1、第 1 页（共 20 页） 2015-2016 学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷 （文科） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 ） 1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x1，B=x|x2，A （ RB）=（ ） A0，2） B0，2 C （1，2） D （1，2 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A2+i B2 i C1+2i D12i 3下列说法中正确的是（ ） A命题“若 x y，则 xy”的逆命题是“若xy，则 xy” B若命题 P：xR，x 2+10，则P ：xR ，x 2+10 C设
2、 l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 D设 x，yR，则“ （xy）x 20”是“ xy”的必要而不充分条件 4设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 5已知 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 6已知：x0，y0，且 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，2 4，+ ） B （ ，42，+） C （ 2，4） D （4，2） 7运行如图所示程序框，若输入 n=2015，则输出的 a=（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8函数 f（x）=3cosxln（x 2
3、+1）的部分图象可能是（ ） A B C D 9一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A1 B2 C3 D4 10对任意 ，不等式 sinxf（x）cosxf （x）恒成立，则下列不等式错误 的是（ ） A B C D 第 3 页（共 20 页） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 11已知圆 C 过点（ 1，0） ，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：y=x+1 被该圆所截得的弦 长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 _ 12在区间 ， 上随机取一个数 x，则 sinx+cosx1， 的概率是_ 1
4、3在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 a2b2=bc，sinC=2sinB ，则角 A 为_ 14定义在 R 上的奇函数 f（x）满足：对任意 x，都有 f（x+3）=f（x）成立；当 时，f（x）= |，则方程 f（x） = 在区间4，4上根的个数 是_ 15F 1、F 2 为双曲线 C： （a0，b0）的焦点， A、B 分别为双曲线的左、 右顶点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且满足 MAB=30，则该双曲线的离心率为 _ 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 75 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 16某公司有男
5、职员 45 名，女职员 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻 关小组 （1）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数； （2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先 从小组里选出 1 名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验， 求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率； （3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为 68，70，71，72，74，第二次 做实验的职员得到的实验数据为 69，70，70，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说 明理由 17函数 f（x）=Asin （ x+） （其中
6、）的图象如图所示，把 函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图 象 （）求函数 y=g（x）的表达式； （）已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 c=3，g（C ）=0若向量 与 共线，求 a，b 的值 第 4 页（共 20 页） 18如图，ABC 是边长为 4 的等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，ADBD，平面 ABC平面 ABD，且 EC平面 ABC，EC=2 （1）证明：DE平面 ABC； （2）证明：ADBE 19已知数列a n是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 （）求数列a n的通项公式； （）设
7、 ，求数列b n的前 2n 项和 T2n 20已知椭圆 + =1（ab0）的离心率 e= ，直线 y=x+1 经过椭圆 C 的左焦点 （I）求椭圆 C 的方程； （）若过点 M（2，0）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，设 P 为椭圆上一点，且满足 + =t （其中 O 为坐标原点） ，求实数 t 的取值范围 21设函数 （）求 f（x）的单调区间； （）若 f（x）在 存在零点，求 k 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2015-2016 学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数 学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在
8、每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 ） 1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x1，B=x|x2，A （ RB）=（ ） A0，2） B0，2 C （1，2） D （1，2 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】求出集合 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 的补集，即可确定出所求的集合 【解答】解：由集合 A 中（ ） x1，得到 x0，即 A=0，+） ， B=x|x2， （ RB）=x |x2= （， 2） ， 则 A（ RB） =0，2） ， 故选：A 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A2+i B2 i C1+2i D12i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【
9、分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则复数 z= 的共轭复数可求 【解答】解：z= = ， 则复数 z= 的共轭复数是：1+2i 故选：C 3下列说法中正确的是（ ） A命题“若 x y，则 xy”的逆命题是“若xy，则 xy” B若命题 P：xR，x 2+10，则P ：xR ，x 2+10 C设 l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 D设 x，yR，则“ （xy）x 20”是“ xy”的必要而不充分条件 【考点】命题的真假判断与应用 第 6 页（共 20 页） 【分析】运用命题：若 p 则 q 的逆命题：若 q 则 p，即可判断 A； 由全称性命题的否定为存在性命题
10、，即可判断 B； 运用面面平行的判定定理：同垂直于一条直线的两个平面平行，即可判断 C； 运用充分必要条件的判断，即可判断 D 【解答】解：对于 A命题“若 xy，则 xy”的逆命题是“ 若 xy，则 xy” ，则 A 错误； 对于 B若命题 P：xR，x 2+10，则P ：xR ，x 2+10，则 B 错误； 对于 C设 l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l，l，由线面垂直的性质定 理， 垂直于同一直线的两平面平行，则有 ，则 C 正确； 对于 D设 x，yR， “（xy）x 20”可推出“ xy”，但反之，不成立，比如 x=0， 则为充分不必要条件，则 D 错误 故选：C 4设变
11、量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B（1，1）时，直线 y= 的截距最小，此时 z 最小 此时 z 的最小值为 z=1+21=3， 故选：B 5已知 ，则向量 的夹角为（ ） 第 7 页（共 20 页） A B C D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】求出 ，代入夹角公式计算 【解答】解： （ ）=
12、=4， = 4=3 cos = = = = 故选：A 6已知：x0，y0，且 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，2 4，+ ） B （ ，42，+） C （ 2，4） D （4，2） 【考点】基本不等式；函数恒成立问题 【分析】x+2ym 2+2m 恒成立，即 m2+2mx+2y 恒成立，只需求得 x+2y 的最小值即可 【解答】解：x0，y0，且 ， x+2y=（x+2y） （ ）=2+ + +28（当且仅当 x=4，y=2 时取到等号） （x+2y） min=8 x+2ym 2+2m 恒成立，即 m2+2m（x+2y） min=8， 解得：4m2
13、故选 D 7运行如图所示程序框，若输入 n=2015，则输出的 a=（ ） 第 8 页（共 20 页） A B C D 【考点】程序框图 【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算 a= + + 的值，i=4029 时，计算 a 的值，输出 a，程序结束 【解答】解：执行程序框图，有 n=2015 a=0，i=1，a= ， 不满足条件 i2n1，i=3 ，a= ， 不满足条件 i2n1，i=5 ，a= + ， 不满足条件 i2n1，i=4029，a= + + ， 满足条件 i2n1，退出循环，输出 a 的值为 + + a= + + = （ ）= 故选：D 8函数 f（x）=3cosx
14、ln（x 2+1）的部分图象可能是（ ） A B C D 【考点】函数的图象 【分析】由函数解析式判断函数的性质，从而利用排除法求解即可 【解答】解：易知函数 f（x） =cosxln（x 2+1）是偶函数， 故排除 B、D； ln（x 2+1）0，cosx 有正有负； 故排除 C； 故选：A 9一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） 第 9 页（共 20 页） A1 B2 C3 D4 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是 一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体
15、积公式求解 其体积即可 【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为 2 的正方 形，故其底面积为 =2 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个 直角三角形 由于此侧棱长为 ，对角线长为 2，故棱锥的高为 =3 此棱锥的体积为 =2 故选 B 10对任意 ，不等式 sinxf（x）cosxf （x）恒成立，则下列不等式错误 的是（ ） A B C D 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】构造函数 g（x）=f（x）cosx，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，然后 利用单调性进行判断即可 【解答】解：构造函
16、数 g（x）=f（x）cosx， 则 g（x）=cosx f（x）sinxf（x） ， sinx f（x） cosxf（x） ， g（x）=cosx f（x）sinx f（x）0， 第 10 页（共 20 页） 即 g（x）在 上为增函数， 则 g（ ）g（ ） ， 即 f（ ）cos f （ ）cos ， 即 f（ ） f（ ） ， 即 f（ ）f（ ） ， 又 g（1）g（ ） ， 即 f（1）cos1 f （ ）cos ， 即 ， 故错误的是 D 故选：D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 11已知圆 C 过点（ 1，0） ，
17、且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：y=x+1 被该圆所截得的弦 长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 （x+3） 2+y2=4 【考点】圆的标准方程 【分析】根据题意设圆心 C 坐标为（ x，0） ，根据圆 C 过（ 1，0） ，利用两点间的距离公式 表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d，根据已知的弦长， 利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆 C 的标准方程即可 【解答】解：设圆心 C（x， 0） ，则圆的半径 r=|BC|=|x+1| 圆心 C 到直线 l 的距离|CD|= ，弦长|AB |=2 ， 则 r=
18、=|x+1|， 整理得：x=1（不合题意，舍去）或 x=3， 圆心 C（3， 0） ，半径为 2， 则圆 C 方程为（x+3） 2+y2=4 故答案为：（x+3） 2+y2=4 第 11 页（共 20 页） 12在区间 ， 上随机取一个数 x，则 sinx+cosx1， 的概率是 【考点】几何概型 【分析】本题是几何概型的考查，只要求出区间 ， 的长度以及满足 sinx+cosx1， 的对于区间长度，利用几何概型公式解答 【解答】解：由题意，本题符合几何概型，区间 ， 的长度为 ， 满足 sinx+cosx1， 的区间为 x+ 即 x0， ，区间长度为 ， 由几何概型公式得到所求概率为： ；
19、故答案为： 13在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 a2b2=bc，sinC=2sinB ，则角 A 为 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可 【解答】解：由 sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入 a2b2=bc， 可得 a2=3b2， 所以 cosA= = ， 0A， A= 第 12 页（共 20 页） 故答案为： 14定义在 R 上的奇函数 f（x）满足：对任意 x，都有 f（x+3）=f（x）成立；当 时，f（x）= |，则方程 f（x） = 在区间4，4上根的个数 是 5 【考
20、点】函数奇偶性的性质 【分析】由题意作函数 f（x）与 y= 的图象，从而化方程的解的个数为图象的交点的个 数 【解答】5 解：由题意作函数 f（x）与 y= 的图象如下， ，函数 f（x）与 y= 的图象在 4，4上有 5 个交点， 故 f（x）= 在 4，4上根的个数是 5， 故答案为：5 15F 1、F 2 为双曲线 C： （a0，b0）的焦点， A、B 分别为双曲线的左、 右顶点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且满足 MAB=30，则该双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点 M 的坐标，结合
21、 MAB=30求出 a，b 之间的关系，进而求出离心率即可 【解答】解：由题得以 F1F2 为直径的圆的圆心是（0，0） ，半径为：c； 故圆的标准方程为：x 2+y2=c2； 第 13 页（共 20 页） 又双曲线的其中一条渐近线方程为：y= x 联立 可得： ，即 M（a，b） 故 MB 垂直于 AB； 所以 tanMAB= = =tan30； 即 = = = = 故双曲线的离心率为 故答案为： 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 75 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 16某公司有男职员 45 名，女职员 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻 关小组 （1
22、）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数； （2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先 从小组里选出 1 名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验， 求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率； （3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为 68，70，71，72，74，第二次 做实验的职员得到的实验数据为 69，70，70，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说 明理由 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差 与标准差；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （1）直接利用条
23、件求出某职员被抽到的概率，然后求解科研攻关小组中男、女职 员的人数； （2）列出基本事件的所有情况，求出选出的两名职员中恰有一名女职员的数目，即可求解 概率； 第 14 页（共 20 页） （3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为 68，70，71，72，74，第二次 做实验的职员得到的实验数据为 69，70，70，72，74，求出两组数据的均值与方差，即可 判断 【解答】解：（1） 即：某职员被抽到的概率为 设有 x 名男职员，则 x=3 即：男、女职员的人数分别是 3，1 （2）把 3 名男职员和 1 名女职员记为 a1，a 2，a 3，b， 则选取两名职员的基本事件有（a 1
24、，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 1，b） ， （a 2，a 1） ， （a 2，a 3） ， （a 2，b） ， （a 3，a 1） ， （a 3，a 2） ， （a 3，b） ， （b，a 1） ， （b，a 2） ， （b，a 3） ，共 12 种，其中有 一名女职员的有 6 种， 所以，选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为 （3） ， 即第二次做实验的职员做的实验更稳定 17函数 f（x）=Asin （ x+） （其中 ）的图象如图所示，把 函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图 象 （）求函数 y=g（x）的表达式； （
25、）已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 c=3，g（C ）=0若向量 与 共线，求 a，b 的值 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【分析】 （）由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函 数 f（x）的解析式；再根据 y=Asin（ x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式 第 15 页（共 20 页） （）已知ABC 中，由 c=3，g（C）=0 求得 C 的值，再由向量 与 共线利用正弦定理求得 b=2a，再利用余弦定理求得 a、b 的值 【解答】解：（）由函数的图象可得 A=1， = = ，求得 =2 再根据五点法作图，可
26、得 2 +=，求得 = ，f（x）=sin（2x+ ） 把函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位， 得到函数 y=g（x）=sin2（x ）+ 1=sin（2x ）1 的图象，即 g（x） =sin（2x ）1 （）已知ABC 中，c=3，g（C）=sin（2C ）1=0，sin（2C ）=1 由 0C，可得 2C ，2C = ， C= 向量 与 共线， = = ，b=2a 再由余弦定理可得 c2=9=a2+4a22a2acos ，求得 a= ，b=2 18如图，ABC 是边长为 4 的等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，ADBD，平面 ABC平面 ABD，且 EC平面
27、 ABC，EC=2 （1）证明：DE平面 ABC； （2）证明：ADBE 【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （1）取 AB 的中点 F，连接 DF，CF ，由已知可证 DF EC，可得四边形 DEFC 为 平行四边形，可得 DEFC ，由 DE平面 ABC，从而可证 DE平面 ABC （2）以 FA，FC，FD 为 x，y，z 轴的正方向建立直角坐标系，求出向量 ， 的坐标， 由 =0，即可证明 ADBE 【解答】证明：（1）取 AB 的中点 F，连接 DF，CF ， 第 16 页（共 20 页） ABC 是边长为 4 的等边三角形，ABD 是等腰直角三角
28、形，ADBD，平面 ABC 平面 ABD， DFCF， DF= BC=2 又EC平面 ABC，既有：EC FC，EC=2 DF EC，故四边形 DEFC 为平行四边形， DEFC DE平面 ABC，可得 DE 平面 ABC （2）以 FA，FC，FD 为 x，y，z 轴的正方向建立直角坐标系， 则有：A（2，0，0） ，D（0，0，2） ，B（ 2，0，0） ，E（0，2 ，2） =（2 ，0，2） ， =（2，2 ，2） 由于 =0， 故 ADBE 19已知数列a n是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 （）求数列a n的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 2n 项和 T2n
29、【考点】数列的求和 【分析】 （I）利用等差数列的通项公式即可得出； （II）由题意知， ，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】解：（I）设数列a n的公差为 d， 第 17 页（共 20 页） 令 n=1，得 ，所以 a1a2=3 令 n=2，得 ，所以 a2a3=15 解得 a1=1，d=2，所以 an=2n1 （II）由题意知， ， 所以 =（121）+（ 231）+ （341）+（45 1）+2（n1）2n1+2n（2n+2） 1 =4+8+4n= 20已知椭圆 + =1（ab0）的离心率 e= ，直线 y=x+1 经过椭圆 C 的左焦点 （I）求椭圆 C 的方程； （）
30、若过点 M（2，0）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，设 P 为椭圆上一点，且满足 + =t （其中 O 为坐标原点） ，求实数 t 的取值范围 【考点】椭圆的简单性质 【分析】 （ I）直线 y=x+1 与 x 轴交点为（ 1，0） ，即椭圆的左焦点，可得 c=1又 = ，b 2=a2c2即可得出 （）由题意知直线 AB 的斜率存在设直线 ABd 的方程：y=k（k 2） ，与椭圆方程联立可 得：（1+2k 2）x 28k2x+8k22=0利用0，解得 k2 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， P（x，y） 利用根与系数的关系及 + =t ，可得 P 坐标，代入椭圆方程
31、即可得出 【解答】解：（ I）直线 y=x+1 与 x 轴交点为（ 1，0） ，即椭圆的左焦点，c=1 又 = ，a= ，b 2=a2c2=1 故椭圆 C 的方程为 =1 第 18 页（共 20 页） （）由题意知直线 AB 的斜率存在 设直线 ABd 的方程：y=k （k2） ， 联立 ，化为：（1+2k 2）x 28k2x+8k22=0 =64k 44（1+2k 2） （8k 22）0，解得 k2 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x，y） ， 则 x1+x2= ，x 1x2= ， + =t ， x 1+x2=tx，y 1+y2=ty x= = ， y= = = 点
32、P 在椭圆上， +2 =2， 16k 2=t2（1+ 2k2） ， k2 ， t 2= = =4， 解得2 t2 ， t 的取值范围是为（2，2） 21设函数 （）求 f（x）的单调区间； （）若 f（x）在 存在零点，求 k 的取值范围 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点 第 19 页（共 20 页） 【分析】 （）求 f（x）的定义域，函数的导数，通过 k 的范围讨论，导函数的符号，求 解函数的单调区间； （）借助（） ，利用函数的单调性以及最小值的符号，判断 f（x）在 存在零 点的条件，列出不等式求 k 的取值范围 【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+）1 分 2 分
33、 （1）k0 时，f（x）0，f （x）在（0，+）上单调递增3 分 （2）k0 时，由 f（x）=0 解得 f （x）与 f（x）在区间 f（0）1 上的情况如下： x （0， ） （ ，+） f（x） 0 + f（x） 所以，f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；5 分 综上所述，k0 时，f（x）0，f （x）在（0，+）上单调递增； k0 时，f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是 6 分 （） （1）k0 时，f（x）在（ 0，+）上单调递增且 ， f（x）在 没有零点 7 分 （2）k0 时，由（）知，f（x）在区间 f（0）1 上的最小值 为 因为 f（x）存在零点，所以 ，从而 ke 9 分 当 k=e 时，f （ x）在区间 上单调递减，且 ，f （x）在 存在零 点；10 分 当 ke 时，f（x）在区间 上单调递减，且 ， ， 所以 f（x）在区间 存在零点12 分 综上所述，ke13 分 第 20 页（共 20 页） 2016 年 9 月 30 日
