 是 2 上的函数 . 对任意的 A 有 AX X XgAf )()1()( 1成立 , 当且仅当对任意的 A , 有 )()1()( 1 XfAg XAX . 证明 充分性
