1、2014-2015 学年江西省吉安市吉州区九年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A x（x1）=x 2 B x 2x=1 C x 2+x=1 D （x 21） 2=1 2如图是一中国象棋棋盘，右侧是一颗反面朝上的棋子，这个棋子的俯视图是（ ） A B C D 3掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得面朝上的 点数为奇数的概率为（ ） A B C D 4 （3 分） （2005东营）在反比例函数 y= （k0）的图象上有两点 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，且
2、 x1x 20，则 y1y 2的值为（ ） A 正数 B 负数 C 非正数 D 非负数 5如图，已知 AD 是ABC 的高，把三角形纸片 ABC 折叠，使 A 点落在 D 处，折痕为 EF， 则下列结论中错误的是（ ） A EFAD B EF= BC C DF= AC D DF= AB 6已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A a0 B 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C a+b+c=0 D 3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 7请写出一个三视图都相同的几何体： 8若 x1，x 2是方程
3、 x290x+2015=0 的两个根，则 x1x2= 9已知反比例函数图象上有一点 P（m，n） ，且 m+n=5，试写出一个满足条件的反比例函数 的解析式 10已知线段 AB=20，点 C 为线段 AB 的黄金分割点（ACBC） ，则 AC= 11如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，BD=6，过点 O 作 OH 丄 AB， 垂足为 H，则点 0 到边 AB 的距离 OH= 12已知抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交于 A（2，0） ，则抛物线的表达式是 13如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30后得到正
4、方形 EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长是 14某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的 A，B 两点之间的距 离根据实际情况，作出如图所示的图形，其中 ABBE，EFBE，A F 交 BE 于 D， 点 C 在 BD 上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据： BC，ACB；CD，ACB，ADB；DE，DC，BC；EF、DE、BD根据所测数据，能求 出 A、B 间的距离的有 （填上所有能求出 A、B 间距离的序号） 三、解答题（本题共 4 小题，共 24 分） 15解方程：x 2+2x3=0 16计算：6tan 230 sin602cos45 17如图，在 6
5、4 的正方形方格中，ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的格点上 （1）请按要求画图：以点 B 为位似中心，在方格内将ABC 放大为原来的 2 倍，得到 EBD，且点 D、E 都在单位正方形的顶点上 （2）在（1）中 ABC 与EBD 的面积比是 （直接写出答案） 18为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召某校从甲、乙、丙 3 名同学中随机 抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率： （1）抽取 1 名，恰好是甲； （2）抽取 2 名，甲在其中 四、 （共 3 小题，每题 8 分，共 24 分） 19如图，A、B 是双曲线 y= 上的点，点 A 的坐标是（1，4） ，B 是线段 AC
6、的中点 （1）求 k 的值； （2）求OAC 的面积 20某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关 调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销 售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问房 产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 21如图 1 是一张折叠椅子，图 2 是其侧面示意图，已知椅子折叠时长 1.2 米椅子展开 后最大张角CBD=37，且 BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面 EF 与地面平行，当展开角 最大
7、时，请解答下列问题： （1）求CGF 的度数； （2）求座面 EF 与地面之间的距离 （可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据： sin71.50.948，cos71.50.317，tan71.52.989） 五、 （共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22如图矩形 ABCD 的对角线相交于点 ODEAC，CEBD （1）求证：四边形 OCED 是菱形； （2）若ACB=30，菱形 OCED 的面积为 ，求 AC 的长 23已知抛物线 y=x2+bx+1 顶点最初在 x 轴上，且位于 y 轴左侧，现将该抛物线向下平移， 设抛物线在平移过程中，顶点为 D，与 x 轴的两交点为
8、A，B （1）试求该抛物线的对称轴； （2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点 A，B 之间的距离不小于 6 个单位？ （3）在最初的状态下，若向下平移 m2（m0）个单位时，对应线段 AB 长为 n，若 w=m2n，问 m 为何值时，w 最小，最小值是多少 六、 （共 1 题，12 分） 24 【问题情境】如图，直角三角板 ABC 中，C=90，AC=BC，将一个用足够长的细铁 丝制作的直角的顶点 D 放在直角三角板 ABC 的斜边 AB 上，再将该直角绕点 D 旋转，并使其 两边分别与三角板的 AC 边、BC 边交于 P、Q 两点 【问题探究】 （1）在旋转过程中， 如图 2，当
9、AD=BD 时，线段 DP、DQ 的数量关系是（ ） A、DPDQ B、DP=DQ C、DPDQ D、无法确定 如图 3，当 AD=2BD 时，线段 DP、DQ 有何数量关系？并说明理由 根据你对、的探究结果，试写出当 AD=nBD 时，DP、DQ 满足的数量关系为 （直接写出结论，不必证明） （2）当 AD=BD 时，若 AB=20，连接 PQ，设DPQ 的面积为 S，在旋转过程中，S 是否存在 最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由 2014-2015 学年江西省吉安市吉州区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）
10、 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A x（x1）=x 2 B x 2x=1 C x 2+x=1 D （x 21） 2=1 考点： 一元二次方程的定义 分析： 本题根据一元二次方程的定义解答 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答 案 解答：解：A、是一元一次方程，故 A 错误； B、是一元三次方程，故 B 错误； C、是一元二次方程，故 C 正确； D、是一元四次方程，故 D 错误； 故选：C 点评： 本题考查了一元二次方程的概念
11、，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是 否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 2如图是一中国象棋棋盘，右侧是一颗反面朝上的棋子，这个棋子的俯视图是（ ） A B C D 考点： 简单组合体的三视图 分析： 找出从上面看所 得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 解答： 解：从几何体的上面看所得到的图形是 ， 故选：C 点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 3掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得面朝上的 点数为奇数的概率为（ ） A B C D 考点： 列表法与树状图法 分
12、析： 先统计出奇数点的个数，再根据概率公式解答 解答： 解：正方体骰子共六个面，点数为 1，2，3，4，5，6，奇数为 1，3，5， 故点数为奇数的概率为 = 故选 C 点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其 中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 4 （3 分） （2005东营）在反比例函数 y= （k0）的图象上有两点 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，且 x1x 20，则 y1y 2的值为（ ） A 正数 B 负数 C 非正数 D 非负数 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征 分析： 先根据 k0、x
13、1x 20 判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质 判断出 y1、y 2的大小 解答： 解：因为 k0 所以图象分别位于第二、四象限， 又因为在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，x 1x 20， 故 y1y 2， 所以 y1y 2的值为正数 故选 A 点评： 本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点 掌握 5如图，已知 AD 是ABC 的高，把三角形纸片 ABC 折叠，使 A 点落在 D 处，折痕为 EF， 则下列结论中错误的是（ ） A EFAD B EF= BC C DF= AC D DF= AB 考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 如图，
14、证明 EFAD，且平分 AD；证明 EFBC，得到 AF=FC，AE=BE，进而得到 EF= BC；证明 DF= AC，即可解决问题 解答： 解：如图，由题意得：EFAD，且平分 AD， BCAD， EFBC，AF=FC，AE=BE， EF 为AB C 的中位线， EF= BC；而点 F 为 AC 的中点， DF= AC， 综上所述，选项 A、B、C 均正确 故选 D 点评： 该题主要考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等几何知 识点及其应用问题；应牢固掌握三角形中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点 6已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论
15、正确的是（ ） A a0 B 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C a+b+c=0 D 3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题 ： 数形结合 分析： 根据抛物线开口方向对 A 进行判断；根据二次函数的性质对 B 进行判断；根据 x=1 时函数值为正数可对 C 进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点为 （3，0） ，则根据抛物线与 x 轴的交点问题可对 D 进行判断 解答： 解：A、抛物线开口向下，则 a0，所以 A 选项错误； B、抛物线的对称轴为直线 x=1，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，所以 B 选项错误；
16、 C、当 x=1 时，y0，即 a+b+c0，所以 C 选项错误； D、抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ，而对称轴为直线 x=1，则抛物线与 x 轴的另一 个交点为（3，0） ，所以 x=3 时，ax 2+bx+c=0，所以 D 选项正确 故选 D 点评： 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决 定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛
17、物线与 y 轴交点位置，抛物线与 y 轴交于 （0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由决定：=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交 点 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 7请写出一个三视图都相同的几何体： 球（或正方体） 考点： 简单几何体的三视图 专题： 开放型 分析： 三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到 的图形，找到从 3 个方向得到的图形全等的几何体即可 解答： 解：球的三视图是 3 个全等的圆；正方体的三视图是 3 个全等的
18、正方形， 故答案为：球（或正方体） 点评： 考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球或正方体 8若 x1，x 2是方程 x290x+2015=0 的两个根，则 x1x2= 2015 考点： 根与系数的关系 分析： 由根与系数的关系可知：两根之积为 ，由此求得答案即可 解答： 解：x 1，x 2是方程 x290x+2015=0 的两个根， x 1x2=2015 故答案为：2015 点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一 种经常使用的解题方法 9已知反比例函数图象上有一点 P（m，n） ，且 m+n=5，试写出一个满足条件的反比例函数 的解
19、析式 y= （答案不唯一） 考点： 待定系数法求反比例函数解析式 专题： 开放型 分析： 因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 y= （k0）即可用 m，n 表示 出 k 的值，再根据 m+n=5，可设 m 出 m，n 的值，从而求出 k 的值，求出函数解析式 解答： 解：设反比例函数的解析式为 y= （k0） ， 函数经过点 P（m，n） ， n= ， 得 k=mn， m+n=5， 可设 m=1， 则 n=4，k=14=4 故函数的解析式可为 y= （答案不唯一） 点评： 本题属开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可，锻炼了学生从多个角度思考 问题的能力 10已知线段 AB=20，
20、点 C 为线段 AB 的黄金分割点（ACBC） ，则 AC= 10 10 考点： 黄金分割 分析： 根据黄金分割点的定义，知 AC 为较长线段；则 AC= AB，代入数据即可得出 AC 的值 解答： 解：C 为线段 AB=20 的黄金分割点，且 ACBC， AC=20 =10 10 故答案为 10 10 点评： 本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较 短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金 比熟记黄金比的值是解题的关键 11如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，BD=6，过点 O 作 OH 丄
21、AB， 垂足为 H，则点 0 到边 AB 的距离 OH= 考点： 菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理 分析： 因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出 OH 的 长 解答： 解：AC=8，BD=6， BO=3，AO=4， AB=5 AOBO= ABOH， OH= 故答案为： 点评： 本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面 积相等，可求出 AB 边上的高 OH 12已知抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交于 A（2，0） ，则抛物线的表达式是 y=x22x 考点： 待定系数法求二次函数解析式 分析： 把（0，0）代
22、入可得出 c 的值，再把 A（2，0）代入 y=x2+bx 得 b 的值，即可得出 抛物线的表达式 解答： 解：抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点， c=0， 把 A（2，0）代入 y=x2+bx 得 b=2 抛物线的表达式为 y=x22x 故答案为：y=x 22x 点评： 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是确定经过原点的解 析式为 y=x2+bx 13如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30后得到正方形 EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长是 考点： 正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形 专题： 压轴题 分析： 连接
23、 CH，可知CFHCDH（HL） ，故可求DCH 的度数；根据三角函数定义求 解 解答： 解：连接 CH 四边形 ABCD，四边形 EFCG 都是正方形，且正方形 ABCD 绕点 C 旋转后得到正方形 EFCG， F=D=90， CFH 与CDH 都是直角三角形， 在 RtCFH 与 RtCDH 中， ， CFHCDH（HL） DCH= DCF= （9030）=30 在 RtCDH 中，CD=3， DH=tanDCHCD= 故答案为： 点评： 此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键 14某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的 A，B 两点之间的距 离根据实
24、际情况，作出如图所示的图形，其中 ABBE，EFBE，AF 交 BE 于 D， 点 C 在 BD 上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据： BC，ACB；CD，ACB，ADB；DE，DC，BC；EF、DE、BD根据所测数据，能求 出 A、B 间的距离的有 （填上所有能求出 A、B 间距离的序号） 考点： 相似三角形的应用 分析： 根据解直角三角形的应用解答；仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一 边；利用相似三角形的性质解答 解答： 解：已知 BC，ACB， AB=BCtanACB ，故本选项正确； 已知 CD，ACB，ADB， CB= ，DB= ， DBCB=CD， 即 =CD， 解出 A
25、B 即可，故本选项正确 仅知道 DE，DC，BC 无法求出 AB； 由于已知 EF、DE、BD， 根据FEDABD 即可求出 AB 的长，故本选项正确 故答案为 点评： 本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的 应用，熟悉相似三角形的性质和 解直角三角形是解题的关键 三、解答题（本题共 4 小题，共 24 分） 15解方程：x 2+2x3=0 考点： 解一元二次方程-因式分解法 专题： 计算题 分析： 观察方程 x2+2x3=0，可因式分解法求得方程的解 解答： 解：x 2+2x3=0 （x+3） （x1）=0 x 1=1，x 2=3 点评： 解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择 16计
26、算：6tan 230 sin602cos45 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可 解答： 解：原式=6（ ） 2 2 =6 =2 = 点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关 键 17如图，在 64 的正方形方格中，ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的格点上 （1）请按要求画图：以点 B 为位似中心，在方格内将ABC 放大为原来的 2 倍，得到 EBD，且点 D、E 都在单位正方形的顶点上 （2）在（1）中ABC 与EBD 的面积比是 1：4 （直接写出答案） 考点： 作图-位似变换 分析： （1）利用位
27、似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用相似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案 解答： 解：（1）如图所示：EBD 即为所求； （2）在（1）中ABC 与EBD 的面积比是：1：4 故答案为：1：4 点评： 此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，得出对应点位置是解题关键 18为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召某校从甲、乙、丙 3 名同学中随机 抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率： （1）抽取 1 名，恰好是甲； （2）抽取 2 名，甲在其中 考点： 列表法与树状图法 分析： （1）由从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即 可求得答
28、案； （2）利用列举法可得抽取 2 名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 种等可能的结果，甲在其 中的有 2 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 解答： 解：（1）从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取环保志愿者， 抽取 1 名，恰好是甲的概率为： ； （2）抽取 2 名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 种等可能的结果，甲在其中的有 2 种情 况， 抽取 2 名，甲在其中的概率为： 点评： 本题考查的是列举法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 四、 （共 3 小题，每题 8 分，共 24 分） 19如图，A、B 是双曲线 y= 上的点，点 A 的坐标是（1，4） ，B 是线
29、段 AC 的中点 （1）求 k 的值； （2）求OAC 的面积 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 分析： （1）把点 A（1，4）代入 y= ，即可求出 k 的值； （2）作 ADx 轴于点 D，BEx 轴于点 E，由 A 的坐标是（1，4） ，得到 AD=4，OD=1，根据 B 为 AC 的中点，求出 B 点坐标为（2，2） ，则 DE=CE=21=1，即 OC=3，然后根据三角形面 积公式即可求解 解答： 解：（1）A 是双曲线 y= 上的点，点 A 的坐标是（1，4） ， 把 x=1，y=4 代入 y= ，得 k=14=4； （2）作 ADx 轴于点
30、D，BEx 轴于点 E， A（1，4） ， AD=4，OD=1 又B 为 AC 的中点， BE= AD=2，且 CE=DE， B 点的纵坐标为 2，则有 B 点坐标为（2，2） DE=CE=21=1，即 OC=3， S OAC = ADOC= 43=6 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中准确作出 辅助线是解题的关键 20某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于国家出台了有关 调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销 售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先公
31、布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问房 产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 考点： 一元二次方程的应用 专题： 增长率问题；压轴题 分析： （1）设出平均每次下调的百分率为 x，利用原每平方米销售价格（1每次下调 的百分率） 2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可； （2）求出先下调 5%，再下调 15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求 解 解答： 解：（1）设平均每次下调的百分率是 x，根据题意列方程得， 7000（1x） 2=5670， 解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去） ； 答：平均每次下调的百分率为 10% （2）
32、（15%）（115%） =95%85% =80.75%， （1x） 2=（110%） 2=81% 80.75%81%， 房产销售经理的方案对购房者更优惠 点评： 此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格 （1每次下调的百分率） 2=经过两次下调每平方米销售价格 21如图 1 是一张折叠椅子，图 2 是其侧面示意图，已知椅子折叠时长 1.2 米椅子展开 后最大张角CBD=37，且 BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面 EF 与地面平行，当展开角 最大时，请解答下列问题： （1）求CGF 的度数； （2）求座面 EF 与地面之间的距离 （可用计算器计算，结果保留
33、两个有效数字，参考数据： sin71.50.948，cos71.50.317，tan71.52.989） 考点： 解直角三角形的应用 分析： （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得BCD 的度数，再根据平行 线的性质可得CGF 的度数； （2）根据比的意义可得 GC=1.2 =0.6m，过点 G 作 GKDC 于点 K，在 RtKCG 中，根据 三角函数可得座面 EF 与地面之间的距离 解答： 解：（1）BD=BC，CBD=37， BDC=BCD= =71.5， EFDC， CGF=BCD=71.5； （2）由题意知，AC=1.2m， AB：BG：GC=1：2：3， GC=1.2 =
34、0.6m， 过点 G 作 GKDC 于点 K， 在 RtKCG 中，sinBCD= ，即 sin75= ， GK=0.6sin71.50.57m 答：座面 EF 与地面之间的距离约是 0.57m 点评： 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和三角函数的基 本概念，关键把实际问题转化为数学问题加以计算 五、 （共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22如图矩形 ABCD 的对角线相交于点 ODEAC，CEBD （1）求证：四边形 OCED 是菱形； （2）若ACB=30，菱形 OCED 的面积为 ，求 AC 的长 考点： 矩形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
35、分析： （1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）因为ACB=30可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角 形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解 解答： （1）证明：DEOC，CEOD， 四边形 OCED 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形， AO=OC=BO=OD 四边形 OCED 是菱形； （2）解：ACB=30， DCO=9030=60 又OD=OC， OCD 是等边三角形 过 D 作 DFOC 于 F，则 CF= OC，设 CF=x，则 OC=2x，AC=4x 在 RtDFC 中，tan60= ， DF= x OCDF=8 x
36、=2 AC=42=8 点评：本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角 三角形等知识点 23已知抛物线 y=x2+bx+1 顶点最初在 x 轴上，且位于 y 轴左侧，现将该抛物线向下平移， 设抛物线在平移过程中，顶点为 D，与 x 轴的两交点为 A，B （1）试求该抛物线的对称轴； （2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点 A，B 之间的距离不小于 6 个单位？ （3）在最初的状态下，若向下平移 m2（m0）个单位时，对应线段 AB 长为 n，若 w=m2n，问 m 为何值时，w 最小，最小值是多少 考点： 二次函数图象与几何变换 专题： 几何变换 分析：
37、 （1）根据抛物线与 x 轴的交点问题得到=b 24b=0，解得 b=2，由于对称轴 x= 位于 y 轴左侧，则 b=2，于是得到该抛物线的对称轴为直线 x=1； （2）设在最初的状态下，至少向下平移 t 个单位（t0） ，点 A，B 之间的距离不小于 6 个 单位，根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为 y=（x+1） 2t，再根据抛物 线与 x 轴的交点问题可得到点 A 和 B 的坐标为（1 ，0） ， （1+ ，0） ，则 AB=2 ，根据题意得 2 6，解得 t9，所以抛物线至少向下平移 9 个单位，点 A，B 之间的距离不小于 6 个单位； （3）根据抛物线平移的规律可设平移
38、后的抛物线解析式为 y=（x+1） 2m 2，与（2）一样 可得点 A 和 B 的坐标为（1m，0） ， （1+m，0） ，于是可得 n=2m，则 w=m22m=（m1） 21，然后根据二次函数的性质求解 解答： 解：（1）抛物线 y=x2+bx+1 顶点最初在 x 轴上， =b 24b=0，解得 b=2， 对称轴 x= 位于 y 轴左侧， b=2， 该抛物线的对称轴为直线 x=1； （2）设在最初的状态下，至少向下平移 t 个单位（t0） ，点 A，B 之间的距离不小于 6 个 单位， 则平移后的抛物线解析式为 y=（x+1） 2t， 当 y=0 时， （x+1） 2t=0，解得 x1=1+
39、 ，x 2=1 ， 点 A 和 B 的坐标为（1 ，0） ， （1+ ，0） ， AB=1+ （1 ）=2 ， 2 6， t9， 至少向下平移 9 个单位，点 A，B 之间的距离不小于 6 个单位； （3）平移后的抛物线解析式为 y=（x+1） 2m 2， 当 y=0 时， （x+1） 2m 2=0，解得 x1=1+m，x 2=1m， 点 A 和 B 的坐标为（1m，0） ， （1+m，0） ， AB=1+m（1m）=2m，即 n=2m， w=m 22m=（m1） 21， 当 m=1 时，w 最小，最小值为1 点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以
40、 求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐 标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式也考 查了抛物线与 x 轴的交点问题 六、 （共 1 题，12 分） 24 【问题情境】如图，直角三角板 ABC 中，C=90，AC=BC，将一个用足够长的细铁 丝制作的直角的顶点 D 放在直角三角板 ABC 的斜边 AB 上，再将该直 角绕点 D 旋转，并使 其两边分别与三角板的 AC 边、BC 边交于 P、Q 两点 【问题探究】 （1）在旋转过程中， 如图 2，当 AD=BD 时，线段 DP、DQ 的数量关系是（ ） A、DPDQ B、D
41、P=DQ C、DPDQ D、无法确定 如图 3，当 AD=2BD 时，线段 DP、DQ 有何数量关系？并说明理由 根据你对、的探究结果，试写出当 AD=nBD 时，DP、DQ 满足的数量关系为 DP=nDQ （直接写出结论，不必证明） （2）当 AD=BD 时，若 AB=20，连接 PQ，设DPQ 的面积为 S，在旋转过程中，S 是否存在 最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由 考点： 相似形综合题 分析： （1）首先利用等腰直角三角形的性质得出ADPCDQ（ASA） ，即可得出答案； 首先得出DPMDQN，则 = ，求出AMDBND，进而得出答案； 根据已知得出 R
42、tDNPRtDMQ，则 = = ，则 AD=nBD，求出即可； （2）当 DPAC 时，x 最小，最小值是 5 ，此时，S 有最小值；当点 P 与点 A 重合时，x 最大，最大值为 10，S 有最大值分别求出即可 解答： 解：（1）DP=DQ， 理由：如图 2，连接 CD， AC=BC，ABC 是等腰直角三角形， AD=CD，A=DCQ，ADC=90， ADP+PDC=CDQ+PDC=90， ADP=CDQ， 在ADP 和CDQ 中， ， ADPCDQ（ASA） ， DP=DQ； DP=2DQ， 理由：如图 3，过点 D 作 DMAC，DNBC，垂足分别为：M，N， 则DMP=DNQ=90，
43、MDP=NDQ， DPMDQN， = ， AMD=DNB=90，A=B， AMDBND， = ， = = =2， DP=2DQ； 如图 1，过 D 点作 DMCB 于点 M，作 DNAC 于点 N， C=PDQ=90， ADP+QDB=90， 可得：MDN=90， QDM=NDP， 又DNP=DMQ， RtDN PRtDMQ， = ， 由（1）知，ADNBDM， = = ， AD=nBD， = = =n， EP 与 EQ 满足的数量关系式为：DP=nDQ； 故答案为：DP=nDQ； （2）存在，设 DQ=x，由（1）知，DP=x， S= xx= x2， AB=20， AC=BC=10 ，AD=BD=10， 当 DPAC 时，x 最小，最小值是 5 ，此时，S 有最小值， S 最小 = （5 ） 2=25， 当点 P 与点 A 重合时，x 最大，最大值为 10， 此时，S 有最大值，S 最大 = 102=50 点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及二次函数最 值求出等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键
