1、- 1 - 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2010.5 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1已知集合 ， ，则 0Ax,12B A B C DBAABAB 2函数 图象的对称轴方程可以为 ()sin2)3fx A B C D 1512x3x6x 3如图， 是O 的直径， 切O 于点 ，CDAEB 连接 ，若 ，则 的大小为 B20D A. B. 204 C. D. 67 4函数 在定义域内零点的个数为 ()lnfxx A0 B1 C2 D3 5已知不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，则 的
2、值为 02,xyk k A1 B 3 C1 或 D03 6已知 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列条件能mn 使 成立的是 A ， B ，/m C ， D ，/n/n 7按照如图的程序框图执行，若输出结果为 15，则 M 处条件为 A B 16k8k C D 8已知动圆 C 经过点 (0，1),并且与直线 相切，若直线 与圆 C 有F1y3420xy 公共点，则圆 C 的面积 开始 S=0 M S=S+k2 结束 输出 S 是 否 k=1 AEBCOD - 2 - A有最大值为 B有最小值为 C有最大值为 D有最小值为4 4 二、填空题:本大题共 6 小题 ,每小题 5 分,共 30
3、 分.把答案填在题中横线上. 9在极坐标系中，若点 ( )是曲线 上的一点，则 .0)3A02cos0 10某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙 两班各随机抽取了 5 名学生的学分，用茎叶图表示（如 右图）. ， 分别表示甲、乙两班各自 5 名学生学分的1s2 标准差，则 .（填“ ”、 “ ”或“”）2s 11已知向量 a= ，b= ，若 ，则 ； .)0,()1,(xab2Axab 12. 已知数列 满足 ， （ N ） ，则 的值为 .n11nn*910a 13在 中，角 , , 所对应的边分别为 , , ，若 ，则 的最大值ABCbcsinAc 为 . 14给定集合 ，映射 满
4、足：1,23.,n:nfA 当 时， ；,ijAij()fij 任取 若 ，则有 .,nm2m(1),2.,()ffm .则称映射 ： 是一个“优映射”.例如：用表 1 表示的映射 ： 是一个fn f3A “优映射”. 表 1 表 2 （1）已知表 2 表示的映射 ： 是一个优映射，请把表 2 补充完整（只需f4A 填出一个满足条件的映射） ； （2）若映射 ： 是“优映射” ，且方程 的解恰有 6 个，则这样的f10A()fi “优映射”的个数是_. 三、解答题: 本大题共 6 小题 ,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. i1 2 3()f 2 3 1 i1 2 3 4
5、()f 3 - 3 - 15 （本小题满分 13 分） 记等差数列 的前 n 项和为 ，已知 .nanS246,10aS （）求数列 的通项公式； （）令 ，求数列 的前 n 项和 .2nnba*(N)nbnT 16 （本小题满分 14 分） 已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧棱 ，其中PABCDPABCD底 面 ， 为侧棱 上的两个三等分点，如图所示.26BCMN,P （）求证： ；/平 面 （）求异面直线 与 所成角的余弦值； （）求二面角 的余弦值.BC 17 （本小题满分 13 分） 为保护水资源，宣传节约用水，某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进 行宣传活动，每名志愿者都可
6、以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （）求 4 人恰好选择了同一家公园的概率； （）设选择甲公园的志愿者的人数为 ，试求 的分布列及期望X 18 （本小题满分 13 分） 已知函数 ，其中 a 为常数，且 .2()eaxfx0a （）若 ，求函数 的极值点；1a(f （）若函数 在区间 上单调递减，求实数 a 的取值范围.()fx2,) 19 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 和抛物线 有公共焦点 F(1,0), 的中心和 的顶点都在坐标原点，过点1C2 1C2 ABCDMN - 4 - M（4，0）的直线 与抛物线 分别相交于 A,B 两点.l2C （）写出抛物线 的标准方
7、程； （）若 ，求直线 的方程；12AMBl （）若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，直线 与椭圆 有公共点，OlP2Cl1C 求椭圆 的长轴长的最小值.1C 20 （本小题满分 14 分） 已知函数 的图象在 上连续不断，定义：()fx,ab ，1min|ftx(,) 2()ax()|fft,ab 其中， 表示函数 在 上的最小值， 表示函数in|fD()fxDmax()|fD 在 上的最大值若存在最小正整数 ，使得 对任意的()fx k21()ffk 成立，则称函数 为 上的“ 阶收缩函数” ,ab()fx,ab （）若 ， ，试写出 ， 的表达式；()cosfx0,1()fx2
8、f （）已知函数 ， ，试判断 是否为 上的“ 阶收缩函数” ，2fx,4f1,4k 如果是，求出对应的 ；如果不是，请说明理由；k （）已知 ，函数 是 上的 2 阶收缩函数，求 的取值范围.0b32()fx0,bb - 5 - 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 20105 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,
9、每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） 91 10 112 ； 1248 13 102 14来源:K ；84. 三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 80 分) 15 （本小题满分 13 分） 解：（）设等差数列 的公差为 d，由 ，na246,10aS 可得 ， 124630 2 分 即 ，1235ad 解得 ，1d 4 分 ，1(1)nan - 6 - 故所求等差数列 的通项公式为 .nana 5 分 （）依题意， ，2nnb 1nTb ，231()2nn 7 分 又 ， 2nT234 11()n 9 分 两式相减得 2311(2)nnn 11 分
10、，1 12nn1()n 12 分 .1()nnT 13 分 16 （本小题满分 14 分）来源:K （）证明：连结 交 于 ，连结 ， ACBDOM ，B底 面 为 矩 形 ， 1 分O为 中 点 ，MNP、 为 侧 棱 的 三 等 分 点 ，C ， 3 分/A ，,BDB平 面 平 面 . 4 分/平 面 （）如图所示，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，Axyz 则 ， ， ， ，(0,)A(3,0)B(,60)C(,)D ， ， ,P241M2N ,(,)(,)ND 5 分 ,01265cos, 3APN PABCDMNyxPBCDMNO - 7 - 7 分 异面直线 与 所成角的余弦值为
11、 .ANPD251 8 分 （） 侧棱 ,BC底 面 , (03)BCA平 面 的 一 个 法 向 量 为 9 分 设 的法向量为 ,MD平 面 ()xyzm ，并且 ,(3,60)(1,4)B,BDM ，令 得 ， ,4xyzy2xz 的一个法向量为 .MBD平 面 (,1)m 11 分 ,2cos,3APm 13 分 由图可知二面角 的大小是锐角,MBDC 二面角 大小的余弦值为 .23 .14 分 17 （本小题满分 13 分）来源 :K 解：（）设“4 人恰好选择了同一家公园”为事件 A. 1 分 每名志愿者都有 3 种选择，4 名志愿者的选择共有 种等可能的情况 . 43 2 分 事
12、件 A 所包含的等可能事件的个数为 3， 3 分 所以， . 43127P 即：4 人恰好选择了同一家公园的概率为 . 127 5 分 （）设“一名志愿者选择甲公园”为事件 C，则 .3P .6 分 4 人中选择甲公园的人数 可看作 4 次独立重复试验中事件 C 发生的次数，因此，随X - 8 - 机变量 服从二项分布.X 可取的值为 0，1，2，3，4. .8 分 ， .44()iiPC0,1234 .10 分 的分布列为:X 0 1 2 3 4P1683284818118 . 12 分 的期望为 X143E .13 分 18.（本小题满分 13 分）来源:K 解法一：（）依题意得 ，所以
13、，2()exfx2()exfx .1 分 令 ，得 ，()0fx .2 分 ， 随 x 的变化情况入下表：()ff x (,2)2(2,)2(2,)()f 0 + 0 xA 极小值 A极大值 A 4 分 由上表可知， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点. 2x()fx2x()fx 5 分 （） , 2()()2eaxfxa .6 分 由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立，()f(,)()0fx(2,)x 来源 :学 +科+ 网 Z+X+X+K . 7 分 - 9 - 当 时， ，显然 对任意 恒成立；0a()2fx()0fx(2,)x .8 分 当 时， 等价于 ，()0f2
14、()aa 因为 ，不等式 等价于 ,2,x0xx2ax . 9 分 令 ，(),2,gx 则 ，在 上显然有 恒成立，所以函数 在 单21,()0gx()gx2, 调递增， 所以 在 上的最小值为 ，()gx,(2) .11 分 由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒()0f(,)x2ax(2,)x 成立， 需且只需 ，即 ，解得 ，因为 ，所以 2min()ag20a10 .01a 综合上述，若函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为()fx(2,) . . 13 分 解法二：（）同解法一 （） , 2()()2eaxfxa .6 分 由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成
15、立，()f(,)()0fx(2,)x 即 对任意 恒成立，220axxa2, 7 分 当 时， ，显然 对任意 恒成立；0()f()0fx(2,)x 8 分 当 时，令 ，则函数 图象的对称轴为a2()()2hxaa()h ， 21x - 10 - . 9 分 若 ，即 时，函数 在 单调递增，要使 对任意 210a1a()hx0,)()0hx 恒成立，需且只需 ，解得 ，所以 ;(,)x21a1a 11 分 若 ，即 时，由于函数 的图象是连续不间断的，假如 对 210a1a()hx ()0hx 任意 恒成立，则有 ，解得 ，与 矛盾，所(,2)x201a1 以 不能对任意 恒成立.0h(,
16、)x 综合上述，若函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为()f2, .来源:高考资源网01a . 13 分 19 （本小题满分 13 分）来源:K 解：（）由题意，抛物线 的方程为： ， 2C24yx 2 分 （）设直线 的方程为： .AB(),0)ykxk存 在 且 联立 ，消去 ，得 ， 2(4)ykx2416 3 分 显然 ，设 ，21640k12(,)(,)AxyB 则 124yk 6 4 分 又 ，所以 12AMB12y 5 分 由 消去 ，得 ， 12,2k 故直线 的方程为 或 . l4,yx42yx 6 分 BMAFPyxO - 11 - （）设 ，则 中点为 ，
17、因为 两点关于直线 对称，(,)PmnO(,)2mnOP、 (4)ykx 所以 ，即 ，解之得 ， 421k80kn2281kn 8 分 将其代入抛物线方程，得： ，所以， . 228()41kk21k 9 分 联立 ，消去 ，得：2 ()1ykxaby . 22222()860kxakb 10 分 由 ，得2222()4()(1)aba ，即 ， 241660kk216kbk 12 分 将 ， 代入上式并化简，得221ba ，所以 ，即 ， 17a34234a 因此，椭圆 长轴长的最小值为 . 1C 13 分 20 （本小题满分 14 分）来源:K 解：（）由题意可得: ,1()cos,0f
18、x 1 分 .2(),f 2 分 （） , 21,10)()4xf 3 分 , 22,1)()4xf - 12 - 4 分 , 2212,10)(),4xfxf 5 分 当 时， , ;1,0x2(1)xkx2k 当 时， ;(,) 1 当 时， .1,4x2(1)xk2x65k 综上所述， 65 6 分 即存在 ，使得 是 上的 4 阶收缩函数. 4k()fx1, 7 分 （） ,令 得 或 .2()362fx()0fx2x 函数 的变化情况如下：来源:K f 令 ，解得 或 3. ()0fx0x 8 分 ） 时， 在 上单调递增，因此， ， .2b()f,b322()fxfx1()0fxf
19、 因为 是 上的 2 阶收缩函数，32fxx0, 所以， 对 恒成立；21()f0,xb 存在 ，使得 成立. 0,xb21()ff 9 分 即： 对 恒成立，32, 由 ，解得： 或 ，xx01x2 - 13 - 要使 对 恒成立，需且只需 . 32xx0,b01b .10 分 即：存在 ，使得 成立.,231x 由 得： 或 ，2310x52 所以，需且只需 .2b 综合可得： . 51 .11 分 ）当 时，显然有 ，由于 在 上单调递增，根据定义可得： 来源:K 2b30,2b()fx0,2 ， ，27()8f1()f 可得 ，332 此时， 不成立. 21()0fxfx .13 分 综合）可得： .351b 注：在）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用 只是因为简单而32 已. 来源:K 来源:K
